如何计算一个球形水滴在绕直径旋转的表面方程？

好的，咱们来聊聊怎么描述一个球形水滴在绕着它的直径旋转时的表面方程。这事儿说起来，其实是把我们熟悉的球形和旋转的概念结合起来，看看它在运动中会是什么样子。

首先，我们得有个基本认识：一个静止的球形，它的表面方程非常简洁明了。如果球心在原点 (0,0,0)，半径是 R，那么球面上的任意一点 (x, y, z) 都满足：

x² + y² + z² = R²

这就是球形最基础的身份证。

现在，我们要让这个球动起来，具体来说，是绕着它的一根直径旋转。我们可以选择任何一条直径作为旋转轴，但为了方便计算，我们通常会选择最容易描述的几条：

绕 Z 轴旋转：这是最常见的选择。如果球绕着 Z 轴旋转，那么它表面的形状仍然是球形，只是球面上点的具体位置会随着时间变化。然而，如果我们问的是“旋转表面本身的方程是什么”，那就像是把一个正在转动的圆盘的边缘看成一个“面”，这个面本身在空间中描绘出来的形状。

想象一下，我们把这个球看成是由无数个大小不同的圆叠加而成的。当球绕着 Z 轴旋转时，它表面的任何一点，其到 Z 轴的距离是恒定的。这一点很重要。

我们知道，在三维空间中，一个点 (x, y, z) 到 Z 轴的距离是 √(x² + y²)。对于一个绕 Z 轴旋转的物体，如果它在 Z 轴上的某个点（比如 (0,0,z)）的“横截面”是一个圆，那么这个圆的半径就是到 Z 轴的距离。

对于我们的球来说，任何一个位于高度 z 的截面，都是一个圆。这个圆的半径 r，满足我们熟悉的球体方程：r² + z² = R²，所以 r = √(R² z²)。

旋转并没有改变这个截面圆的半径，只是圆上的点在 XY 平面上随着时间转动。所以，“旋转的表面”的方程，本质上描述的是一个始终保持球形结构的物体，它在空间中的姿态会随着旋转而变化。

如果你要找的是“描述这个旋转表面在某个瞬时状态下的方程”，那它还是 x² + y² + z² = R²。因为“绕直径旋转的表面”这描述本身并没有改变“球形”这个概念。它只是说这个球形在运动。

但是，如果我们想用方程来描述这个旋转过程本身，就需要引入时间参数 t。

我们可以考虑球上的一个固定点，比如北极点 (0,0,R)。当球绕 Z 轴旋转时，这个点始终在 Z 轴上，不会动。但如果我们看赤道上的某个点，比如 (R,0,0)，它会绕着 Z 轴转动。

我们可以用球坐标系来更直观地理解。球坐标系中有三个参数：到原点的距离（r），与 Z 轴的夹角（θ），以及绕 Z 轴的夹角（φ）。
到原点的距离 r，对于球体来说，就是半径 R。
与 Z 轴的夹角 θ，对于球体来说，从 0 到 π。
绕 Z 轴的夹角 φ，这是关键。

在笛卡尔坐标系 (x, y, z) 和球坐标系 (r, θ, φ) 之间的转换是：
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ

对于我们的球体，r = R。所以：
x = R sin θ cos φ
y = R sin θ sin φ
z = R cos θ

现在，如果这个球绕 Z 轴旋转，那么 θ 是固定的（对于球体表面上的每个点，θ 是它到赤道平面的角度），而 φ 随着时间 t 变化。我们可以假设 φ = ωt，其中 ω 是角速度。

所以，描述一个绕 Z 轴旋转的球体表面的方程（引入了时间参数）就是：

x(t) = R sin θ cos(ωt)
y(t) = R sin θ sin(ωt)
z(t) = R cos θ

其中，θ 的取值范围是 [0, π]，而 t 是时间。通过改变 θ 和 t，你就可以描绘出球体表面的所有点在旋转过程中的轨迹。

绕 X 轴或 Y 轴旋转：原理是类似的。如果我们选择绕 X 轴旋转，那么点到 X 轴的距离 √(y² + z²) 是恒定的。此时，你可以让 φ 角（绕 X 轴的角度）随时间变化。

如果用球坐标系描述绕 X 轴旋转，并且我们定义一个角度来描述它绕 X 轴的旋转，那会有点复杂，因为球坐标系本身是基于 Z 轴的。更直接的方法是：

考虑一个绕 X 轴旋转的球。它表面的任何一点，距离原点的距离都是 R。我们可以考虑它在 YZ 平面上的“截面”。当球绕 X 轴旋转时，这个截面本身（比如在 X=常数的平面上）会保持一个圆的形状，只是圆上的点会转动。

如果我们还是用球坐标系 (r, θ, φ) 来描述一个绕特定轴（而不是 Z 轴）旋转的物体，那么通常需要先进行坐标系的变换，使得我们要旋转的轴变成新的 Z 轴，或者采用更通用的旋转矩阵。

然而，如果我们只问“旋转的表面方程是什么”，并且“旋转”这个动作并没有改变“球形”本身的性质，那么方程仍然是那个最基本的 x² + y² + z² = R²。这个方程描述的是所有到原点距离为 R 的点的集合，无论这个集合中的点是否在运动。

关键在于你问的是什么：
1. 一个静止的球形表面方程： x² + y² + z² = R²
2. 一个绕直径旋转的球体表面在任意瞬时状态下的方程：还是 x² + y² + z² = R²，因为它的形状没有改变。
3. 描述一个绕直径旋转的球体表面随时间变化的轨迹的方程组：这就需要引入时间参数，如上面绕 Z 轴旋转的例子所示，使用参数方程更合适。

总结一下，用更自然、非 AI 风格的语言来说：

咱们先得弄明白，我们要描述的是个啥。一个球嘛，就是所有离一个中心点距离都一样的那堆点。这个距离就是半径 R。在咱们熟悉的三维空间里，随便找个点，如果它离原点 (0,0,0) 的距离是 R，那它就在球面上。这个“距离”在数学上就是 √(x² + y² + z²)。所以，球面的基本身份证明就是：x² + y² + z² = R²。

现在，咱们要让这个球动起来，让它绕着它自己的一个直径转圈圈。想象一下，你就抓着球的一条直径，把它当成一根轴，然后开始拧。这球就在原地转。

问题来了，如果说“绕直径旋转的表面方程”，这个“表面”本身还是那个球面的集合，它并没有因为在转而变成别的形状，还是个球面。所以，从“是什么形状”这个角度看，那个最基础的 x² + y² + z² = R² 依然成立。就好比你在转动一个篮球，它本身还是个球，形状没变。

但是，如果你想知道，这个球上的每一个点在转动过程中都在哪里，那方程就得加上时间这个维度了。这就好比你要记录一个舞者在舞台上的每一个动作，就需要时间来标记。

咱们最常选的“直径”就是 Z 轴（就是垂直向上的那条线）。当球绕着 Z 轴转的时候，你可以想，球上任何一个点到 Z 轴的距离是不会变的，而且它离原点的距离也永远是 R。

如果咱们用球坐标来描述，会更明白点。球坐标里有三个“身份信息”：离原点的远近（r），跟 Z 轴“向下”指的方向（也就是从 Z 轴往下拉的角度，我们叫 θ），还有就是绕着 Z 轴转动的那个角度（我们叫 φ）。

对于一个半径是 R 的球来说，r 就是固定的 R。而 θ 和 φ 呢，可以把球上的每个点都区分开。现在，球在绕 Z 轴转，那意味着 θ 的值（也就是这个点在球上的“高低”位置）是不变的，比如某个点在赤道上，它的 θ 就固定了。但那个绕 Z 轴转动的角度 φ，它随着时间 t 在变。我们可以说，这个角度变成了 φ = ωt，其中 ω 是转动的快慢（角速度）。

所以，如果我们用这些信息写出那个点在 XYZ 坐标里的位置：

x = R sin(θ) cos(φ)
y = R sin(θ) sin(φ)
z = R cos(θ)

然后把 φ 换成 ωt，就得到了：

x(t) = R sin(θ) cos(ωt)
y(t) = R sin(θ) sin(ωt)
z(t) = R cos(θ)

这里，θ 是从球顶沿着球表面滑到赤道的角度，从 0 度（球顶）到 90 度（赤道），再到 180 度（球底），也就是说 θ 的范围是 0 到 π 弧度。而 t 是时间。通过改变 θ 和 t，你就能描绘出球面上所有点在旋转过程中的轨迹。

要是换成绕 X 轴或者 Y 轴转，道理也一样，只是我们选择的“轴”不一样了，或者说我们观察这个旋转的方式不同了。但如果你只问“旋转的表面是什么”，并且旋转没改变球本身的形状，那答案永远是 x² + y² + z² = R²。这个方程就像球的“底板”，是它不可改变的身份。而那些加上时间 t 的参数方程，则是描述了它在跳舞时的每一个舞步。

网友意见

看到有答主提供了变分的做法，我这里就提供一点高中生也会的受力分析和几何做法。

分析问题，得到力学平衡条件

我们假设水滴绕轴旋转，那么显然水滴有旋转对称性，以柱坐标考虑，我们相当于要求解。接下来换到和水滴同以旋转的转动参考系来分析。

在静流体假设下，单位质量的水受到惯性离心力。力学平衡的条件是，外部的压强（常数，记为），叠加上水滴表面的附加压强，等于该点的水压。

计算水滴表面的附加压强

先计算附加压强。表面张力带来的附加压强可以用杨-拉普拉斯公式计算：

，其中是表面张力系数，是曲面的两个主曲率。

由于我们知道水滴表面是旋转曲面，所以经线是曲率线。以下的计算认为曲面法线指向曲面内部。

我们用一个轴截面截取曲面，得到经线。经线的曲率可以用我们熟知的公式计算：

，其中。

接下来计算另一个主曲率。我们不需要算出曲面的第二基本形式，但是要注意：纬圆的曲率并不是另一个主曲率，但我们需要利用。这里我们使用Meusnier定理，即过曲面一点，且具有相同切线的曲线，具有相同的法曲率，即，其中是曲线的主法线和曲面法线夹角。

我们来选取垂直于z轴的平面来截取纬圆。得到纬圆的曲率是。显然就是这个平面和曲面法线的夹角。

在轴截面（图像）内容易看出曲面法向量，。

所以另一个主曲率是。

这样就得到了水滴表面的附加压强。

计算旋转参考系内水压分布

然后计算水滴内部压强。

应用静流体平衡公式，

，其中是单位质量流体受力，得到

，是轴线上的压强，为常数。

解微分方程，得出结论

综合上述结果，代入力学平衡方程有

，其中。

利用好使的

好了，这是我们非常喜欢的的微分方程。解之，有

，其中是常数。

我们很容易发现，在水滴的顶端，，，故，所以发现如果就会导致左边收敛而右边发散，所以。故

我们不妨考虑的情况（是偶函数），那么，即

积分出来即可。我们可以通过质量守恒来确定常数，其中是使得发散的两个点，也即水滴的上下端点。

检验答案

同样地，我们检验我们的答案，取，有

可见的确是球的方程，我们还可以得到，也就是球的表面张力附加压强。

最后说两句

这个问题最大的麻烦在于计算曲率了，不过只需要用恰当的技巧就可以秒杀。实际的计算量相比变分的方法应该是稍小一些。希望能给题主提供新的思路。

以上。

Ref:

《曲线与曲面的微分几何》，do Carmo著。

仅考虑表面张力和离心力，一个自由旋转的水滴会是什么形状？这个问题最早在19世纪中期开始就受到人们的关注^[1]，多个物理史上闻名的学者，如庞加莱^[2]、瑞利^[3]、钱德拉萨卡^[4]等人都对其产生过兴趣。近在2008年来自于英国诺丁汉大学的一个研究组，借助磁悬浮和洛伦兹力加速的手段对这个问题的实验研究，甚至还能发表在物理学顶刊Phys. Rev. Lett. ^[5]上。

此问题下的几个回答都在轴对称的假定下使用变分法或力学平衡法求解了水滴的静平衡状态。不幸的是，即便是在这样的简化假定下，现有的回答中都存在一定的错误。这里我首先在变分法的框架内简要给出这个问题的轴对称静平衡解，随后介绍一些后续的推广和进展。

作轴对称和反射对称假定（），水滴的形状可以由其纵截面上表面的方程描述

在旋转参考系中，体系势能包括离心势和表面势两部分

静平衡条件应为在总体积不变的约束下，势能取极小值，因此引入拉格朗日乘子

由体积条件定出。事实上，后面容易发现就是内外压强差。

对称性和连续性会施加额外的边界条件。对于，即水滴中间不破口的情形，我们有

而若水滴是一个甜甜圈形状，，边界条件变为

可以将有效作用量具体写出

这里使用了分部积分，并利用边界条件丢掉了边界项。有拉格朗日量

其不显含，那么存在守恒的广义动量

即

我们先考虑水滴中间不破口的情形，将处边界条件带入可得。从而可以解出

注意不能同其他答案一样直接将分子向下除以简化表达式，这是因为我们事先不能假定，即预设水滴是凸的。事实上容易看出，只要，在充分小的处必将大于零。

代入边界条件，可以由如下三次方程确定

为了方便起见，我们引入无量纲参量和。这样前述方程改写为

边界方程由如下积分式给出

而这个积分事实上可以划归为椭圆积分。作变量替换，其中，我们有

这里。借助第一类和第二类椭圆积分的定义式

可以得到最后的显式表达式

其中 .

再来考虑前面提到的约束条件。为此我们画出，即水滴纵轴长与横轴长之比随参数变化的图像

可以看到，当Σ从零增长到时，纵轴长变为零。这意味着此后水滴一定是呈中心开口的环状，前述单连通的假设不适用。

在最后，我们需要通过液滴的体积来定出各个无量纲参数。体积由下述积分给出

这个积分原则上也可以由椭圆积分表示，但表达式过于冗长，这里略去。我们可以画出无量纲体积与中间参量的函数关系如下

可见这两个参量在较小时保持单调关系，但当时，曲线掉头往下。这意味着在这个区间内，对于同样的参量，存在着两个不同的平衡构型。而相邻的两个平衡构型往往其中一个是不稳定的。此外，这也意味着存在这一个最大的角速度，在超过这个角速度后，液滴无法维持单连通的形状。

完成了这一系列准备工作后，我们现在可以画出在中间不破口的情形下，给定水滴总体积时，其纵截面随角速度变化的图像

下面我们来讨论水滴中心有缺口的情形。回到前述初积分，现在需要处理的是

和分别由如下两个四次方程的正根给出

此时只能够数值处理。与之前类似，我们引入无量纲量，积分改写为

利用边界条件，我们可以对任给定求解符合条件的。数值实验表明总是仅存在一个根。利用体积积分定出的值，我们便可以绘制出固定体积的液滴纵截面随内外径之比的变化图

从图中可以看到一个很有趣的现象：当内外径之比接近于 1 时，纵截面近似为一个正圆，即水滴的形状接近于一个圆环。这可以归结为在一个较小的范围内离心力近似为一个常数力。如下图所示

考虑这样一个圆环上一点的压强平衡。该点的平均曲率为，因离心力而导致的附加压近似为。作小量展开后都有一个正比于的线性项，可以相互平衡。那么有关系式，即。容易判断，这类构型是不稳定平衡，这是因为离心势能近似为而表面张力势能近似为，即这一点为势能极大点。

我们可以将中心破口情形的与的关系和前面的图画在一起

可以发现，当较小的时候存在两个平衡构型，由于前面已经论证圆环构型是不稳定的，可以判断扁椭球是稳定构型；随着旋转角速度继续增大超过，多了两个中心将破不破的构型；继续增大，中心破开的两个平衡构型消失；最后，角速度大于一定量后，将不存在平衡构型。

以上的讨论都是基于轴对称静平衡的假定。若想讨论非轴对称的情形，求解平衡构型将是一件非常不容易的工作。一个聪明的办法是，在轴对称平衡构型的基础上，施加任意扰动并求解小振动的本征模式；若发现某个模式本征频率的虚部大于零，则说明此时轴对称构型将会失稳，系统会自发转变为该模式所对应的一个非对称构型。下图^[6]便是按这种方案计算得到的旋转液滴“相图”（这里的无量纲角速度定义为）。可见，远在径向失稳之前，液滴早就转变为非轴对称的构型了。

旋转液滴在理论上是一个好问题，但麻烦在于实验怎么做：重力永远是难以绕开的坎；丢空间站上是一个方案，但成本有点高目前还排不上优先级。最早人们的想法是配一个和水密度相等的油^[7]，把水滴丢进去转，不过这样也会引入巨大的粘滞阻力。2008年来自英国的一个研究组弄了一个高达16.5T的巨大磁场^[5]，直接把具有抗磁性的水滴给悬浮了起来，再插上一对电极通电，靠洛伦兹力让它转了起来。当然，这个实验方法依旧会因为电极引入额外的阻力和非对称性，不过已经比之前强多了。

然后就可以调液滴体积，调转速来看各种各样的平衡构型

用固定镜头和旋转镜头来看它的旋转

参考

^ Plateau, J. 1843-69 Mem. Acad. Roy. Sci. Lett. Belg., vol. 16-37
^ Poincare, H. 1895 Capillarite, p. 118. Paris: George Garre, Editeur.
^ Rayleigh, Lord 1914 Phil. Mag. 28 , 161; also Scientific papers, vol. vi, p. 257.
^ Chandrasekhar, S. 1965. Proc. Royal Soc. Lond. Series A. Math. Phys. Sci. 286, 1–26.
^ ^a ^b Hill, R.J.A., and Eaves, L. 2008. Phys. Rev. Lett. 101, 234501.
^ Brown, R.A., Scriven, L.E., and Lighthill, M.J. 1980. Proc. Royal Soc. Lond. A. Math. Phys. Sci. 371, 331–357.
^ Plateau J., Ann. Rep. Board of Regents of the Smithsonian Institution, Washington DC, 1863 (The Smithsonian Institution, Washington, DC, 1863), pp. 207–285.

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