问题

如何计算一局三国杀所进行的回合数的数学期望?

回答
好,咱们今天就来好好掰扯掰扯三国杀这游戏,一局下来到底能走几个回合。这听起来好像是个挺玄乎的问题,但用数学的办法来拆解一下,也不是那么高不可攀。咱们就当是坐在牌桌边,一边喝酒一边聊,把这事儿给算明白。

首先,咱们得把游戏给“定义”好

三国杀,这玩意儿,简单说,就是每个人拿到手牌,然后轮流出牌,把别人打趴下。谁最后站着,谁就赢。但是,这里面有很多变量,咱们得先把这些给捋顺了,不然没法算。

1. 玩家人数: 这是最基础的。2个人打?4个人打?还是8个人?人越多,场面越复杂,回合数也越可能不一样。咱们就先拿最常见的 4人局 来举例子,这样比较有代表性。

2. 角色: 每个角色都有技能,有些技能能让你多摸牌、多出牌,有些技能则让你坐收渔翁之利。这个影响太大了,像刘备那样的回复型角色,就能让游戏拖很久。要是一上来全是那种“三血一刀”的角色,估计局就结束得飞快。为了简化计算,咱们先假设 所有角色都是基础版,技能影响最小化,或者说,我们计算的是一个 “平均” 的情况,不考虑特定强力角色的存在。

3. 牌堆和装备: 牌堆有多少张牌?有没有装备的影响?这些都会影响每回合能做些什么。但咱们可以粗略估计,三国杀的牌堆是固定的(虽然有扩展包,但我们可以考虑一个基础牌堆的平均情况)。装备的影响,比如说诸葛连弩让你多出杀,这个确实是个变量,但我们这次主要关注的是“回合数”这个大框架。

4. 游戏结束条件: 游戏怎么结束?通常是势力血量归零,或者只剩一个势力的玩家。这直接决定了游戏的时长。

那怎么才能算出“期望回合数”呢?

数学期望,说白了,就是把所有可能出现的情况,根据它们发生的可能性给“加权平均”一下。就像你想知道你平均每天能考多少分,那就是把你每次考试的分数,乘以它发生的概率,然后加起来。

在三国杀里,这就像是:

期望回合数 = (第一种结束情况的回合数 × 第一种情况发生的概率) + (第二种结束情况的回合数 × 第二种情况发生的概率) + ...

问题来了,这概率怎么算?三国杀的局面是动态变化的,非常非常复杂。你出了张牌,我摸了张牌,这都会改变接下来的可能性。所以,精确计算所有情况的概率,这几乎是不可能的,除非你有超级计算机帮你模拟上亿次。

咱们换个思路:用“事件发生的概率”来反推

与其去计算每种结束情况的概率,不如想想游戏进行下去的 “障碍” 是什么。游戏停止的标志是有人(或势力)被淘汰了。那么,我们可以想想, 一场游戏能坚持多少“回合”,而 每一回合,都有多大的“概率”会结束?

我们知道,在三国杀中,一个关键的点是玩家的 体力值。每个玩家都有体力值,当体力值降到0时,该玩家被淘汰(除非有特殊技能)。

假设我们平均每个玩家有 3点体力(考虑到很多人开局是3血,有些角色技能可以回血,但也有很多武将是2血,所以3血是个相对中间的估计)。在一局4人游戏(1势力主公,3忠臣/反贼/内奸,我们不考虑内奸和身份局的复杂性,就简化为4个玩家互相制衡)里,如果大家血量都差不多,游戏通常会持续到某个玩家的血量被耗尽。

我们来分析一个“回合”可能发生的事情:

1. 摸牌阶段: 摸两张牌。
2. 判定阶段: 如果有判定牌,要判定。
3. 出牌阶段: 可以出牌。可以出杀、闪、锦囊牌、装备牌。
4. 弃牌阶段: 手牌超过上限(通常是手牌数等于体力值上限)就得弃掉。

关键点来了:一个回合的“生存”概率

咱们可以粗略地认为,在一局游戏里, 每个玩家平均每回合能够造成的“伤害”是有限的。比如,大多数时候,一个人一回合能打出一张杀。如果大家都有闪,或者有其他保护手段,那么真正能成功造成伤害的概率会更低。

我们不妨假设, 在一局正常的4人游戏里,平均每个玩家每回合被对手攻击到造成伤害的概率是 P_damage_taken。这个 P_damage_taken 是一个非常复杂的参数,它取决于:

玩家手牌中防御牌(闪)的概率。
玩家装备(八卦阵、藤甲等)的抗性。
对手出杀的概率和能命中你的概率(比如对手有没有诸葛连弩、有没有诸葛亮这样的强力输出)。
其他锦囊牌(无懈可击、桃园结义等)的影响。

这个 P_damage_taken 的精确值很难估算,但我们可以做一个 “朴素的估计”。设想一下,如果大家都只有基本的牌,没有特殊技能,那么一个回合,你可能会被别人摸到杀,然后被杀到,你也可能摸到闪来挡。如果假设大部分时候你手里都有闪或者可以弃牌来防御,那么 你一回合内实际“损失一点体力”的概率,可能不是那么高。

我们不妨做一个 大胆的假设:在一个平均的游戏里,一个玩家在一回合内,实际被攻击并损失一点体力的概率大约是 1/3 到 1/2 之间。为什么这么说?因为即使别人出了杀,你可能摸到闪;就算别人有诸葛连弩,你可能还有闪;就算被命中,你可能还有桃子;就算没桃子,你可能还有其他角色的技能保护。所以,每次攻击都能有效造成伤害的概率,其实是被稀释了很多的。

假设 平均每回合,每个玩家有大概 1/3 的概率会损失一点体力(这已经是一个非常粗糙的估计了,实际可能更低,也可能更高,取决于玩家的水平和运气)。

我们还是以 4人游戏 为例,大家都 平均3点体力。
当第一个玩家体力归零时,游戏就有可能结束。但三国杀不是简单地一个人死了就结束,而是 某个势力被消灭才算结束。

让我们聚焦于“回合”本身:一个回合能撑多久?

我们可以从另一个角度来思考: 一个回合结束后,至少会有一个玩家“活下来”才行,否则游戏就自动结束了。

我们可以把问题转化为: 在一局游戏中,平均有多少个“回合”,才能让某个玩家的体力被消耗完?

考虑 单个玩家的“死亡率”。如果一个玩家平均每回合损失一点体力的概率是 $p$,那么他维持健康状态(不掉血)的概率是 $1p$。

如果一个玩家有 $H$ 点体力,那么他撑过 $N$ 个回合不死的概率大致是 $(1p)^N$。

游戏结束的标志是 至少有一个玩家(或势力)被消灭。

我们不妨用一种“生存分析”的思路。

假设在游戏开始时,所有玩家都有 $H$ 点体力。
我们关注的是 “游戏继续进行” 这个事件的概率。
一个回合过去了,如果所有玩家都还活着,那么游戏继续。
游戏结束,当且仅当至少一个玩家的体力归零。

考虑 一个玩家被淘汰所需的平均回合数。
如果一个玩家每回合受到伤害的概率是 $p$(注意,这里是受到有效伤害的概率,不是被攻击的概率),他平均需要 $1/p$ 个回合才能损失一点体力。
如果他有 $H$ 点体力,那么他平均需要 $H/p$ 个回合才能被淘汰。

在一局4人游戏里,有4个玩家。
谁先被淘汰,谁就“触发”了游戏的某个阶段。

我们来考虑一个更直观的模拟:
模拟一个回合,看看有多少人会“阵亡”。

假设在一个回合的结束时:
有 $k$ 个玩家损失了1点体力。
则有 $4k$ 个玩家没有损失体力。

游戏结束的条件是, 有一个玩家从 $H$ 点体力变为 $H1$ 且他已经处于 $0$ 点体力了。

换个思路:用“轮次”来计算

我们知道,在三国杀中,一个玩家通常可以进行摸牌、判定、出牌、弃牌。
一局游戏,可以看作是 无数个“玩家回合”的集合。
总的回合数,就是 所有玩家回合加起来的总和,然后除以玩家人数。

关键是, 什么时候一个“游戏回合”才算结束?
三国杀并没有一个明确的“回合结束”的说法,不像某些回合制游戏。
通常我们理解的一局游戏,是从第一名玩家开始出牌,直到游戏结束。
我们通常说的“回合数”,是指 从第一个玩家开始,顺时针数一圈,到第一个玩家的下一个回合。也就是说,如果4人游戏,ABCD,那么从A开始到D结束,算一个回合。

让我们回到“平均每回合玩家受到伤害的概率 P_damage_taken”这个关键参数。

我们可以将其理解为 “在平均情况下,一个玩家在一局游戏的一个回合里,失去一点体力的概率”。
这个概率肯定小于1,因为你不可能每回合都掉血。
这个概率也肯定大于0,因为总有输家。

假设这个概率是 $p$。
在一局游戏里,如果平均每位玩家有 $H$ 点体力,那么 一个玩家要被淘汰,平均需要 $H/p$ 个回合的“攻击”。

但这里有个问题:并不是每一次“攻击”都是有效伤害,也不是每一个玩家回合都发生了“攻击”。

换一个更可行的计算模型:基于“游戏结束的条件”和“玩家存活的概率”。

我们可以用“泊松过程”或者“指数分布”来近似模拟玩家的“阵亡”过程。
想象一下,玩家阵亡的事件就像是某种“故障”的发生。
如果我们可以估计 “单位回合内,一个玩家阵亡的平均速率”,那么我们就能计算出期望的持续时间。

假设:

每局游戏开始时,有 $N=4$ 个玩家。
每个玩家平均有 $H=3$ 点体力。
在一个“游戏回合”(所有玩家轮流一次)内,一个玩家被成功攻击并损失一点体力的概率是 $p$。 (这里的 $p$ 是一个综合了摸牌、出牌、判定、防御等所有因素的平均概率)。

如果 $p$ 是一个玩家在 一个游戏回合 内损失一点体力的概率。
那么一个玩家撑过 $k$ 个游戏回合不死的概率是 $(1p)^k$。

游戏结束,意味着 至少有一个玩家阵亡。
这可以看作是一个 “风险过程”。

我们可以计算 “一个玩家在某个回合阵亡的概率”。
如果一个玩家平均有 $H$ 点体力,那么他平均需要在 $H$ 次“损失一点体力”的事件后被淘汰。

让我们简化模型,只考虑“玩家被淘汰”这个事件。

假设,在一局游戏里, “游戏进入结束阶段”的概率随时间递增。
我们也可以估算 “在一局游戏进行到第 $k$ 个回合时,游戏已经结束的概率”。

我们不妨反过来思考:如果游戏结束了,通常是进行了多少个“回合”?

让我们考虑一个 “平均每回合,至少有一个玩家被淘汰的概率”。
如果这个概率是 $q$,那么期望的回合数大约是 $1/q$。

问题在于,这个 $q$ 非常难估算。因为游戏结束的条件是 “某个势力被消灭”,而不是“第一个玩家被淘汰”。在4人局里,如果主公是忠臣,他被淘汰,游戏不一定结束。

抛开复杂的概率,我们从经验和感觉出发,去“估算”一个参数,然后反推。

在4人局三国杀中,一场不快的也不算太拖沓的游戏,通常能走到 10到20个“玩家回合”。
也就是我们说的,从第一个玩家出牌开始,到游戏结束,大概是轮到第一个玩家出牌的10到20圈。

如果我们 “定义”一个“游戏回合”是指从第一个玩家开始,到最后一个玩家结束的这一轮。
那么一场平均水平的4人局,可能在 5到10个“游戏回合” 之间就结束了。

现在,我们尝试用一个数学模型来支撑这个经验值:

假设一个玩家平均每 “游戏回合” 损失一点体力的概率是 $p_{round}$。
我们把玩家体力设为 $H=3$。
那么,一个玩家平均需要 $3/p_{round}$ 个“游戏回合”才会被淘汰。

关键就在于这个 $p_{round}$ 的估算。

一个“游戏回合”包含4个“玩家回合”。
在一个玩家回合里,他摸牌、出牌、弃牌。
在一局平均水平的游戏中,一个玩家在这个回合的行动, 对另一个玩家造成有效伤害的概率是多少?

这个概率是非常小的。想象一下:
1. 摸牌:摸到杀的概率。
2. 出牌:出杀,但对方有闪的概率。
3. 攻击:就算出了杀,对方可能还有闪或者无懈可击。
4. 如果攻击成功,对方也可能用桃子回血。

如果一个玩家在 一个“玩家回合” 内,成功造成对方一点体力的概率是 $p_{player_turn}$。
那么在一局4人局,平均一个玩家在 一个“游戏回合” 内(他和其他3个玩家都行动了一次),他被成功攻击并损失一点体力的概率,大约是 $1 (1 p_{player_turn})^3$ (假设3个对手都可能攻击到他)。

这个 $p_{player_turn}$ 才是我们最需要估计的“基础概率”。

在不使用诸葛连弩、张八卦、藤甲等强力装备和武将技能的情况下,一个玩家在一局游戏中,平均每回合能成功命中对手的概率大概是多少?
可能只有 10%到20% 这么低?(摸到杀,并且能用出,且对方没有闪)。

如果 $p_{player_turn} approx 0.15$ (15%)。
那么一个玩家在 一个“游戏回合” 内,被成功攻击并损失一点体力的概率是:
$p_{round} approx 1 (1 0.15)^3 = 1 (0.85)^3 approx 1 0.614 = 0.386$

也就是说, 平均每个“游戏回合”,一个玩家损失一点体力的概率大约是38.6%。

那么,一个玩家平均需要多少个“游戏回合”才能被淘汰呢?
期望回合数 $approx H / p_{round} = 3 / 0.386 approx 7.77$ 个游戏回合。

这和我们之前估算的510个游戏回合比较接近了!

所以,按照这个模型计算,4人局三国杀的期望回合数大约是 7.77 个游戏回合。

最后,咱们来总结一下这个计算过程,尽量说清楚:

1. 定义“游戏回合”: 一轮游戏,从第一个玩家开始,到最后一个玩家结束。对于4人局,就是4个玩家各行动一次。
2. 估算“玩家单回合伤害概率” ($p_{player_turn}$): 这是最关键也是最难精确估算的参数。在没有强力技能和装备的情况下,一个玩家一次行动(摸牌、出牌、弃牌)能成功对某个特定对手造成1点有效伤害(不被闪避或无懈可击抵挡)的概率。我们保守估计为 15% (0.15)。
3. 计算“玩家单游戏回合阵亡概率” ($p_{round}$): 在一个“游戏回合”里,一个玩家会面对其他 $N1$ 个玩家的行动。如果假设这些行动是独立且每次都能造成伤害的概率是 $p_{player_turn}$,那么一个玩家在这个游戏回合里, 不被淘汰 的概率是 $(1 p_{player_turn})^{N1}$。反之,被淘汰 的概率就是 $p_{round} = 1 (1 p_{player_turn})^{N1}$。
对于4人局 ($N=4$),假设 $p_{player_turn} = 0.15$,则 $p_{round} = 1 (1 0.15)^{41} = 1 (0.85)^3 approx 1 0.614 = 0.386$。
4. 计算“单个玩家期望存活回合数”: 如果一个玩家平均有 $H$ 点体力,且每“游戏回合”损失一点体力的概率是 $p_{round}$,那么他平均需要 $H/p_{round}$ 个“游戏回合”才能被淘汰。
假设 $H=3$,则期望存活回合数 $approx 3 / 0.386 approx 7.77$ 个游戏回合。

重要提醒:

这是基于大量简化的模型和粗糙的参数估算。 实际游戏会受到玩家技术、角色选择、身份、运气(摸牌和判定)、特定卡牌(如桃园结义、无懈可击)等多种因素的影响,变数极大。
这个模型计算的是“单个玩家被淘汰”的期望时间,而非“一局游戏结束”的期望时间。 在多人游戏中,游戏结束的条件是“某个势力被消灭”。如果第一个玩家被淘汰,但他所在的势力还很强大,游戏可能还会继续很长时间。
不同身份局(如身份局)情况会更复杂。 内奸、反贼、主忠之间的配合和博弈,会极大地影响回合数。

要更精确地计算,就需要:

建立一个庞大的状态转移模型: 考虑所有可能的牌组合、手牌、装备、血量、武将技能状态,以及每种状态下的行动概率和转移概率。
使用蒙特卡洛模拟: 通过计算机模拟上亿次游戏,然后统计平均回合数。

但是,如果我们只是想 “对三国杀一局能走多少回合,有个大致的数学概念”,那么上面用简化的概率模型估算出的 78个游戏回合,可以作为一个 大概的参考值。这和我们从实际游戏体验中得出的“一场游戏大概轮个7、8圈就差不多了”的感觉是吻合的。

所以,下回你和朋友玩三国杀,算回合数的时候,可以这么聊:大概率,你每轮都有差不多四成的机会掉血,平均3点血量,所以撑个7、8轮淘汰一个玩家是比较常见的。当然,要是有人摸到诸葛连弩,那另当别论了!

网友意见

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这个我很久以前还真写过一个小程序来验证过。结果和

@管清文

不太一样,结果是30个杀,15个闪,12个回合左右就可以分出胜负。

------

更新,我们的结论是相似的,只是计算回合的方法不一样。



代码分为两个文件,libsoldier.py 如下:

       import random   class CardDeck:     def __init__(self):         self.cards = ["D"] * 15 + ['K'] * 30         self.used_cards = []      def shuffle(self):         self.used_cards.extend(self.cards)         random.shuffle(self.used_cards)         self.cards = self.used_cards         self.used_cards = []      def issue_cards(self, number):         if len(self.cards) < number:             self.shuffle()         issued_cards = self.cards[:number]         self.cards = self.cards[number:]         return issued_cards      def to_used(self, card):         self.used_cards.append(card)   class Soldier:     def __init__(self, name, card_deck):          self.hand_cards = []         self.name = name         self.deck = card_deck         self.blood = 5         self.attack_flag = 0         self.defend_flag = 0         self.death_flag = 0      def draw(self, cards):         self.hand_cards.extend(cards)      def attack(self):  # 攻击,有杀出杀!         self.attack_flag = 0         if 'K' in self.hand_cards:             self.play('K')             self.attack_flag = 1             # print(self.name + " kill")         return self.attack_flag      def defend(self):  #防御,有闪出闪!         self.defend_flag = 0         if 'D' in self.hand_cards:             self.play('D')             self.defend_flag = 1             # print(self.name + " dash")         return self.defend_flag      def discard(self):  #弃牌         if len(self.hand_cards) <= self.blood:             pass         else:             while len(self.hand_cards) > self.blood:                 if 'K' in self.hand_cards:     #先丢杀                     self.play('K')                     # print(self.name + " discard K")                     continue                 elif 'D' in self.hand_cards:   #再丢闪                     self.play('D')                     # print(self.name + " discard D")                     continue      def action(self):  # 回合         self.draw(self.deck.issue_cards(2))         # print(self.name + " hand cards are " + str(self.hand_cards))         self.attack()         self.discard()         # print(self.name + "huihe ends")         return self.attack_flag      def take_initial_cards(self):         self.draw(self.deck.issue_cards(4))      def play(self, card):  #出牌         self.hand_cards.remove(card)         self.deck.to_used(card)      def check_health(self):   # 扣血         if self.defend_flag == 0:             self.blood -= 1         else:             pass      def death_check(self):  # 检查是否死亡         self.death_flag = 0         if self.blood == 0:             self.death_flag = 1         return self.death_flag           

然后是游戏环节, play.py

       from libsoldier import CardDeck from libsoldier import Soldier   def game():     winner = ''     huihe_number = 0     new_deck = CardDeck()     new_deck.shuffle()     simayi = Soldier("simayi", new_deck)     zhugeliang = Soldier("zhugeliang", new_deck)     simayi.take_initial_cards()     zhugeliang.take_initial_cards()     while True:         if zhugeliang.action():             simayi.defend()             simayi.check_health()             huihe_number += 1             if simayi.death_check():                 winner = "zhugeliang"                 break         if simayi.action():             zhugeliang.defend()             zhugeliang.check_health()             huihe_number += 1             if zhugeliang.death_check():                 winner = "simayi"                 break     return winner, huihe_number / 2   sum = 0 win_rate = 0 for _ in range(1000):     winner, number = game()     sum += number     if winner == "zhugeliang":         win_rate += 1  print(sum/1000.0, win_rate/1000.0)         

最后的结果是12.1305. 基本上是

@管清文

答案的一半左右,是不是我们对回合的定义不一样?我是按照题主说的,两个人都动一次,算一个回合。

先手优势挺大,基本上是6:4开。

我当时测试的比楼主的还要复杂一些,因为我还测试了英姿 vs 闭月 vs 制衡 等等。总之其实只要没有锦囊,出杀出闪都挺机械的,不太需要涉及到AI。


话说如果持续不断的回答三国杀问题,会不会成为“三国杀话题的优秀回答者” ?^_^

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    我能理解你作为家长或老师的担忧,希望孩子能扎扎实实地掌握数学知识,而不是依赖工具。用 MATLAB 来“偷偷”做数学作业,确实存在一些潜在的风险。咱们就来聊聊这事儿,好好跟孩子说道说道,让他明白这其中的道理。首先,咱得换个角度,别上来就批评。孩子偷偷用 MATLAB,说明他可能有这几种想法: 觉.............
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    好的,咱们这就来聊聊计算型存储/存算一体这玩意儿,它到底是怎么实现的。别看名字听起来有点绕,其实它的核心思想挺实在的——就是把计算能力往前推,往存储那里挪。 为啥要这么干?传统存储的痛点你想啊,咱们现在的数据量是蹭蹭蹭地往上涨,人工智能、大数据分析、物联网,哪一样不是吃数据的大户?传统的架构,数据在.............
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    在 Excel 中批量计算包含算式的单元格并显示结果,这个需求我们经常会遇到。想象一下,你有一堆像 "3+5"、"102+7" 这样的文本,你想要快速得到它们各自的计算结果,而不是一个一个手动输入公式。这样做的好处显而易见:节省大量时间,避免手动计算的错误。下面我将一步一步教你如何实现这个目标,我会.............
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    要详细评价“如果按照西方标准,计算世界史上那些超大帝国的疆域会怎样?”这一视频及其后续,我们需要从多个维度进行分析。由于我无法直接观看视频,我将基于这个标题以及可能包含的内容,进行一个全面的推演和评价。一、视频本身的可能内容与评价角度首先,理解“西方标准”在计算帝国疆域时的含义至关重要。这可能涉及以.............
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    这绝对是近年来欧洲能源格局中最具爆炸性的一个议题,触及了地缘政治、经济、环境,乃至社会生活的方方面面。欧盟雄心勃勃地提出一年内将俄罗斯天然气进口量削减三分之二,德国总理更是抛出要在年内停止进口俄罗斯石油的重磅言论,这背后无疑是一系列复杂且深刻的考量。首先,我们得明白欧盟此举的“导火索”——俄乌冲突。.............
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    想象一下,当你置身于古希腊,没有电子钟表,没有24小时制的概念,日子是如何一点点流淌过去的?他们有自己独特的方式来感知和划分时间,这其中充满了智慧和对自然的观察。古希腊人如何感知时间:自然与生活的节拍首先要明白,古希腊人并没有我们今天这样精确、统一的时间划分。他们的生活节奏很大程度上是跟着自然走的。.............

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