三体运动的微分方程组是如何列的？既然它没解析解，能否写一下计算过程？

说起三体问题，那可真是一门让人又爱又恨的学问。刘慈欣老师的科幻小说《三体》更是把它推向了大众视野，但其实早在牛顿时代，这个问题就已经让无数科学家抓耳挠腮了。

简单来说，三体问题就是研究三个具有相互引力作用的质点，在遵循牛顿万有引力定律的条件下，它们的运动轨迹如何变化的数学问题。这听起来好像不难，我们高中物理都学过万有引力，也知道怎么描述两个质点之间的运动——也就是二体问题，它的解是经典的椭圆轨道，也就是开普勒定律。

可一旦加入第三个质点，情况就变得复杂得不可收拾。问题的核心在于：三个天体之间的引力相互作用是耦合的，每个天体的运动都受到另外两个天体的同时影响，而且这种影响是动态变化的。

那么，三体运动的微分方程组是怎么列出来的呢？

我们不妨设定一个场景：有三个质点，质量分别为 $m_1, m_2, m_3$。它们在三维空间中的位置我们可以用向量来表示，比如质点 $i$ 的位置是 $vec{r}_i = (x_i, y_i, z_i)$，其中 $i$ 可以是 1, 2, 3。

根据牛顿万有引力定律，任意两个质点之间的引力是大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，方向沿着连接它们的直线。

所以，质点 1 受到的引力，就应该包括质点 2 对它的引力 $vec{F}_{21}$ 和质点 3 对它的引力 $vec{F}_{31}$。根据牛顿第三定律，质点 2 对质点 1 的引力方向与质点 1 对质点 2 的引力方向相反。

1. 分析质点 1 受到的力：
质点 2 对质点 1 的引力 $vec{F}_{21}$：
方向：从质点 1 指向质点 2。这个方向向量是 $(vec{r}_2 vec{r}_1)$。为了得到单位方向向量，我们需要除以它们之间的距离，即 $|vec{r}_2 vec{r}_1|$。
大小：$G frac{m_1 m_2}{|vec{r}_2 vec{r}_1|^2}$，其中 $G$ 是万有引力常数。
所以，$vec{F}_{21} = G frac{m_1 m_2}{|vec{r}_2 vec{r}_1|^3} (vec{r}_2 vec{r}_1)$。注意这里是三次幂，是因为我们把单位方向向量 $(vec{r}_2 vec{r}_1) / |vec{r}_2 vec{r}_1|$ 乘进去了。
质点 3 对质点 1 的引力 $vec{F}_{31}$：
同理，$vec{F}_{31} = G frac{m_1 m_3}{|vec{r}_3 vec{r}_1|^3} (vec{r}_3 vec{r}_1)$。

2. 应用牛顿第二定律来描述质点 1 的运动：
质点 1 的加速度是 $vec{a}_1 = frac{d^2 vec{r}_1}{dt^2}$。
根据牛顿第二定律，合外力等于质量乘以加速度：$m_1 vec{a}_1 = vec{F}_{21} + vec{F}_{31}$。
所以，质点 1 的运动方程是：
$m_1 frac{d^2 vec{r}_1}{dt^2} = G frac{m_1 m_2}{|vec{r}_2 vec{r}_1|^3} (vec{r}_2 vec{r}_1) + G frac{m_1 m_3}{|vec{r}_3 vec{r}_1|^3} (vec{r}_3 vec{r}_1)$
可以消去 $m_1$，得到：
$frac{d^2 vec{r}_1}{dt^2} = G frac{m_2}{|vec{r}_2 vec{r}_1|^3} (vec{r}_2 vec{r}_1) + G frac{m_3}{|vec{r}_3 vec{r}_1|^3} (vec{r}_3 vec{r}_1)$

3. 同理，我们可以写出质点 2 和质点 3 的运动方程：
质点 2 的加速度：
$frac{d^2 vec{r}_2}{dt^2} = G frac{m_1}{|vec{r}_1 vec{r}_2|^3} (vec{r}_1 vec{r}_2) + G frac{m_3}{|vec{r}_3 vec{r}_2|^3} (vec{r}_3 vec{r}_2)$
质点 3 的加速度：
$frac{d^2 vec{r}_3}{dt^2} = G frac{m_1}{|vec{r}_1 vec{r}_3|^3} (vec{r}_1 vec{r}_3) + G frac{m_2}{|vec{r}_2 vec{r}_3|^3} (vec{r}_2 vec{r}_3)$

这就是三体运动的微分方程组。每个方程都是一个二阶向量微分方程。如果我们把向量形式展开到三个分量（x, y, z），那么我们就得到了九个耦合的二阶常微分方程：

对于质点 1：
$frac{d^2 x_1}{dt^2} = G left( frac{m_2 (x_2 x_1)}{((x_2 x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 + (z_2 z_1)^2)^{3/2}} + frac{m_3 (x_3 x_1)}{((x_3 x_1)^2 + (y_3 y_1)^2 + (z_3 z_1)^2)^{3/2}} ight)$
$frac{d^2 y_1}{dt^2} = G left( frac{m_2 (y_2 y_1)}{((x_2 x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 + (z_2 z_1)^2)^{3/2}} + frac{m_3 (y_3 y_1)}{((x_3 x_1)^2 + (y_3 y_1)^2 + (z_3 z_1)^2)^{3/2}} ight)$
$frac{d^2 z_1}{dt^2} = G left( frac{m_2 (z_2 z_1)}{((x_2 x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 + (z_2 z_1)^2)^{3/2}} + frac{m_3 (z_3 z_1)}{((x_3 x_1)^2 + (y_3 y_1)^2 + (z_3 z_1)^2)^{3/2}} ight)$

同理，还有质点 2 和质点 3 的三个分量方程。总共是 9 个二阶常微分方程。

既然它没解析解，能否写一下计算过程？

这正是问题的关键所在，也是它如此令人着迷的原因。“没有解析解” 指的是，我们无法像二体问题那样，通过代数运算得到描述每个质点位置随时间变化的封闭的、精确的数学表达式（例如 $x_1(t) = ...$, $y_1(t) = ...$, $z_1(t) = ...$）。

那我们怎么“计算”三体运动呢？

既然无法得到一个普适的公式，我们只能采取数值计算的方法来近似求解。这个过程本质上是“模拟”宇宙中的情况。你需要知道每个天体的初始状态：它们的初始位置（$vec{r}_1(0), vec{r}_2(0), vec{r}_3(0)$）和初始速度（$vec{v}_1(0) = frac{dvec{r}_1}{dt}(0), vec{v}_2(0), vec{v}_3(0)$）。有了这些信息，我们就可以一步一步地推算出它们未来的运动轨迹。

这里介绍一种最基础的数值计算方法——欧拉法（虽然它很粗糙，但能说明原理）：

假设我们想知道在很短的时间 $Delta t$ 后，每个天体的位置和速度会变成什么样。我们有一个当前时刻 $t$ 的状态（位置和速度），我们想计算时刻 $t + Delta t$ 的状态。

1. 计算当前时刻的加速度：
根据当前的位置 $vec{r}_1(t), vec{r}_2(t), vec{r}_3(t)$，代入上面列出的微分方程组，就能计算出三个天体在时刻 $t$ 的加速度 $vec{a}_1(t), vec{a}_2(t), vec{a}_3(t)$。
$vec{a}_i(t) = G sum_{j eq i} frac{m_j}{|vec{r}_j(t) vec{r}_i(t)|^3} (vec{r}_j(t) vec{r}_i(t))$

2. 更新速度（欧拉向前法）：
我们假设在 $Delta t$ 这个很短的时间内，加速度是近似不变的。
所以，在时刻 $t + Delta t$，速度的变化量大约是 $vec{a}_i(t) Delta t$。
因此，新的速度可以近似为：
$vec{v}_i(t + Delta t) approx vec{v}_i(t) + vec{a}_i(t) Delta t$

3. 更新位置（欧拉向前法）：
同样，假设在 $Delta t$ 内速度也是近似不变的（或者使用刚更新的速度来更新位置）。
位置的变化量大约是 $vec{v}_i(t) Delta t$。
所以，新的位置可以近似为：
$vec{r}_i(t + Delta t) approx vec{r}_i(t) + vec{v}_i(t) Delta t$

这个计算过程就是一个循环：

初始步骤：设定 $t=0$ 时刻的 $vec{r}_1(0), vec{v}_1(0), vec{r}_2(0), vec{v}_2(0), vec{r}_3(0), vec{v}_3(0)$。
循环开始：
1. 计算 $vec{a}_1(t), vec{a}_2(t), vec{a}_3(t)$。
2. 根据 $vec{a}_i(t)$ 和 $vec{v}_i(t)$，用上述公式更新 $vec{v}_i(t + Delta t)$。
3. 根据 $vec{v}_i(t)$ 和 $vec{r}_i(t)$，用上述公式更新 $vec{r}_i(t + Delta t)$。
4. 将时间 $t$ 更新为 $t + Delta t$。
5. 如果还没达到我们想模拟的结束时间，回到第一步。

为什么说欧拉法粗糙？

欧拉法只考虑了当前时刻的加速度来预测下一时刻的状态，但实际上，天体的速度在 $Delta t$ 时间内一直在变化。随着时间的推移，这种近似会累积误差，导致模拟结果越来越不准确。

更精密的数值方法：

为了获得更精确的结果，科学家们发展出了许多更高级的数值积分方法，比如：

改进欧拉法 (Heun's method / Midpoint method): 在计算下一时刻的速度和位置时，会考虑多个点的加速度信息，或者先用欧拉法预测一个中间点，再用中间点的加速度来修正。
龙格库塔法 (RungeKutta methods, RK4 is very common): 这是目前非常流行和常用的一类方法。以四阶龙格库塔法（RK4）为例，它会计算四个不同“梯度”（加速度和速度的变化率）的加权平均值来更新状态。这种方法在精度和计算量之间取得了很好的平衡。它的计算过程会比简单的欧拉法复杂得多，需要计算多次加速度，但能显著减小误差。
辛积分器 (Symplectic Integrators): 对于哈密顿系统（包括许多力学系统），辛积分器在保持系统的能量和动量等守恒量方面表现更好，因此在长期模拟天体运动时，能避免能量漂移的问题，非常适合天体力学。

计算过程的细节展开（以一个简化的例子说明RK4的思想）：

我们以一个单变量的常微分方程 $dy/dt = f(t, y)$ 为例，用 RK4 来计算 $y(t+Delta t)$。

假设我们知道 $y(t)$ 和 $t$。

1. 计算第一个“斜率” $k_1$:
$k_1 = f(t, y(t))$ (这相当于欧拉法中的加速度)

2. 计算第二个“斜率” $k_2$:
我们先用第一个斜率预测一下中间点的值：$y_{mid1} = y(t) + frac{1}{2} k_1 Delta t$
然后计算这个中间点的斜率：$k_2 = f(t + frac{1}{2} Delta t, y_{mid1})$

3. 计算第三个“斜率” $k_3$:
我们再用第二个斜率预测一个中间点的值：$y_{mid2} = y(t) + frac{1}{2} k_2 Delta t$
然后计算这个中间点的斜率：$k_3 = f(t + frac{1}{2} Delta t, y_{mid2})$

4. 计算第四个“斜率” $k_4$:
这次我们用第三个斜率来预测最终点的值：$y_{end1} = y(t) + k_3 Delta t$
然后计算这个最终点的斜率：$k_4 = f(t + Delta t, y_{end1})$

5. 更新 $y(t+Delta t)$:
将这四个斜率进行加权平均：
$y(t + Delta t) = y(t) + frac{1}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) Delta t$

回到三体问题，我们是将这个思想应用到每个质点的每个分量上。比如，为了计算 $vec{r}_1(t+Delta t)$，我们需要计算 $x_1, y_1, z_1$ 三个分量的 RK4 更新。

对于三体问题，我们有 9 个二阶微分方程，或者可以转化为 18 个一阶微分方程（将速度设为新的变量，例如令 $vec{v}_i = dvec{r}_i/dt$，那么方程就是 $dvec{r}_i/dt = vec{v}_i$ 和 $dvec{v}_i/dt = vec{a}_i(vec{r}_1, vec{r}_2, vec{r}_3)$）。例如，对于质点 1 的 x 方向：

令 $y_1 = x_1$, $y_2 = v_{1x} = dx_1/dt$。方程组变为：
$dy_1/dt = y_2$
$dy_2/dt = a_{1x}$ (即上面 $dx_1/dt^2$ 的表达式)

然后我们对这 18 个状态变量（$x_1, y_1, z_1, v_{1x}, v_{1y}, v_{1z}, x_2, ...$) 依次应用 RK4 的步骤。每一步计算都需要重新代入当前的 $vec{r}_1, vec{r}_2, vec{r}_3, vec{v}_1, vec{v}_2, vec{v}_3$ 来计算新的加速度。

总结一下计算过程：

1. 准备初始条件: 明确三个质点的质量 $m_1, m_2, m_3$ 以及它们在 $t=0$ 的位置向量 $vec{r}_1(0), vec{r}_2(0), vec{r}_3(0)$ 和速度向量 $vec{v}_1(0), vec{v}_2(0), vec{v}_3(0)$。
2. 选择数值积分方法: 比如 RK4，并设定积分步长 $Delta t$。步长越小，精度越高，但计算量越大。
3. 迭代计算:
计算当前状态下的所有加速度: $vec{a}_1(t), vec{a}_2(t), vec{a}_3(t)$。
执行数值积分的内部步骤: 根据 RK4 的多步计算，预测出在 $t+Delta t$ 的新的位置和速度。这需要多次（RK4 需要 4 次）根据不同中间状态代入微分方程计算加速度。
更新状态和时间: 得到新的 $vec{r}_i(t+Delta t), vec{v}_i(t+Delta t)$，并将时间推进到 $t+Delta t$。
重复: 直到达到设定的模拟结束时间。

这个过程是一个纯粹的数值逼近，它不是解析解。我们得到的是一系列离散的时间点上的位置和速度，通过连接这些点，我们就能“看到”天体的运动轨迹。

正是因为没有解析解，三体问题才充满了神秘和不确定性，同时也激发了人们对混沌理论、数值模拟等领域的深入探索。就像我们看到的，即使是精确模拟，也需要强大的计算能力和精密的算法。

网友意见

谢邀.

“解析解“这个概念是比较宽裕的. 实际上，三体系统的方程组具有 Sundman 级数解^[1].

三体问题的陈述很简单: 求三个质点在它们相互间的 Newton 引力作用下于空间中的运动. 我们给定了其初始位置和初始速度, 希望求出它们以后的运动, 包括预测其轨迹, 时间等等.

这居然是一个困难的问题.

最初使人感到奇怪, 因为类似的二体问题的求解相当简单, 更准确地说, 给定了任意一组初始条件, 可以写出方程的解, 其中所含有的都是初等表达的(就是可以用基本的算术运算以及少数几个标准函数, 如指数函数、三角函数构造出来的表达式), 它能够告诉我们任意位置的速度和对应时间. 当然, 准确地给出关于时间的解也是可以做到的, 只是略显繁琐, 但问题总地归结于所谓 Kepler 方程的求解上. 我们可以说, 对于二体问题, 人类的研究是比较完备的.

然而三体问题是很复杂的非线性问题, 它难以用这种方法来解决, 哪怕把初等函数的定义扩大一些. Newton 自己就怀疑这个问题的精确求解, “如果我没有说错的话, 这超出了人类心智的力量”, 而 Hilbert 在著名的 1900 年巴黎演讲中, 则把这个问题放在类似 Fermat 大定理的同一个范畴里. 这个问题可以推广到任意多个物体, 在这个一般情况下, 我们称作 体问题. 我们将后续再对其作出详述.

请再次注意, 三体问题不是无解的.

所谓“无解”这个刻板印象，多是源于 Poincaré 等人的结果^[2]^[3]. 然而 Poincaré 说的是，“ 体系统除已知的守恒量^[4]外，没有其他守恒量“，因为当时的学术界多会使用守恒量降低系统自由度，从而简化求解过程，而该论文表明这个方法对于多体问题来说是行不通的. 至于“计算过程”，我估计数百来页的论文你是不想看的，故此处我只简略阐述一下 Sundman 的工作，后期再续写具体的细节.

回忆一下, 质点作用于的 Newton 引力的大小为这里是万有引力常数, 的质量为质点间的距离为作用力的方向则是由指向回忆一下 Newton 第二定律: 力等于质量乘以加速度. 现在我们设质点为和把的距离记作而的位置的第个坐标记作那么就可以用两条物理定律写出三体问题的运动方程为

这里遍及这样就有个标量方程. 它们都是从上面说的物理定律导出来的. 例如, 第一个方程左方就是第一个质点的加速度的第个分量, 右边就是作用在上的力在第个方向上的分量, 并除以了

如果我们能选择单位制使得则系统的位能(可以理解为势能)由

给出. 令

就能够把运动方程写成所谓的 Hamilton 形式

这里一共有 18 个一阶微分方程. 因为这个形式的方程组用起来更简便, 所以人们比起来会更愿意使用

降低一个微分方程组复杂性的标准方法是找它的守恒量, 或者说求首次积分^[5]. 也就是一个对于给定的解保持不变的函数, 而且作为一个积分它会给出变量之间的代数依赖关系. 这就使我们能够把某些变量用其他变量来表示, 从而减少变量的个数, 我们常说叫降低自由度. 三体问题有这样十个独立的积分, 其中的六个是关于质点组的质心的运动的(三个关于位置, 三个关于动量), 还有三个积分表示角动量守恒, 最后一个是能量守恒. 这十个积分 Euler 和 Lagrange 在 18 世纪中叶就已知道, 而在 1887 年, 莱比锡^[6]的天文教授 Ernst Heinrich Bruns (1848-1919) 证明了再也没有其他积分了, 这一点在两年以后又被 Poincaré 改进. 这十个积分再加上“消除时间” 和 “消除结点” (这个过程是 Jacobi 完成的), 就把原来的 18 阶方程组化简为一个只含 6 个方程的方程组, 但是再不能进一步化简了. 所以, 的任何一个通解都不能用一个简单的公式来表示, 我们可以期望的最好结果是用一个无穷级数来表示它. 要想找一个级数使它在有限时间段里工作得很好并不困难, 问题是要找一个对于任何的初始条件和任意的时间区段以及任意长的时间都能够使用的级数, 并且还要考虑到碰撞问题. 三体问题的完全解答需要考虑到这些物体的一切可能的运动, 包括确定是哪些初始条件可能导致二元或三元的碰撞. 因为碰撞是由微分方程的奇性来表示的, 这就意味着要找出完全的解, 就必须了解奇性.

这个问题证明比人们预想的更加有趣. 从方程的形式很明显可以看到, 碰撞会造成奇性. 但是, 是否还有其他类型的奇性就不那么清楚了. 在三体问题情况, Painlevé 在1897 年解决了这个问题: 碰撞是仅有的奇性. 然而, 对于多于三个物体的情况, 答案则不相同. 1908 年, 瑞典天文学家 Edvard Hugo von Zeipel (1873-1959) 证明了非碰撞的奇性只能当质点组可以在一段有限时间内就成为无界时才能出现. 1992 年, 夏志宏就五体问题找到了这种奇性的好例子, 在他的例子中, 个质点分为了两对, 每一对中的两个质点质量相同, 而第五个质点则质量很小. 每一对质点都在平行于平面的平面上沿着古怪的轨道运动, 而这两个轨道平面各在平面的上方和下方, 运动方向相反, 然后加进第五个质点, 它的运动限制在轴上而在这两个对子之间振荡. 夏志宏证明了第五个质点的运动迫使这两个对子的运动远离平面, 这个质点离开质点对子越来越近以至发生碰撞, 使这两个对子得到一阵一阵的加速度的爆发, 而在这个过程中, 这两个对子被迫在有限时间之内走向无穷.

人们一方面在寻求一般地解决这个问题的方法, 同时也去寻求有趣的特殊的解, 我们定义一个中心构型(central configuration)为一个几何构型不变的解. 第一个例子是 Euler 在 1767 年得到的, 三个质点列在一条直线上而以均匀的角速度绕公共的质心沿圆周或椭圆旋转. 1772 年 Lagrange 得到了另一个解, 其中三个质点位于一个等边三角形的顶点上而绕其质心作匀速旋转. 对于几乎所有的初始条件集合, 这个三角形的大小都在变化, 从而每一个质点都沿椭圆运动.

然而, 尽管发现了一些特解, 而且在一个世纪里对于这个问题进行了范围很广的研究工作, 19 世纪的数学家仍然没有找到通解. 说真的, 这个问题是如此困难, 使得 Poincaré 在 1890 年宣布: 如果没有发现了不起的新的数学, 这个问题是不可能解决的.

但是, 和 Poincaré 的期望相反, 不到 20 年后, 一位年轻的芬兰数学天文学家 Karl Frithiof Sundman (1873-1949) 就使用现有的数学技巧得到了一个对所有的时间都一致收敛的无穷级数, 从而“数学地”解决了这个问题, 使得整个数学世界大为震惊. Sundman 的级数是的幂级数^[7], 对于所有的实的除了初始值在一个可忽略的集合中的情况以外都是收敛的^[8], 而这个可忽略的集合中的初始值对应于角动量为零的情况. 证明过程中会遇到一个重要的瓶颈，即该级数的收敛半径取决于最近奇点^[9]的距离，因此我们须要研究这些可能的奇性. 我们的模型是高度理想的，即不考虑星体半径，均认为是质点. 那么比较显然的是，碰撞情况是难以发生的^[10]. 但在当时，尚未有一个系统的方法去考虑这种初态，以避免碰撞情况对应的解.

对此, Sundman 为了对付二元碰撞, 使用了一种称为正则化的方法, 也就是把解解析拓展到碰撞以后, 但是, 他不能处理三元碰撞, 因为三元碰撞只在角动量为零时出现. 他具体地做了以下讨论：

在正则化过程中适当地更改变量(见举例)，以分析二元碰撞以外的解.
证明了三元碰撞当且仅当角动量为零时发生. 具体地，考虑限制初态可以在上述方程组的一个转化形式中略去所有实奇点.
证明若则不仅没有三元碰撞，并且始终不会出现这种情况. 这也意味着，使用 Cauchy 存在性定理可以良好地解决该微分方程，在实轴^[11]周围的复平面内的一条带状区域^[12]内不存在复奇点.
找到一个保角变换使得这个带状区域被映射至单位圆内.

例　原文考虑若则构造

Sundman 的解虽然是一个了不起的数学成就, 却留下了许多待解答的问题. 这个解对于系统的定性的形态没有提供任何信息, 更糟糕的是, 他的级数收敛得太慢, 几乎没有任何实际用途. 想要决定这个系统在一个合理的时间周期中的行为, 进行有意义的^[13]天文学应用, 需要对数量级大约为的那么多项^[14]求和才有可能, 这种计算明显地是不现实的, 所以 Sundman 留下了许多工作要做, 而关于这个问题 (以及相关的体问题) 的研究一直延续到今天, 而且不时有令人兴奋的结果出现. 一个新近的例子就是 Don Wang^[15] 在 1991 年对一般的体问题给出了收敛的幂级数解.

既然三体问题本身已经证明是难于处理的, 所以发展了许多简化的版本, 其中最著名的称为限制性三体问题(这个名词是 Poincaré 提出来的), 而首先是由 Euler 研究的. 在这个情况下, 有两个物体, 称作主星(primaries), 在重力的吸引下绕它们的公共质心沿圆形轨道运动, 而第三个物体, 称作小天体^[16](planetoid), 假设其质量如此之小, 而对另两个物体的影响可以忽略不计, 这个小天体在主星所决定的平面上运动. 这样来陈述问题有一个好处就是主星的运动可以看成是一个二体问题, 从而是已知的; 余下的只是要研究小天体的运动, 这可以用扰动理论来进行. 虽然限制性三体问题可能看起来是人为构造的, 但是对真实的物理情况, 例如在有太阳存在时决定月亮绕地球运动的问题, 把它看成限制性三体问题就是一个好的近似. Poincaré 对于限制性三体问题研究得很多, 而他为了这个问题所发展的技术把他引导到对于数学的混沌(Chao)的发现, 也为现代的动力系统理论打下了基础.

作为一个陈述起来很简单的问题, 三体问题除了其内在的魅力以外, 还有一个性质增加了它对想要解决它的人的吸引力, 那就是它与太阳系的稳定性这个基本问题有密切的关系. 这个问题就是, 我们的行星系统将永远和它现在的情况一样呢, 还是最终它的一个组成的行星会逃逸或者会糟糕地碰撞呢? 因为太阳系里的星体都是近似球形的, 而它们的大小比起它们相互之间的距离有都是极小的, 它们都可以看成是质点. 如果忽略所有其他的力如太阳风或相对论效应, 而只考虑引力, 太阳系就可以用一个十体问题为模型, 这十个质点中只有一个有大的质量, 其余九个都很小, 而可以这样来研究太阳系.

多年以来, 求解三体问题(以及相关的体问题)的企图, 孵育了大量的研究财富, 结果是: 它的重要性既在于它本身, 也在于它所造成的数学的进展. 这方面的一个引人注目的例子是 KAM 理论的发展, 这个理论提供了一个求积被扰动的 Hamilton 系统的方法, 而且提供了对于无限时间周期也适用的结果. 这个理论是在 1950 和 1960 年代由 Kolmogorov, Vladimir Igorevich Arnold^[17](1937-2010) 和 Jürgen Kurt Moser^[18](1928-1999) 发展起来的.

参考

^ Sundman, Karl F. "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36.1 (1913): 105-179.
^ Poincaré, Henri. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Vol. 3. Gauthier-Villars et fils, 1899.
^ Bruns, Heinrich. "Über die integrale des Vielkörper-problems." Acta Mathematica 11.1 (1887): 25-96.
^ 即三维质心，三维动量，三维角动量，能量.
^ 亦有代数积分一说.
^ 位于德国东部.
^ Barrow-Green, J. (2010). The dramatic episode of Sundman, Historia Mathematica 37, pp. 164–203.
^ 值得注意的是，使得角动量为零的初态条件是比较特殊的，然而这种情况是「足够少的」，因为其 Lebesque 测度为零.
^ 在三体问题中，这个奇点指的是二体及三体碰撞的情况.
^ 实际上可以证明其总对应一组测度为零的初态.
^ Kovalevskaya 投影.
^ 由角动量决定.
^ 指达到常规科研所需的精确度.
^ 这是一个初步估计：David Beloriszky, D. (1930). "Application pratique des méthodes de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps". Bulletin Astronomique. Série 2. 6: 417–434.
^ Don Wang 是一位现在在美国的中国数学家. 他的名字的英文拼写似乎不统一, 例如 Guidong Wang, Qiudong Wang, D. Wang 等等, 中文的写法也没有弄清楚. 请参看一篇文章: Florin Diacu, The solution of the n-body problem. The Mathematical Intellegincer, 1996, 18(3):66-70, 其中不但讲到了 Don Wang 的工作, 更重要的是对 n 体问题的意义和历史作了很精彩的讲述.
^ 这里没有译为“小行星”, 以免与天文学中的“小行星”(asteriod)混淆.
^ 前苏联及俄罗斯数学家. 作有著名本科教材《常微分方程》、《经典力学中的数学方法》等.
^ 德国数学家.

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北京市第三体育运动学校的学生们当初建立的“三体吧”，原本很可能只是一个围绕他们共同的体育爱好和生活圈子的小天地。但一个颇具戏剧性的转折是，这个小小的线上据点，竟然被《三体》科幻爱好者们“占领”了。这事儿细想起来，挺有意思的，也折射出了一些有趣的现象。首先，这事儿就如同一个意外的“碰撞”。体育学校的孩.............
《三体》中有什么巧妙的伏笔和细节？

《三体》系列小说，尤其是第一部，以其宏大叙事、深刻思想和严谨逻辑著称，其中巧妙的伏笔和细节之多，令人叹为观止。这些细节不仅是推动情节发展的工具，更是塑造人物、深化主题、营造氛围的关键。下面我将详细列举一些主要的伏笔和细节，并尝试解释它们的巧妙之处。一、关于叶文洁的“信”与“黑暗森林”的萌芽：最.............
《三体》中最悲哀的一句话是什么？

在《三体》这部宏大的科幻史诗中，存在着许多令人心碎、引人深思的语句。要挑选出“最”悲哀的一句话，是一个主观且极具挑战性的问题，因为不同的人会被不同的情境和哲理所触动。然而，如果要我选择一句最能概括整部作品中贯穿始终的绝望与悲哀，那我认为是来自于叶文洁的这句话（或者说，是她行为的直接结果所带来的感悟）.............
《三体》里的水滴有可能被制造出来吗？

关于《三体》中的“水滴”能否被制造出来，这是一个非常有趣且引人深思的问题，它涉及到物理学、材料科学以及我们对宇宙尺度的理解。为了详细地回答这个问题，我们需要从多个层面进行剖析。一、水滴的“本质”与制造的挑战首先，我们要理解《三体》中水滴的设定。在小说中，水滴并非真正意义上的液体水滴，而是由“强互作.............
《三体》中，程心对地球对人类的爱，和云天明对程心的爱，哪个是大爱？

在刘慈欣的科幻巨著《三体》中，程心对地球对人类的爱，以及云天明对程心的爱，都是非常深刻的情感，但若要区分哪个是“大爱”，需要从其表现形式、影响范围、牺牲程度以及对宇宙文明法则的理解等多个维度进行考察。首先，我们来详细解读程心对地球和人类的爱：程心对地球和人类的爱，更多体现在她作为一个普通个体，在极端.............
《三体》里有哪些彩蛋？

刘慈欣的《三体》系列小说以其宏大的宇宙观、深刻的思想内涵和精彩的情节赢得了无数读者的喜爱。除了引人入胜的故事本身，《三体》系列也埋藏了许多巧妙的“彩蛋”，这些彩蛋可能是一些致敬、一些暗示，或者是一些与现实世界或作者本人相关的有趣细节。以下我将尽量详细地列举和阐述《三体》系列中一些比较明显的彩蛋，并尝.............
《三体》中有哪些细思恐极的细节？

《三体》这部小说，与其说是硬科幻，不如说是一场宏大的思想实验，它抛出的很多概念和设定的背后，都隐藏着令人不寒而栗的“细思恐极”。这些细节并非作者故意制造的惊悚，而是逻辑推演到极致后自然而然产生的深邃恐惧。就拿书中多次出现的“黑暗森林法则”来说，这本身就不是一个惊悚故事里的“鬼魂”，而是一个文明在宇宙.............
《三体Ⅱ 黒暗森林》2020年6月18日在日本发售，反响如何?

关于《三体II：黑暗森林》在日本2020年6月18日发售后的反响，可以从几个层面来详细描述。首先，值得注意的是，日本人普遍对科幻作品有着相当高的鉴赏力和接受度，《三体》系列在日本并非初次亮相，而是作为备受期待的续作推出的。因此，这次发售延续了前作积累的良好口碑，同时也吸引了更多新读者的目光。市场表现.............
《三体》中维德为什么最后要放下武器？

在《三体》系列中，章北海是让我印象最深刻的角色之一，他的远见卓识和对人类文明延续的执着，总能引发我深入的思考。而关于托马斯·维德，他与章北海的对比，尤其是在最终抉择上的分歧，更是将“人类文明的延续”这一宏大主题推向了极致的张力。很多人觉得维德是个不折不扣的“疯子”，一个为了目标可以不择手段的狂人。他.............
《三体》何种情况下会走下神坛？

《三体》会走下神坛吗？这个问题，就像在问我们何时会厌倦仰望星空一样，答案是：或许会，但绝非一朝一夕，更不会是轻易的“走下”。它之所以能被冠以“神坛”之名，是因为它在多个维度上触及并颠覆了许多人对科幻的认知，更触及了人类文明的深层焦虑和思考。然而，任何事物都会有其生命周期，即使是伟大的作品。要让《三体.............
三体中猜疑链一旦形成除了一方被毁灭有没有其他方法消除？实力强大到什么程度才能无视猜疑链呢？

《三体》中的猜疑链，说到底是一种基于生存本能和理性推演所形成的恶性循环，它源于宇宙社会学最基本的那条“黑暗森林法则”。要理解如何打破它，以及何种实力才能无视它，我们需要深入挖掘叶文洁和罗辑的思想，以及程心时代的一些教训。猜疑链的形成与恶性循环猜疑链的根源在于“生存是文明的第一需要”，以及“宇宙就是一.............
三体中的红岸基地的原型是在齐齐哈尔市的富拉尔基么？

关于《三体》中红岸基地是否以齐齐哈尔市富拉尔基为原型，这是一个在读者群体中颇为流传的猜测。但要给出确切的答案，其实是没有官方的、明确的说法的。刘慈欣本人并没有在任何公开场合或作品中指明红岸基地的具体原型就是富拉尔基。不过，之所以会有这样的联想，甚至很多人将其视作“心照不宣”的事实，背后是有一些非常值.............
《三体》里程心、艾AA和庄颜哪个最适合做女朋友？

这真是个让《三体》迷们津津乐道的问题，把几个书中举足轻重的女性角色放到现实感情的秤杆上称一称，确实挺有意思的。不过说实话，谁“最适合”做女朋友，这事儿真没个标准答案，完全看你想要的是什么。咱们一个一个来，好好说道说道。先说庄颜。庄颜，那是很多人心中“完美女神”的代名词。你说她有多适合做女朋友？从大多.............
《三体2》的最后罗辑怎么记住的三体的三维坐标？

《三体2：黑暗森林》的结局，罗辑之所以能够记住并利用三维坐标，并非一个简单的“记住”过程，而是整个故事推进和人物成长的一个关键节点，是他主动构建和巩固的结果。这其中涉及到他深刻的危机感、对宇宙法则的理解，以及近乎执拗的思考方式。首先，我们要明白罗辑的处境。在“面壁者”时期，他被迫与整个文明的命运绑在.............
三体星球生态环境这么差，三体人是如何发展出比地球还要高科技的文明？

三体星球的恶劣生态环境，这确实是《三体》系列中一个令人着迷且充满张力的设定。在这样极端苛刻的条件下，三体人竟然发展出了远超地球文明的科技水平，这背后蕴含着一套独特且令人信服的逻辑。下面我将尝试深入剖析这一过程，力求展现其真实性，避免AI写作的生硬感。首先，我们需要明确“恶劣”的定义。三体星球并非简单.............
《三体》可以算是中国最伟大的小说之一吗？

这个问题，我觉得可以从几个层面来聊聊，《三体》是不是“中国最伟大”的这事儿，真不是一句话能说死的，而且“伟大”这词儿本身就挺主观的。不过，咱们可以掰开了揉碎了，好好说道说道这小说究竟是个什么斤两。首先，咱们得承认，《三体》绝对是中国科幻文学的一个里程碑，甚至可以说是打开了新世界的大门。在它之前，虽然.............
《三体》中，歌者为什么那么轻易就使用二向箔？

在《三体》的浩瀚星辰中，歌者，这位来自“歌者文明”的执行者，其行动逻辑常常令读者感到难以理解，尤其是他那轻易便抛出“二向箔”的行为，更是将人类置于绝境。要深入理解歌者为何如此“轻易”动用这一毁灭性武器，我们需要从多个层面进行剖析，结合他的文明背景、任务性质以及对宇宙法则的认知。首先，我们必须明确歌者.............