n! 和 n²，哪个更大呢？

要比较 $n!$ 和 $n^2$ 的大小，我们需要分情况讨论，因为它们的大小关系会随着 $n$ 的取值而改变。

让我们来详细分析：

定义:

$n!$ (读作 "n的阶乘") 是指从 1 开始到 $n$ 的所有正整数的乘积。
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes dots imes (n1) imes n$
例如：$3! = 1 imes 2 imes 3 = 6$，$5! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5 = 120$。
规定 $0! = 1$。

$n^2$ 是指 $n$ 乘以自身。
$n^2 = n imes n$
例如：$3^2 = 3 imes 3 = 9$，$5^2 = 5 imes 5 = 25$。

比较过程:

我们可以通过计算一些小数值的 $n!$ 和 $n^2$ 来寻找规律：

| $n$ | $n!$ | $n^2$ | $n!$ 与 $n^2$ 的关系 |
| : | : | : | : |
| 0 | $0! = 1$ | $0^2 = 0$ | $n! > n^2$ |
| 1 | $1! = 1$ | $1^2 = 1$ | $n! = n^2$ |
| 2 | $2! = 1 imes 2 = 2$ | $2^2 = 4$ | $n! < n^2$ |
| 3 | $3! = 1 imes 2 imes 3 = 6$ | $3^2 = 9$ | $n! < n^2$ |
| 4 | $4! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 = 24$ | $4^2 = 16$ | $n! > n^2$ |
| 5 | $5! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5 = 120$ | $5^2 = 25$ | $n! > n^2$ |
| 6 | $6! = 120 imes 6 = 720$ | $6^2 = 36$ | $n! > n^2$ |

从上面的表格可以看出：

当 $n=0$ 时，$n! > n^2$。
当 $n=1$ 时，$n! = n^2$。
当 $n=2$ 和 $n=3$ 时，$n! < n^2$。
当 $n ge 4$ 时，$n! > n^2$。

为什么会发生这种变化？

让我们深入分析一下 $n!$ 的构成：
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes dots imes n$

$n^2 = n imes n$

为了更清晰地比较，我们可以尝试将 $n!$ 写成与 $n^2$ 相关的形式。

考虑当 $n ge 4$ 时：
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5 imes dots imes n$

我们可以将 $n!$ 分解一下：
$n! = (1 imes 2 imes 3) imes (4 imes 5 imes dots imes n)$
$n! = 6 imes (4 imes 5 imes dots imes n)$

而 $n^2 = n imes n$。

我们知道，对于 $n ge 4$：
$n!$ 是从 1 乘到 $n$ 的所有数字的乘积。
$n^2$ 是 $n$ 乘以自身。

让我们关注从第 4 项开始的乘积：
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes underline{4} imes underline{5} imes dots imes underline{n}$

将 $n!$ 与 $n^2$ 进行比较，我们可以尝试将 $n!$ 的项与 $n^2$ 的项进行分组比较。

假设 $n ge 4$。
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5 imes dots imes n$
$n^2 = n imes n$

让我们尝试从 $n=4$ 开始推导。
$4! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 = 24$
$4^2 = 4 imes 4 = 16$
$4! > 4^2$

现在考虑 $n=5$。
$5! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5$
$5^2 = 5 imes 5$

我们可以这样看：
$5! = (1 imes 2 imes 3 imes 4) imes 5$
$5^2 = 5 imes 5$

如果我们观察 $n!$ 的增长方式，它比 $n^2$ 的增长快得多。这是因为在 $n!$ 的乘积中，随着 $n$ 的增大，不仅是最后一个因子在增大，前面的因子也在增大。而 $n^2$ 的增长主要来自于 $n$ 的增加，其乘数始终是 $n$。

更严格的证明（数学归纳法或者直接分析乘积）：

让我们用更严谨的方式来证明当 $n ge 4$ 时，$n! > n^2$。

方法一：直接分析乘积

对于 $n ge 4$，我们可以将 $n!$ 的表达式展开：
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5 imes dots imes n$

我们可以将 $n!$ 改写为：
$n! = (1 imes 2 imes 3) imes (4 imes 5 imes dots imes n)$
$n! = 6 imes (4 imes 5 imes dots imes n)$

现在我们来比较 $n!$ 和 $n^2$。
考虑比例 $frac{n!}{n^2}$：
当 $n=4$ 时，$frac{4!}{4^2} = frac{24}{16} = 1.5 > 1$。
当 $n=5$ 时，$frac{5!}{5^2} = frac{120}{25} = 4.8 > 1$。

我们想证明对于 $n ge 4$ 时，$frac{n!}{n^2} > 1$。
我们也可以写成：
$frac{n!}{n^2} = frac{1 imes 2 imes 3 imes 4 imes dots imes n}{n imes n}$
$frac{n!}{n^2} = frac{1}{n} imes frac{2}{n} imes frac{3}{n} imes frac{4}{n} imes dots imes frac{n}{n}$

这看起来不太直接。让我们换个角度。

考虑如何从 $frac{(n1)!}{(n1)^2}$ 和 $frac{(n1)^2}{(n1)!}$ 的关系推导出 $frac{n!}{n^2}$ 的关系。
假设我们已经知道对于 $n1 ge 4$ (即 $n ge 5$)，$(n1)! > (n1)^2$。

我们来比较 $frac{n!}{n^2}$ 和 $frac{(n1)!}{(n1)^2}$。
$frac{n!}{n^2} = frac{n imes (n1)!}{n imes n} = frac{(n1)!}{n}$

比较 $frac{(n1)!}{n}$ 和 $frac{(n1)!}{(n1)^2}$。
由于 $n > (n1)^2$ 对于 $n ge 5$ 是成立的（因为 $(n1)^2 = n^2 2n + 1$，当 $n=5$ 时，$(51)^2 = 16 < 5$ 不成立，这个比较方式不对）。

正确的直接分析乘积的方法：

我们知道 $n! = 1 imes 2 imes 3 imes dots imes n$。
我们想证明对于 $n ge 4$，有 $n! > n imes n$。

让我们比较 $n!$ 的每一项与 $n^2$ 的项。
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes dots imes n$
$n^2 = n imes n$

考虑当 $n ge 4$ 时：
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5 imes dots imes n$
$n^2 = n imes n$

我们可以把 $n!$ 写成：
$n! = (1 imes 2 imes 3) imes (4 imes 5 imes dots imes n)$
$n! = 6 imes (4 imes 5 imes dots imes n)$

我们想比较 $6 imes (4 imes 5 imes dots imes n)$ 和 $n imes n$。

更简单直接的比较：

让我们将 $n!$ 和 $n^2$ 的乘积项逐一对比，但要巧妙分组。

当 $n ge 4$:
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5 imes dots imes n$
$n^2 = n imes n$

我们可以写成：
$frac{n!}{n^2} = frac{1 imes 2 imes 3 imes 4 imes 5 imes dots imes n}{n imes n}$

我们可以重新排列 $n!$ 的因子：
$n! = (1 imes frac{2}{n} imes frac{3}{n} imes dots imes frac{n1}{n}) imes n imes n$

这还是有点绕。

让我们回到最直观的比较，观察增长速度：

$n^2$ 是一个二次函数，增长速度相对较慢。
$n!$ 是一个阶乘函数，增长速度极快。

一旦 $n!$ 的乘积中的因子开始“赶上” $n^2$ 的乘数，并且开始超越，那么 $n!$ 的增长就会变得压倒性优势。

让我们观察 $n!$ 相对于 $n^2$ 的变化率（虽然不是严格的导数）：
$frac{(n+1)!}{(n+1)^2} = frac{(n+1) imes n!}{(n+1) imes (n+1)} = frac{n!}{n+1}$
$frac{n!}{n^2}$

现在比较 $frac{n!}{n+1}$ 和 $frac{n!}{n^2}$。
如果 $frac{n!}{n+1} > frac{n!}{n^2}$，这意味着当 $n$ 增加 1 时，$n!$ 相对于 $n^2$ 的增长更快。
$frac{n!}{n+1} > frac{n!}{n^2} iff frac{1}{n+1} > frac{1}{n^2} iff n^2 > n+1$。

我们来看看 $n^2 > n+1$ 这个不等式什么时候成立：
$n^2 n 1 > 0$
求根 $n = frac{1 pm sqrt{1 4(1)(1)}}{2} = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$。
黄金分割点大约是 $1.618$ 和 $0.618$。
所以，当 $n > frac{1 + sqrt{5}}{2} approx 1.618$ 时，$n^2 > n+1$。
这意味着对于 $n ge 2$， $n^2 > n+1$ 成立。

然而，我们比较的是 $frac{n!}{n^2}$ 的比例。
我们比较的是 $frac{(n+1)!}{(n+1)^2}$ 和 $frac{n!}{n^2}$ 的大小关系。

假设我们已经知道 $k! > k^2$ 对于某个 $k ge 4$。
那么 $frac{k!}{k^2} > 1$。

现在我们来看 $(k+1)!$ 和 $(k+1)^2$。
$(k+1)! = (k+1) imes k!$
$(k+1)^2 = (k+1) imes (k+1)$

我们想比较 $(k+1) imes k!$ 和 $(k+1) imes (k+1)$。
这等价于比较 $k!$ 和 $k+1$。
我们知道，对于 $k ge 4$， $k! > k+1$。

所以，当 $k ge 4$ 时：
$k! > k+1$
两边同乘以 $(k+1)$ (由于 $k+1 > 0$)：
$(k+1) imes k! > (k+1) imes (k+1)$
$(k+1)! > (k+1)^2$

这证明了，一旦 $n! > n^2$ 的关系成立，那么对于更大的 $n$，它将继续成立。

我们只需要找到第一个使 $n! > n^2$ 成立的 $n$ 值。

从我们的表格中，我们看到：
$n=0$: $1 > 0$ (成立)
$n=1$: $1 = 1$ (成立)
$n=2$: $2 < 4$ (不成立)
$n=3$: $6 < 9$ (不成立)
$n=4$: $24 > 16$ (成立)

因此，从 $n=4$ 开始，$n!$ 就比 $n^2$ 大，并且这个关系会一直保持下去。

总结:

1. $n=0$: $0! = 1$, $0^2 = 0$。 $0! > 0^2$。
2. $n=1$: $1! = 1$, $1^2 = 1$。 $1! = 1^2$。
3. $n=2$: $2! = 2$, $2^2 = 4$。 $2! < 2^2$。
4. $n=3$: $3! = 6$, $3^2 = 9$。 $3! < 3^2$。
5. $n ge 4$: $n! > n^2$。

为什么当 $n ge 4$ 时，$n!$ 会增长得比 $n^2$ 快？

让我们观察 $n! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes dots imes n$ 和 $n^2 = n imes n$。
我们可以将 $n!$ 写成：
$n! = (frac{1}{n} imes frac{2}{n} imes dots imes frac{n1}{n}) imes n imes n$
这不对。

正确的思路是：
将 $n!$ 写成 $n^2$ 的倍数的形式，看看倍数是多少。
$frac{n!}{n^2} = frac{1 imes 2 imes 3 imes 4 imes dots imes n}{n imes n}$

我们可以把这个表达式重写成：
$frac{n!}{n^2} = frac{1}{n} imes frac{2}{n} imes frac{3}{n} imes frac{4}{n} imes dots imes frac{n}{n} imes n$ (这是错的)

正确的分组比较是：
$frac{n!}{n^2} = frac{1}{1} imes frac{2}{2} imes frac{3}{3} imes frac{4}{4} imes dots imes frac{n}{n}$ (这是错的)

我们应该关注的是，当 $n$ 变大时，$n!$ 的每个因子都在增长，而 $n^2$ 的乘数（$n$）只是线性增长。

考虑 $frac{n!}{n^2}$：
$frac{n!}{n^2} = frac{1 imes 2 imes 3 imes 4 imes dots imes n}{n imes n}$

让我们把 $n^2$ 的两个因子分别与 $n!$ 的因子进行比较。
$n! = 1 imes 2 imes 3 imes 4 imes dots imes n$
$n^2 = n imes n$

当 $n ge 4$:
$n! = (1 imes 2 imes 3) imes 4 imes 5 imes dots imes n = 6 imes (4 imes 5 imes dots imes n)$

我们想比较 $6 imes (4 imes 5 imes dots imes n)$ 和 $n imes n$。

关键在于，从 $n=4$ 开始， $n!$ 的乘积中除了 $n$ 这个因子外，还有 $1 imes 2 imes 3 imes 4 imes dots imes (n1)$。

考虑 $n! = n imes (n1)!$ 和 $n^2 = n imes n$。
当我们比较 $n!$ 和 $n^2$ 时，我们可以约掉一个 $n$（假设 $n e 0$）。
比较 $(n1)!$ 和 $n$。

我们发现，当 $n ge 4$ 时，$(n1)!$ 增长得比 $n$ 快得多。
例如：
$n=4$: 比较 $(41)! = 3! = 6$ 和 $4$。 $6 > 4$。
$n=5$: 比较 $(51)! = 4! = 24$ 和 $5$。 $24 > 5$。
$n=6$: 比较 $(61)! = 5! = 120$ 和 $6$。 $120 > 6$。

这就是为什么 $n!$ 会超越 $n^2$ 的根本原因。一旦 $(n1)!$ 大于 $n$，那么乘以 $n$ 得到的 $n!$ 就一定会大于 $n imes n$ ($n^2$)。

总结陈述：

对于 $n=0$: $0! = 1$, $0^2 = 0$。因此，$0! > 0^2$。
对于 $n=1$: $1! = 1$, $1^2 = 1$。因此，$1! = 1^2$。
对于 $n=2$: $2! = 2$, $2^2 = 4$。因此，$2! < 2^2$。
对于 $n=3$: $3! = 6$, $3^2 = 9$。因此，$3! < 3^2$。
对于 $n ge 4$: $n!$ 会大于 $n^2$。我们可以通过比较 $n!$ 和 $n^2$ 来证明这一点。
考虑将 $n!$ 的表达式写成：
$n! = n imes (n1)!$
$n^2 = n imes n$

要比较 $n!$ 和 $n^2$，我们可以比较 $(n1)!$ 和 $n$（假设 $n e 0$）。
当 $n=4$ 时，比较 $(41)! = 3! = 6$ 和 $4$。因为 $6 > 4$，所以 $4! > 4^2$。
当 $n > 4$ 时，我们知道 $(n1)!$ 包含了比 $n$ 小的因子 $1, 2, 3, dots, n1$ 的乘积。例如，$(n1)! = (n2)! imes (n1)$。
由于当 $n ge 4$ 时，$(n1)!$ 的增长速度远超 $n$ 的线性增长，因此一旦 $(n1)! > n$ 成立，那么乘以 $n$ 后，$n! > n^2$ 也会成立，并且这种差距会随着 $n$ 的增大而进一步拉大。

最终结论：

$n! > n^2$ 当 $n=0$ 和 $n ge 4$ 时。
$n! = n^2$ 当 $n=1$ 时。
$n! < n^2$ 当 $n=2$ 和 $n=3$ 时。

为啥感觉都做那么麻烦。。实际上根本不用数归，直接用定义就出来了

首先我们知道 ，下面我们证明 时有

直接作商，得

证毕。