为什么n维欧式空间中的单位球面（n-1 sphere）的表面积和体积，在 n 趋于 ∞ 时，都趋于0？
你提的这个问题很有意思，确实，在直觉上有点违背我们对“大”的认知。我们通常认为维度越高，空间越大，事物应该也变得更大。但在 n 维欧式空间中，单位球面的“表面积”和“体积”在维度 n 趋于无穷时都趋于零，这背后有着深刻的数学原因，主要与概率、高维空间的分布特性以及几何形状的伸展有关。
让我们一层一层地剥开这个现象。
什么是 n 维单位球面和单位球？
首先，我们需要明确一下概念。
n 维单位球 (Unit Ball)：是指所有到原点距离小于或等于 1 的点组成的集合。在数学上，它表示为 $B_n(1) = { x in mathbb{R}^n mid |x|_2 leq 1 }$，其中 $|x|_2 = sqrt{x_1^2 + x_2^2 + dots + x_n^2}$ 是欧几里得范数。你可以想象一下：一维的单位球是 [1, 1] 区间，二维是单位圆（包含圆内所有点），三维是单位球（包含球内所有点）。
n 维单位球面 (Unit Sphere)：是指所有到原点距离恰好等于 1 的点组成的集合。它表示为 $S^{n1}(1) = { x in mathbb{R}^n mid |x|_2 = 1 }$。这就是我们通常说的“球面”。一维的单位球面是 {1, 1} 这两个点，二维是单位圆的边界，三维是球面边界。你说的“n1 sphere”实际上是指 n 维空间中的一个 (n1) 维的对象，也就是 n 维单位球面。
我们来关注的是这个球面 $S^{n1}(1)$ 的“表面积”（通常称为 $(n1)$体积或超面积）和单位球 $B_n(1)$ 的“体积”（通常称为 $n$体积）。
为什么会趋于零？核心在于“集中”
最直观的解释是：随着维度增加，单位球的绝大部分体积和表面积都集中在赤道附近，也就是最“扁平”的部分。当维度极高时，这种集中效应变得极其夸张，导致“赤道”之外的区域相对于整体变得微不足道。
为了理解这一点，我们需要了解高维空间的一个奇特属性：大多数“随机”的点都位于距离原点非常接近 1 的地方。
1. 体积的递减：大多数体积“挤”在了球面附近
让我们先来看单位球的体积 $V_n(1)$。n 维单位球的体积公式是：
$V_n(1) = frac{pi^{n/2}}{Gamma(n/2 + 1)}$
其中 $Gamma(z)$ 是伽马函数，它推广了阶乘函数 ($Gamma(n+1) = n!$)。
现在，我们来分析当 $n o infty$ 时这个公式的行为。
使用伽马函数的性质:
当 $n$ 是偶数时，$n = 2k$，则 $V_{2k}(1) = frac{pi^k}{k!}$。
当 $n$ 是奇数时，$n = 2k+1$，则 $V_{2k+1}(1) = frac{2^{2k+1} k! pi^k}{(2k+1)!}$。
斯托克斯公式与高斯渐近公式: 更重要的是，对于大 $n$，体积的增长速度可以用一个渐近公式来表示：
$V_n(1) sim sqrt{frac{(2pi)^n}{n!}}$
当 $n$ 非常大时，根据斯特林公式 $n! sim sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$，我们可以看到 $V_n(1)$ 增长得非常快，这个公式似乎与趋于零矛盾？
关键在于这里的 $V_n(1)$ 是指半径为 1 的单位球的体积。问题在于，当维度增大时，单位球的体积分布会发生剧烈的变化。
让我们换一个角度来思考体积的分布。假设我们在单位球内部随机投点。
考虑一个半径为 $R$ 的 n 维球，其体积是 $V_n(R) = R^n V_n(1)$。
我们关注的是单位球 $B_n(1)$ 内的点的分布。如果我们取一个半径稍微小于 1 的球，比如半径为 $1epsilon$ ($0 < epsilon ll 1$) 的球 $B_n(1epsilon)$。它的体积是 $V_n(1epsilon) = (1epsilon)^n V_n(1)$。
当 $n$ 趋于无穷时，$(1epsilon)^n$ 会发生什么？
根据 $(1x)^n approx e^{nx}$ 当 $n$ 很大且 $x$ 很小时，$(1epsilon)^n approx e^{nepsilon}$。
这意味着，随着 $n$ 的增大，半径为 $1epsilon$ 的球体的体积相对于单位球体积会指数级地减小！
换句话说，单位球绝大部分的体积都集中在半径非常接近 1 的区域，也就是接近球面的地方。
举个例子：
二维单位圆面积 $A_2(1) = pi (1)^2 = pi$。半径为 0.9 的圆面积是 $pi (0.9)^2 = 0.81pi$。剩下的面积是 $0.19pi$，占比 $19%$。
三维单位球体积 $V_3(1) = frac{4}{3}pi (1)^3 = frac{4}{3}pi$。半径为 0.9 的球体积是 $frac{4}{3}pi (0.9)^3 approx 0.729 imes frac{4}{3}pi$。剩下的体积（一个球壳）占总体的 $1 0.729 = 0.271$（约 $27%$）。
但如果我们考虑一个半径为 $1 1/n$ 的球，它的体积占单位球体积的比例是 $(1 1/n)^n approx e^{1} approx 36.8%$。
而半径为 $1 1/sqrt{n}$ 的球，其体积占单位球体积的比例是 $(1 1/sqrt{n})^n approx e^{sqrt{n}}$，这个值当 $n o infty$ 时会趋于 0。
这个例子说明，当维度升高时，球体“变厚”了。大多数体积都“挤”在了离球心单位距离很近的“薄层”里。
但这与我们说的体积趋于零矛盾吗？
这里的矛盾点在于我们如何定义“趋于零”。 如果我们将 $V_n(1)$ 本身作为一个值来看，它似乎并不趋于零（伽马函数在 $n/2$ 处的值增长很快）。
真正趋于零的是，单位球在任意给定的“半径区间” [0, r] (r < 1) 中的体积占总单位球体积的比例。 或者说，如果我们把单位球切成很多同等厚度的层，高维的单位球绝大部分体积会集中在最外层。当维度趋于无穷时，这个最外层的厚度相对于球半径来说是极小的，但它却包含了几乎所有的体积。
这是一个非常反直觉的点。我们可以这样理解：想象一个超立方体，它同样占满了 $mathbb{R}^n$ 的大部分空间。当维度增加时，超立方体和单位球都变得“瘦长”和“扁平”。单位球在单位长度上的“伸展”和单位立方体在单位长度上的“伸展”是不同的。
更精确地说，当维度 n 趋于无穷时，从单位球内部随机抽取一个点，该点到原点的距离（范数）的期望值会趋于 1。 这意味着绝大多数点都离球面非常近。
2. 表面积的递减：球面“摊开”得太厉害
我们再来看 n 维单位球面的 $(n1)$体积（超面积） $A_{n1}(1)$。
其公式为：
$A_{n1}(1) = frac{2 pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$
同样，我们分析当 $n o infty$ 时的行为。
使用伽马函数的性质:
当 $n$ 是偶数时，$n = 2k$，则 $A_{2k1}(1) = frac{2 pi^k}{(k1)!}$。
当 $n$ 是奇数时，$n = 2k+1$，则 $A_{2k}(1) = frac{2 pi^{k+1/2}}{Gamma(k+1/2)}$。
渐近关系: 体积和表面积之间有一个关键关系：
$V_n(R) = int_0^R A_{n1}(r) dr$
且
$A_{n1}(R) = frac{dV_n(R)}{dR}$
对于单位球， $A_{n1}(1) = frac{dV_n(1)}{dR}|_{R=1}$。
用斯特林公式的变体来估算 $Gamma(n/2)$ 对于大 $n$ 的值：
$Gamma(z) approx sqrt{2pi/z} (z/e)^z$
那么 $Gamma(n/2 + 1) approx sqrt{pi/(n/2+1)} ((n/2+1)/e)^{n/2+1}$
而 $Gamma(n/2) approx sqrt{2pi/(n1)} ((n1)/e)^{n/2}$ (更准确一些用 $n/2$)
我们来看 $A_{n1}(1)$ 的一个渐近公式（通过一些推导）：
$A_{n1}(1) sim sqrt{frac{2 pi^n}{n/2}} = sqrt{frac{2^{n+1} pi^n}{n}}$
这个公式看起来也是增长的，但请注意，我们是在讨论单位球面的表面积。
关键在于，当维度增加时，球面变得越来越“平坦”。
想象一个二维圆周（一维球面），它的周长是 $2pi r$。
一个三维球面，它的表面积是 $4pi r^2$。
我们发现，单位球面的“表面积”相对于单位球的“体积”是如何变化的？
单位球的体积是 $V_n(1) = frac{pi^{n/2}}{Gamma(n/2 + 1)}$。
单位球面的表面积是 $A_{n1}(1) = frac{2 pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$。
将两者相除：
$frac{A_{n1}(1)}{V_n(1)} = frac{2 pi^{n/2}}{Gamma(n/2)} imes frac{Gamma(n/2 + 1)}{pi^{n/2}} = frac{2 Gamma(n/2 + 1)}{Gamma(n/2)} = 2 imes frac{(n/2)Gamma(n/2)}{Gamma(n/2)} = n$
所以，我们得到了一个惊人的关系：
$A_{n1}(1) = n cdot V_n(1)$
这意味着，单位球面的表面积是单位球体积的 $n$ 倍。
这似乎又与“趋于零”矛盾了？
这里的关键在于，当我们谈论“体积”和“表面积”趋于零时，我们通常隐含了一个比较对象，或者一个“平均”的概念。
事实是，当维度 $n o infty$ 时：
1. 单位球的体积 $V_n(1)$ 的值本身会趋于 0。 使用斯特林公式的近似，$V_n(1) sim sqrt{frac{(2pi)^n}{n!}}$。当 $n$ 很大时，分母（$n!$）的增长速度远超分子（$(2pi)^n$）。例如，当 $n=10$，$(2pi)^5 approx 241$; $5! = 120$. $n=20$, $(2pi)^{10} approx 1.05 imes 10^5$; $10! approx 3.6 imes 10^6$. 而且对数形式的斯特林公式 $ln(n!) approx n ln n n$。 所以 $ln(V_n(1)) approx n ln(sqrt{2pi}) (n ln n n) = n(ln(sqrt{2pi}) + 1) n ln n$。 当 $n o infty$， $n ln n$ 项会主导，使得 $ln(V_n(1))$ 趋于负无穷，因此 $V_n(1) o 0$。
2. 单位球面的表面积 $A_{n1}(1)$ 的值本身也会趋于 0。 类似地，$A_{n1}(1) = frac{2 pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$。 $Gamma(n/2) approx sqrt{2pi/(n1)} ((n1)/e)^{n/2}$ （对于偶数 $n=2k$, $Gamma(k)=(k1)!$ 的增长速度非常快）。 当 $n$ 很大时，分母 $Gamma(n/2)$ 的增长速度会远超分子 $pi^{n/2}$，因此 $A_{n1}(1) o 0$。
更形象的理解：概率与“集中效应”
让我们用概率的视角来解释这种“集中效应”。
考虑在单位球 $B_n(1)$ 内随机投掷一个点。这个点的坐标是 $(x_1, x_2, dots, x_n)$，并且满足 $x_1^2 + x_2^2 + dots + x_n^2 leq 1$。
考虑将这个点转化为球坐标，其中一个分量就是到原点的距离 $r = sqrt{x_1^2 + dots + x_n^2}$。我们关心的是这个 $r$ 的分布。
在一个高维球中，如果点是均匀分布的，那么在半径 $r$ 处的“体积元”大致与 $r^{n1} dr$ 成正比。
当维度 $n$ 很大时，要使得 $r^{n1}$ 这个因子不趋于零， $r$ 必须非常接近 1。
例如，如果我们考虑半径为 $r$ 的球的体积占单位球体积的比例：
$frac{V_n(r)}{V_n(1)} = frac{r^n V_n(1)}{V_n(1)} = r^n$
当 $r$ 略小于 1 时，例如 $r = 0.99$，而 $n=1000$，那么 $(0.99)^{1000} approx (1 0.01)^{1000} approx e^{10} approx 4.5 imes 10^{5}$。
这意味着，半径为 0.99 的球体的体积只占单位球体积的万分之几！
所以，绝大部分的体积都集中在半径大于 0.99 的区域，即非常接近球面的区域。
再来看表面积。表面积可以理解为单位球的“密度”分布。
我们说表面积趋于零，并不是说表面积绝对值变小了，而是相对于它所“包围”的体积而言，单位体积上的表面积（或者单位体积的“单位面积”）变得无限小了。
或者更准确地说，当 $n o infty$，单位球的体积 $V_n(1)$ 本身趋于零，表面积 $A_{n1}(1)$ 本身也趋于零。
这就像一个极端被拉长的形状。比如你有一个长方形，宽非常小，长非常大。虽然面积是“长度 x 宽度”，但如果长度增长得比某个“标准”慢，而宽度趋于零，那么这个面积可能就会变得很小。
在高维空间中，单位球面可以想象成一个被极端“拉伸”的膜。虽然膜的“展开”面积是 $A_{n1}(1)$，但它被限制在一个越来越小的体积 $V_n(1)$ 中。
核心原因在于，高维空间中随机点到原点的距离的概率分布是高度集中的。
考虑随机选择一个点 $(x_1, dots, x_n)$ 使得 $|x|_2 = 1$。
我们关注每个 $x_i$ 的值。
当 $n$ 增大时，根据中心极限定理的某种推广形式，大部分 $x_i$ 的值会接近于 0。
例如，对于一个在单位球面上的点，它的 $i$ 维坐标 $x_i$ 的方差是 $1/n$。这意味着 $x_i$ 的值会越来越接近 0。
所以，如果你取单位球面的一个点，它的每个坐标值都趋于零。
如果每个坐标值都趋于零，那么这个点相对于整体空间的“占有率”就变得非常小。
为了形象化：想象一下，我们在一个高维空间中画一个单位球。当维度非常高时，这个球就像一个被压扁得非常厉害的薄片，但这个薄片内部又被挤满了。最能体现球体“边界”的就是那个“薄片”。
总结一下为什么体积和表面积都趋于零：
1. 体积的趋零： 虽然 $V_n(1)$ 的公式看起来没有那么直接，但通过分析 $V_n(r)/V_n(1) = r^n$，我们可以看到当 $n o infty$，单位球的绝大部分体积都集中在半径非常接近 1 的区域。这意味着，对于任何小于 1 的半径 $r$，“小于 $r$ 的球的体积”占单位球体积的比例趋于零。反过来说，单位球的体积本身 $V_n(1)$ 在 $n o infty$ 的时候，其值会趋于零。这是因为单位球体在单位长度上的“铺展”能力，在很高的维度下，被一种“收缩”效应抵消了。
2. 表面积的趋零： 与体积类似，表面积 $A_{n1}(1)$ 本身的值在 $n o infty$ 的时候也会趋于零。这是因为构成球面的“材质”（尽管是无质量的）在高维空间中被拉伸得非常厉害，以至于它“摊开”来的面积相较于它所包围的那个趋于零的体积，变得微不足道。或者说，单位体积的表面积（一个测量“光滑度”或“曲率”的指标）在高维单位球上趋于无穷小。
思考类比：
想象一个非常非常薄但边长非常大的方形薄膜。它的“体积”（厚度可以看作一个度量）会趋于零。但它的“表面积”（它的两面）仍然很大。
但这里的单位球面更复杂，它是在一个高维空间中，它的“伸展”是内在的。当维度增加，构成球面的点集，每个点的坐标都会趋于零，这样就导致了“整体”的体积和表面积都变小了。
这是一个纯粹的几何和概率现象，高维空间的性质确实与我们的低维直觉大相径庭。
让我们一层一层地剥开这个现象。
什么是 n 维单位球面和单位球？
首先，我们需要明确一下概念。
n 维单位球 (Unit Ball)：是指所有到原点距离小于或等于 1 的点组成的集合。在数学上，它表示为 $B_n(1) = { x in mathbb{R}^n mid |x|_2 leq 1 }$，其中 $|x|_2 = sqrt{x_1^2 + x_2^2 + dots + x_n^2}$ 是欧几里得范数。你可以想象一下：一维的单位球是 [1, 1] 区间，二维是单位圆（包含圆内所有点），三维是单位球（包含球内所有点）。
n 维单位球面 (Unit Sphere)：是指所有到原点距离恰好等于 1 的点组成的集合。它表示为 $S^{n1}(1) = { x in mathbb{R}^n mid |x|_2 = 1 }$。这就是我们通常说的“球面”。一维的单位球面是 {1, 1} 这两个点，二维是单位圆的边界，三维是球面边界。你说的“n1 sphere”实际上是指 n 维空间中的一个 (n1) 维的对象，也就是 n 维单位球面。
我们来关注的是这个球面 $S^{n1}(1)$ 的“表面积”（通常称为 $(n1)$体积或超面积）和单位球 $B_n(1)$ 的“体积”（通常称为 $n$体积）。
为什么会趋于零？核心在于“集中”
最直观的解释是：随着维度增加，单位球的绝大部分体积和表面积都集中在赤道附近，也就是最“扁平”的部分。当维度极高时，这种集中效应变得极其夸张，导致“赤道”之外的区域相对于整体变得微不足道。
为了理解这一点，我们需要了解高维空间的一个奇特属性：大多数“随机”的点都位于距离原点非常接近 1 的地方。
1. 体积的递减：大多数体积“挤”在了球面附近
让我们先来看单位球的体积 $V_n(1)$。n 维单位球的体积公式是：
$V_n(1) = frac{pi^{n/2}}{Gamma(n/2 + 1)}$
其中 $Gamma(z)$ 是伽马函数，它推广了阶乘函数 ($Gamma(n+1) = n!$)。
现在，我们来分析当 $n o infty$ 时这个公式的行为。
使用伽马函数的性质:
当 $n$ 是偶数时，$n = 2k$，则 $V_{2k}(1) = frac{pi^k}{k!}$。
当 $n$ 是奇数时，$n = 2k+1$，则 $V_{2k+1}(1) = frac{2^{2k+1} k! pi^k}{(2k+1)!}$。
斯托克斯公式与高斯渐近公式: 更重要的是，对于大 $n$，体积的增长速度可以用一个渐近公式来表示：
$V_n(1) sim sqrt{frac{(2pi)^n}{n!}}$
当 $n$ 非常大时，根据斯特林公式 $n! sim sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$，我们可以看到 $V_n(1)$ 增长得非常快，这个公式似乎与趋于零矛盾？
关键在于这里的 $V_n(1)$ 是指半径为 1 的单位球的体积。问题在于，当维度增大时，单位球的体积分布会发生剧烈的变化。
让我们换一个角度来思考体积的分布。假设我们在单位球内部随机投点。
考虑一个半径为 $R$ 的 n 维球，其体积是 $V_n(R) = R^n V_n(1)$。
我们关注的是单位球 $B_n(1)$ 内的点的分布。如果我们取一个半径稍微小于 1 的球，比如半径为 $1epsilon$ ($0 < epsilon ll 1$) 的球 $B_n(1epsilon)$。它的体积是 $V_n(1epsilon) = (1epsilon)^n V_n(1)$。
当 $n$ 趋于无穷时，$(1epsilon)^n$ 会发生什么？
根据 $(1x)^n approx e^{nx}$ 当 $n$ 很大且 $x$ 很小时，$(1epsilon)^n approx e^{nepsilon}$。
这意味着，随着 $n$ 的增大，半径为 $1epsilon$ 的球体的体积相对于单位球体积会指数级地减小！
换句话说，单位球绝大部分的体积都集中在半径非常接近 1 的区域，也就是接近球面的地方。
举个例子：
二维单位圆面积 $A_2(1) = pi (1)^2 = pi$。半径为 0.9 的圆面积是 $pi (0.9)^2 = 0.81pi$。剩下的面积是 $0.19pi$，占比 $19%$。
三维单位球体积 $V_3(1) = frac{4}{3}pi (1)^3 = frac{4}{3}pi$。半径为 0.9 的球体积是 $frac{4}{3}pi (0.9)^3 approx 0.729 imes frac{4}{3}pi$。剩下的体积（一个球壳）占总体的 $1 0.729 = 0.271$（约 $27%$）。
但如果我们考虑一个半径为 $1 1/n$ 的球，它的体积占单位球体积的比例是 $(1 1/n)^n approx e^{1} approx 36.8%$。
而半径为 $1 1/sqrt{n}$ 的球，其体积占单位球体积的比例是 $(1 1/sqrt{n})^n approx e^{sqrt{n}}$，这个值当 $n o infty$ 时会趋于 0。
这个例子说明，当维度升高时，球体“变厚”了。大多数体积都“挤”在了离球心单位距离很近的“薄层”里。
但这与我们说的体积趋于零矛盾吗？
这里的矛盾点在于我们如何定义“趋于零”。 如果我们将 $V_n(1)$ 本身作为一个值来看，它似乎并不趋于零（伽马函数在 $n/2$ 处的值增长很快）。
真正趋于零的是，单位球在任意给定的“半径区间” [0, r] (r < 1) 中的体积占总单位球体积的比例。 或者说，如果我们把单位球切成很多同等厚度的层，高维的单位球绝大部分体积会集中在最外层。当维度趋于无穷时，这个最外层的厚度相对于球半径来说是极小的，但它却包含了几乎所有的体积。
这是一个非常反直觉的点。我们可以这样理解：想象一个超立方体，它同样占满了 $mathbb{R}^n$ 的大部分空间。当维度增加时，超立方体和单位球都变得“瘦长”和“扁平”。单位球在单位长度上的“伸展”和单位立方体在单位长度上的“伸展”是不同的。
更精确地说，当维度 n 趋于无穷时，从单位球内部随机抽取一个点，该点到原点的距离（范数）的期望值会趋于 1。 这意味着绝大多数点都离球面非常近。
2. 表面积的递减：球面“摊开”得太厉害
我们再来看 n 维单位球面的 $(n1)$体积（超面积） $A_{n1}(1)$。
其公式为：
$A_{n1}(1) = frac{2 pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$
同样，我们分析当 $n o infty$ 时的行为。
使用伽马函数的性质:
当 $n$ 是偶数时，$n = 2k$，则 $A_{2k1}(1) = frac{2 pi^k}{(k1)!}$。
当 $n$ 是奇数时，$n = 2k+1$，则 $A_{2k}(1) = frac{2 pi^{k+1/2}}{Gamma(k+1/2)}$。
渐近关系: 体积和表面积之间有一个关键关系：
$V_n(R) = int_0^R A_{n1}(r) dr$
且
$A_{n1}(R) = frac{dV_n(R)}{dR}$
对于单位球， $A_{n1}(1) = frac{dV_n(1)}{dR}|_{R=1}$。
用斯特林公式的变体来估算 $Gamma(n/2)$ 对于大 $n$ 的值：
$Gamma(z) approx sqrt{2pi/z} (z/e)^z$
那么 $Gamma(n/2 + 1) approx sqrt{pi/(n/2+1)} ((n/2+1)/e)^{n/2+1}$
而 $Gamma(n/2) approx sqrt{2pi/(n1)} ((n1)/e)^{n/2}$ (更准确一些用 $n/2$)
我们来看 $A_{n1}(1)$ 的一个渐近公式（通过一些推导）：
$A_{n1}(1) sim sqrt{frac{2 pi^n}{n/2}} = sqrt{frac{2^{n+1} pi^n}{n}}$
这个公式看起来也是增长的，但请注意，我们是在讨论单位球面的表面积。
关键在于，当维度增加时，球面变得越来越“平坦”。
想象一个二维圆周（一维球面），它的周长是 $2pi r$。
一个三维球面，它的表面积是 $4pi r^2$。
我们发现，单位球面的“表面积”相对于单位球的“体积”是如何变化的？
单位球的体积是 $V_n(1) = frac{pi^{n/2}}{Gamma(n/2 + 1)}$。
单位球面的表面积是 $A_{n1}(1) = frac{2 pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$。
将两者相除：
$frac{A_{n1}(1)}{V_n(1)} = frac{2 pi^{n/2}}{Gamma(n/2)} imes frac{Gamma(n/2 + 1)}{pi^{n/2}} = frac{2 Gamma(n/2 + 1)}{Gamma(n/2)} = 2 imes frac{(n/2)Gamma(n/2)}{Gamma(n/2)} = n$
所以，我们得到了一个惊人的关系：
$A_{n1}(1) = n cdot V_n(1)$
这意味着，单位球面的表面积是单位球体积的 $n$ 倍。
这似乎又与“趋于零”矛盾了？
这里的关键在于，当我们谈论“体积”和“表面积”趋于零时，我们通常隐含了一个比较对象，或者一个“平均”的概念。
事实是，当维度 $n o infty$ 时：
1. 单位球的体积 $V_n(1)$ 的值本身会趋于 0。 使用斯特林公式的近似，$V_n(1) sim sqrt{frac{(2pi)^n}{n!}}$。当 $n$ 很大时，分母（$n!$）的增长速度远超分子（$(2pi)^n$）。例如，当 $n=10$，$(2pi)^5 approx 241$; $5! = 120$. $n=20$, $(2pi)^{10} approx 1.05 imes 10^5$; $10! approx 3.6 imes 10^6$. 而且对数形式的斯特林公式 $ln(n!) approx n ln n n$。 所以 $ln(V_n(1)) approx n ln(sqrt{2pi}) (n ln n n) = n(ln(sqrt{2pi}) + 1) n ln n$。 当 $n o infty$， $n ln n$ 项会主导，使得 $ln(V_n(1))$ 趋于负无穷，因此 $V_n(1) o 0$。
2. 单位球面的表面积 $A_{n1}(1)$ 的值本身也会趋于 0。 类似地，$A_{n1}(1) = frac{2 pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$。 $Gamma(n/2) approx sqrt{2pi/(n1)} ((n1)/e)^{n/2}$ （对于偶数 $n=2k$, $Gamma(k)=(k1)!$ 的增长速度非常快）。 当 $n$ 很大时，分母 $Gamma(n/2)$ 的增长速度会远超分子 $pi^{n/2}$，因此 $A_{n1}(1) o 0$。
更形象的理解：概率与“集中效应”
让我们用概率的视角来解释这种“集中效应”。
考虑在单位球 $B_n(1)$ 内随机投掷一个点。这个点的坐标是 $(x_1, x_2, dots, x_n)$，并且满足 $x_1^2 + x_2^2 + dots + x_n^2 leq 1$。
考虑将这个点转化为球坐标，其中一个分量就是到原点的距离 $r = sqrt{x_1^2 + dots + x_n^2}$。我们关心的是这个 $r$ 的分布。
在一个高维球中，如果点是均匀分布的，那么在半径 $r$ 处的“体积元”大致与 $r^{n1} dr$ 成正比。
当维度 $n$ 很大时，要使得 $r^{n1}$ 这个因子不趋于零， $r$ 必须非常接近 1。
例如，如果我们考虑半径为 $r$ 的球的体积占单位球体积的比例：
$frac{V_n(r)}{V_n(1)} = frac{r^n V_n(1)}{V_n(1)} = r^n$
当 $r$ 略小于 1 时，例如 $r = 0.99$，而 $n=1000$，那么 $(0.99)^{1000} approx (1 0.01)^{1000} approx e^{10} approx 4.5 imes 10^{5}$。
这意味着，半径为 0.99 的球体的体积只占单位球体积的万分之几！
所以，绝大部分的体积都集中在半径大于 0.99 的区域，即非常接近球面的区域。
再来看表面积。表面积可以理解为单位球的“密度”分布。
我们说表面积趋于零，并不是说表面积绝对值变小了，而是相对于它所“包围”的体积而言，单位体积上的表面积（或者单位体积的“单位面积”）变得无限小了。
或者更准确地说，当 $n o infty$，单位球的体积 $V_n(1)$ 本身趋于零，表面积 $A_{n1}(1)$ 本身也趋于零。
这就像一个极端被拉长的形状。比如你有一个长方形，宽非常小，长非常大。虽然面积是“长度 x 宽度”，但如果长度增长得比某个“标准”慢，而宽度趋于零，那么这个面积可能就会变得很小。
在高维空间中，单位球面可以想象成一个被极端“拉伸”的膜。虽然膜的“展开”面积是 $A_{n1}(1)$，但它被限制在一个越来越小的体积 $V_n(1)$ 中。
核心原因在于，高维空间中随机点到原点的距离的概率分布是高度集中的。
考虑随机选择一个点 $(x_1, dots, x_n)$ 使得 $|x|_2 = 1$。
我们关注每个 $x_i$ 的值。
当 $n$ 增大时，根据中心极限定理的某种推广形式，大部分 $x_i$ 的值会接近于 0。
例如，对于一个在单位球面上的点，它的 $i$ 维坐标 $x_i$ 的方差是 $1/n$。这意味着 $x_i$ 的值会越来越接近 0。
所以，如果你取单位球面的一个点，它的每个坐标值都趋于零。
如果每个坐标值都趋于零，那么这个点相对于整体空间的“占有率”就变得非常小。
为了形象化：想象一下，我们在一个高维空间中画一个单位球。当维度非常高时，这个球就像一个被压扁得非常厉害的薄片，但这个薄片内部又被挤满了。最能体现球体“边界”的就是那个“薄片”。
总结一下为什么体积和表面积都趋于零：
1. 体积的趋零： 虽然 $V_n(1)$ 的公式看起来没有那么直接，但通过分析 $V_n(r)/V_n(1) = r^n$，我们可以看到当 $n o infty$，单位球的绝大部分体积都集中在半径非常接近 1 的区域。这意味着，对于任何小于 1 的半径 $r$，“小于 $r$ 的球的体积”占单位球体积的比例趋于零。反过来说，单位球的体积本身 $V_n(1)$ 在 $n o infty$ 的时候，其值会趋于零。这是因为单位球体在单位长度上的“铺展”能力，在很高的维度下，被一种“收缩”效应抵消了。
2. 表面积的趋零： 与体积类似，表面积 $A_{n1}(1)$ 本身的值在 $n o infty$ 的时候也会趋于零。这是因为构成球面的“材质”（尽管是无质量的）在高维空间中被拉伸得非常厉害，以至于它“摊开”来的面积相较于它所包围的那个趋于零的体积，变得微不足道。或者说，单位体积的表面积（一个测量“光滑度”或“曲率”的指标）在高维单位球上趋于无穷小。
思考类比：
想象一个非常非常薄但边长非常大的方形薄膜。它的“体积”（厚度可以看作一个度量）会趋于零。但它的“表面积”（它的两面）仍然很大。
但这里的单位球面更复杂，它是在一个高维空间中，它的“伸展”是内在的。当维度增加，构成球面的点集，每个点的坐标都会趋于零，这样就导致了“整体”的体积和表面积都变小了。
这是一个纯粹的几何和概率现象，高维空间的性质确实与我们的低维直觉大相径庭。
网友意见
首先定义一个概念：n维维度积
1维维度积是长度
2维维度积是面积
3维维度积是体积
4维的维度积是什么？
随着维度的增加，每添加一个维度，都会产生一种新的概念：n维维度积。
n维空间中的生物的度量衡有n种，因为有n种维度积。
我们生活在3维空间，度量衡有长度，面积，体积。
0维空间只有一个点，它没有维度积，因为它只有一个点，什么也没有，像宇宙大爆炸之前的状态。
1维空间的组成元素是线，它的度量方式是长度。
2维空间的组成元素是面，它的度量方式是面积。
3维空间的组成元素是体，它的度量方式是体积。
不妨给4维，5维空间起个名字：点，线，面，体，山，海，天
4维的维度积叫山积，5维的维度积叫海积，6维的维度积叫天积
现在我们讨论的是单位球，4维单位球的“表面积”其实是3维积（体积），正如3维球体的表面积是2维积（面积）一样。
所以，不同维度的单位球的维度积完全是没有可比性的，因为它们的单位不一样。如果硬要比较，那就犹如在拿二维单位球（圆）的周长跟三维单位球的表面积进行比较。
给定一个n维单位球，它只有n维维度积和n-1维维度积两个属性。圆有面积和周长两个属性，球有体积和面积两个属性，但是三维球却没有1维维度积属性，因为球没有周长。
所以，这个问题应该这么描述：为什么n维空间单位球的（n-1）维积在n=7的时候达到极大，最后随着n增大变得很小？
其实这个问题，把单位球的n-1维积改成n维积也有同样的现象，体积在n=5的时候达到极大。
为什么单位球的维度积有极大值这种现象而非单调的？
从公式上解释：n维球体的n维积公式为：
n维球体的n-1维积其实就是n*f(n)。n维球对n维积求导就得到n-1维积。
观察n维球的n维维度积可以发现，n维球随着n增大，每次大概乘以2pi，却要除以n，所以在2pi附近就会出现极值。偶维球n维积最大时n=5,奇维球n维积最大时n=6，5维大于六维。而表面积则是在7维达到极值。
从概率上解释：球其实就是进行n次随机实验（每次在-R到R区间上随机采样），得到n个数值，这些数值的平方和小于R平方的概率。当n比较大时，最终的平方和大概率超过R平方，正所谓：“长江尚有回头日，岂可人无得运时”。
在n维边长为2R的正方体中随机选一个点，这个点落在n维球中的概率随着n增大单调减小（并不会出现极值）。n维空间中的正方体有2^n个角落，每个角落的n维积都趋向于R^n，所以f(n)其实是n维球的n维积跟一个角落的比值，这个比值会出现极值。
emmm这为什么反直觉呢？
对于高维空间我们根本毫无直觉可言啊。
而且就算只看三个维度：
考虑用一个有限的n维立方体(假设边长是2)装n维单位球。随着维度升高，也可以明显地看到n维球的测度与n维立方体的测度之比在缩小。n=1是100%；n=2是pi/4≈78.5%；n=3是pi/6≈52.4%。如此速度的衰减，虽然直观上不一定就能说趋于0，但也不至于「反直觉」吧。
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