放风筝时风筝线是弯曲的，这条曲线长什么样呢？
为了详细讲述风筝线的曲线形状，我们可以从以下几个方面来理解：
1. 受力分析：风筝线上的力
首先，我们来分析风筝线上各个点所受到的力：
风筝的拉力 (T_kite): 这是风筝受到风的作用，通过风筝线向放线者（你）传递的拉力。这个力是沿着风筝线方向的。
风筝线自身的重力 (w): 每一段风筝线都有其自身的重量，这个重力是竖直向下的。
空气阻力 (D): 风筝线在空中移动时，也会受到空气的阻力。这股力会阻碍风筝线的运动，并且方向与风筝线相对于空气的运动方向相反。空气阻力的具体大小和方向与风筝线的速度、风速、风筝线材质、形状等因素有关，比较复杂。
线的张力 (T): 在风筝线的任意一点，线的张力是指相邻部分对该点的拉力。这个拉力是沿着线的切线方向的。
2. 理想情况下的近似抛物线
如果我们忽略空气阻力，只考虑风筝线自身的重力和风筝拉力的合力作用，并且假设风筝是静止的（虽然实际情况不是），那么风筝线的形状会非常接近于一个悬链线 (Catenary)。
什么是悬链线？
悬链线是当一个均匀的、柔韧的、不可伸长的链条（或绳索）在其自身重力作用下自然下垂时所形成的曲线。它的数学方程是：
$y = a cosh(x/a)$
其中，$a$ 是一个常数，取决于链条的长度和均匀性。
悬链线是自然下垂的曲线，它在数学上是严格定义的。
为什么说风筝线近似抛物线？
虽然理论上是悬链线，但因为风筝线通常非常细，其自身重力相对于风筝受到的拉力来说可能较小。在很多情况下，尤其是在风力较大、风筝拉力足够强的情况下，风筝线可以被拉得很直，其弯曲程度相对较小。在这种情况下，悬链线可以通过一个抛物线 (Parabola) 来进行近似。
抛物线的数学方程是：
$y = ax^2$
抛物线在形状上与悬链线在小范围内的形状非常相似。许多初学者或在不追求极高精度的情况下，会将风筝线的形状近似为抛物线。
3. 实际情况下的复杂曲线
然而，在实际放风筝的过程中，情况更为复杂，风筝线并不是单纯的悬链线或抛物线，它是一个更复杂的“力学平衡曲线”，受到上述所有力的共同作用。
风力对线的直接影响： 空气流动的风会直接作用在风筝线本身，产生向下的、向侧面（取决于风向）的推力，也产生阻力。这些力会使得风筝线不再仅仅是受自身重力和终端拉力的影响。
风筝的动态运动： 风筝不是静止的，它在空中会摇摆、起伏，甚至进行复杂的飞行。这意味着风筝通过风筝线传递的拉力是不断变化的，不仅大小变化，方向也可能变化。
空气阻力： 风筝线在空气中移动时产生的空气阻力，尤其是当风筝线的速度较大时，会成为一个不可忽视的因素。空气阻力通常与速度的平方成正比，并且方向与速度相反。
因此，实际的风筝线曲线，其形状是：
从放线者（你）的手到风筝，风筝线是向下倾斜的。
在离地面越近的地方，线的弯曲程度可能越大，因为重力的影响相对更明显。
在靠近风筝的地方，线的拉力很大，并且方向大致指向风筝的重心或者受到风力最大的那个点。
整条线会呈现出一种平滑的、连续的曲线。
它的形状不是一个简单的数学函数（如标准的抛物线或悬链线）能够完全精确描述的，而是这些因素综合作用下达到力学平衡的结果。
更直观的比喻：
你可以想象一下，你手里握着一根细绳，绳子的另一头挂着一个非常重的物体（代表风筝的拉力）。绳子在重力作用下会自然下垂成悬链线。现在，你稍微向上拽动绳子的另一头（代表风筝的拉力），并且在绳子上施加一个水平方向的力（代表风的侧向推力），同时考虑到绳子自身的重量。最终形成的形状，就是风筝线的形状。
总结来说，风筝线的曲线：
最简单的近似是抛物线。
更精确的理想模型是悬链线（如果只考虑重力和终端拉力）。
在实际放风筝时，它是一个受到风筝拉力、风筝线自身重力、风力对线的作用以及空气阻力共同影响的复杂力学平衡曲线，其形状是动态变化的，并且在大多数情况下更接近于一个具有特定形状的平滑曲线，而不是一个标准的、简单的数学曲线。
如果你观察仔细，你会发现风筝线的弧度是动态的，随着风力、风筝的飞行姿态而变化。有时候风大线绷得直，弧度就小；有时候风小或者风筝晃动，弧度就会增大。
网友意见
题主，你听我一句话，现实世界水很深，解析解他把握不住，得让数值解来。
其实这个问题是有实际应用的，属于非常典型的“航空拖曳”问题。如图：
在很多场景中都需要知道这根线的形状，而且不止形状，线在空间中的摆动规律、幅值都需要分析清楚，这里面要分析流场影响、线的材质、拖曳物体气动特性、线管内是否有液体流动等因素。所以本问中只在二维平面内运动的风筝线只能算入门难度。本文将利用MATLAB的multibody模块对风筝线的形状和运动进行模拟，模型文件在文末提供。
这类问题的常规解决办法是将线看做n段直杆的连接，每段直杆质量分布均匀且看做刚体。直杆之间使用铰接，铰接有扭簧性质，即受弯会产生恢复力矩。每根直杆除了受到两端的拉力和力矩外，还受过重心的重力和气动力。与地面和风筝连接的铰不存在扭簧弹力和摩擦力。一般来说这根线分成越多份直线段，模拟结果越准，这里我们将其分为10段，开始建立模型：
线段模型
将风筝线看做多根匀质刚性连杆的组合体，如图：
线段间使用铰（红框）相连，考虑到风筝线或是其他绳索不能无阻力弯曲折叠，所以定义此铰接具备扭簧弹力和旋转阻尼，使其具备变形恢复趋势和耗散能量的能力，具体参数值可在配置文件中定义。
通过测量每条线段与世界坐标系的角度，计算每条线段与风的夹角，从而计算出每条线段所受风的阻力，并使阻力作用在线段上（绿框）。这里认为线段阻力系数恒定，使用迎风面积计算阻力，即线段与风垂直时阻力最大，与风平行时没有阻力，认为线段不产生升力。空气密度、风速、风向由配置文件定义。
将以上线段模型进行封装，可得单条线段的模型，之后想用多少条线段就可以直接复制粘贴并连接在一起：
风筝模型
定义一个简陋的风筝。风筝为正方形，边长、重量由配置文件定义：
定义风筝具有3个连接点，其中1个连接点用于与线段连接，1个连接点用作升力和阻力作用点，1个连接点用于备份，因为肯定有人想在后面连上更多线和风筝，形成蜈蚣风筝:
风筝与线的连接情况如上图，这里两者的连接点不在风筝面上是因为：众所周知，风筝是多条线汇合到一个点与放风筝的线连接的，连接点并不在风筝上。
风筝阻力计算与线段类似。风筝升力计算使用了一个非常简陋的假设：假设风筝升力始终向上。做这个假设的原因是防止出现无控制状态下风筝不能放飞的情况。风筝力矩计算是根据风筝的迎角计算得出。最终把风筝封装起来，与线段相连，整个模拟系统就搭建完毕：
模拟结果
当然还可以模拟以下情况：
结束语
本模拟程序只是搭建了一个简单的框架，其中对升力变化和气动阻尼考虑得不够充分，所以有些时候风筝和风筝线的运动会有些奇怪，但是对于风筝线稳态的形状应该能有较好的模拟效果。模型文件放到了公众号“飞行课”中，感兴趣的朋友可以公众号内回复“风筝线”获取。
风荷载作用下风筝线的形状
按：浏览了一下本题下的回答，发现多数都在讨论悬链线，无论是用平衡法 （@奶牛小雪球）还是用变分法 （@杜帅） 都已经说的比较到位了。我做了一下核算，发现风比较大时，风荷载可以远大于自重荷载，所以觉得还是有必要对风荷载作用下风筝线的形状进行讨论。讨论过程中发现，题主的提问还是经过仔细考虑的，比如风速剖面，实际情况确如题主所言，是按指数规律变化的。
1、风筝线上的荷载
2、风筝线的平衡方程
3、风筝线的形状积分
得益于 @高崎汀步 建设性的提示，式（31）可以继续引入变换进一步积分。如下。
4、风筝线形状积分 plus
5、结语
在风荷载和重力荷载共同作用下，风筝线的形状函数由Riccati方程 [式(42)] 控制；根据该Riccati方程的特点，可通过小参数摄动获得其特解的展开式，进而积分得出通解 [式(45)]。
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