√3 大约是多少？该如何计算？
你知道吗？根号三（√3）这个数字，虽然写起来很简单，但它其实是一个挺有趣的家伙，就像一个藏在数字世界里的谜题一样，它是一个“无限不循环小数”。也就是说，它的小数点后面的数字是永远也写不完，而且也不会出现规律性的重复。这让它成为一个“无理数”，和我们熟悉的1、2、3、0.5这些“有理数”不太一样。
那么，这个神秘的√3到底是多少呢？它大概是 1.732 左右。注意我说的是“大约”，因为刚才说了，它是无限不循环的，我们不可能写出它的精确值，只能取一个近似值来用。
怎么才能算出来呢？
虽然我们无法得到精确值，但有几种方法可以帮助我们计算出它的近似值。别担心，这些方法听起来可能有点学问，但其实理解起来并不难。
方法一：估算和试错法（最直观但效率不高）
这是最容易理解的方法。我们知道：
1的平方（1 x 1）是1
2的平方（2 x 2）是4
因为3介于1和4之间，所以√3的值肯定介于1和2之间。
接下来，我们可以试着猜一个数字，比如1.5。
1.5的平方（1.5 x 1.5）是2.25
2.25 比 3 小，说明√3比1.5要大。
再试试1.7：
1.7的平方（1.7 x 1.7）是2.89
2.89 比 3 小，说明√3比1.7要大。
再试试1.8：
1.8的平方（1.8 x 1.8）是3.24
3.24 比 3 大，说明√3比1.8要小。
所以，√3就在1.7和1.8之间。我们可以继续缩小范围，比如试试1.73：
1.73的平方（1.73 x 1.73）大约是2.9929
这个值已经非常接近3了，但还是比3小。
再试试1.74：
1.74的平方（1.74 x 1.74）大约是3.0276
这个值比3要大。
你看，我们又发现√3在1.73和1.74之间。如果我们继续这样试下去，每一步都能得到一个更精确的近似值。比如我们再试试1.732：
1.732的平方（1.732 x 1.732）大约是2.999824
这已经非常非常接近3了！这就是我们通常说的1.732作为√3的近似值的原因。
方法二：长除法开平方（更系统，但需要练习）
这是一种更数学、更系统的方法，就像我们做除法一样，只不过这里是求平方根。它的步骤有点像长除法，但是每一步都需要考虑平方。
想象一下，我们要计算√3.00000000...
1. 分组： 从小数点开始，向左和向右每两位分为一组。
3.00 00 00 00 ...
2. 找最大平方数： 找到小于或等于第一组数字（这里是3）的最大平方数。
1的平方是1，2的平方是4。所以，我们取1。
在商的位置写上1。
3减去1等于2。
```
1.
___
√3.00 00 00
1
2
```
3. 拉下下一组，翻倍试商： 将下一组数字（00）拉下来，得到200。
将商（1）翻倍，得到2。现在我们要找一个数字（比如x），放在2后面，组成2x，然后用2x乘以x，使得结果最接近200。
试着25 x 5 = 125 （太小）
试着27 x 7 = 189 （比较接近）
试着28 x 8 = 224 （太大了）
所以，我们选择7。在商的位置写上7，得到1.7。
```
1.7
____
√3.00 00 00
1
27|2 00
1 89
11
```
4. 重复过程： 将商（1.7）小数点去掉，变成17，再翻倍得到34。
将下一组数字（00）拉下来，得到1100。
找一个数字（比如y），放在34后面，组成34y，然后用34y乘以y，使得结果最接近1100。
试着343 x 3 = 1029 （比较接近）
试着344 x 4 = 1376 （太大了）
所以，我们选择3。在商的位置写上3，得到1.73。
```
1.73
_____
√3.00 00 00
1
27|2 00
1 89
343| 11 00
10 29
71
```
5. 继续下去： 如果需要更精确的值，就继续拉下00，翻倍现在的商（173变成346），然后继续寻找合适的数字。你会发现，这个过程可以无限进行下去，而且永远找不到一个完全能整除的数字，这就是无理数的特点。
方法三：牛顿迭代法（数学家的工具，速度快）
这是一种更高级、计算速度更快的数学方法，叫做牛顿迭代法，用来逼近函数的根。对于求√3，我们实际上是在求方程 x² 3 = 0 的正根。
公式大概是这样的： x_(n+1) = (x_n + S/x_n) / 2
其中 S 就是我们要开方的数（在这里是3），x_n 是当前估算的根。
1. 初值估计： 我们已经知道√3大概是1.7。我们就用1.7作为我们的第一个估计值 x_0。
2. 第一次迭代：
x_1 = (1.7 + 3 / 1.7) / 2
x_1 = (1.7 + 1.7647...) / 2
x_1 = 3.4647... / 2
x_1 ≈ 1.73235...
3. 第二次迭代：
x_2 = (1.73235 + 3 / 1.73235) / 2
x_2 = (1.73235 + 1.73170...) / 2
x_2 = 3.46405... / 2
x_2 ≈ 1.732025...
你看，只迭代了两次，我们得到的数值就已经非常非常接近实际值了。这种方法在计算机里计算非常常用。
为什么√3这么重要？
你可能会问，这个数字有什么用呢？它可有用着呢！
几何学： 在几何学里，一个边长为2的正三角形，它高的高度就是√3。另外，在制作一些图形或者计算尺寸的时候也会用到它。
工程和物理： 在计算力学、电学等领域，很多公式里都会出现√3的身影，比如计算某些三相电的电压或者电流。
数学本身： 作为无理数的一个代表，它也是数学研究的重要对象，帮助我们理解数的性质和结构。
所以，下次你看到√3，就知道它不是一个简单的数字，而是一个充满数学趣味的无理数，它的近似值是1.732，我们可以通过估算、长除法或者牛顿法来计算它。
那么，这个神秘的√3到底是多少呢？它大概是 1.732 左右。注意我说的是“大约”，因为刚才说了，它是无限不循环的，我们不可能写出它的精确值，只能取一个近似值来用。
怎么才能算出来呢？
虽然我们无法得到精确值，但有几种方法可以帮助我们计算出它的近似值。别担心，这些方法听起来可能有点学问，但其实理解起来并不难。
方法一：估算和试错法（最直观但效率不高）
这是最容易理解的方法。我们知道：
1的平方（1 x 1）是1
2的平方（2 x 2）是4
因为3介于1和4之间，所以√3的值肯定介于1和2之间。
接下来，我们可以试着猜一个数字，比如1.5。
1.5的平方（1.5 x 1.5）是2.25
2.25 比 3 小，说明√3比1.5要大。
再试试1.7：
1.7的平方（1.7 x 1.7）是2.89
2.89 比 3 小，说明√3比1.7要大。
再试试1.8：
1.8的平方（1.8 x 1.8）是3.24
3.24 比 3 大，说明√3比1.8要小。
所以，√3就在1.7和1.8之间。我们可以继续缩小范围，比如试试1.73：
1.73的平方（1.73 x 1.73）大约是2.9929
这个值已经非常接近3了，但还是比3小。
再试试1.74：
1.74的平方（1.74 x 1.74）大约是3.0276
这个值比3要大。
你看，我们又发现√3在1.73和1.74之间。如果我们继续这样试下去，每一步都能得到一个更精确的近似值。比如我们再试试1.732：
1.732的平方（1.732 x 1.732）大约是2.999824
这已经非常非常接近3了！这就是我们通常说的1.732作为√3的近似值的原因。
方法二：长除法开平方（更系统，但需要练习）
这是一种更数学、更系统的方法，就像我们做除法一样，只不过这里是求平方根。它的步骤有点像长除法，但是每一步都需要考虑平方。
想象一下，我们要计算√3.00000000...
1. 分组： 从小数点开始，向左和向右每两位分为一组。
3.00 00 00 00 ...
2. 找最大平方数： 找到小于或等于第一组数字（这里是3）的最大平方数。
1的平方是1，2的平方是4。所以，我们取1。
在商的位置写上1。
3减去1等于2。
```
1.
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√3.00 00 00
1
2
```
3. 拉下下一组，翻倍试商： 将下一组数字（00）拉下来，得到200。
将商（1）翻倍，得到2。现在我们要找一个数字（比如x），放在2后面，组成2x，然后用2x乘以x，使得结果最接近200。
试着25 x 5 = 125 （太小）
试着27 x 7 = 189 （比较接近）
试着28 x 8 = 224 （太大了）
所以，我们选择7。在商的位置写上7，得到1.7。
```
1.7
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√3.00 00 00
1
27|2 00
1 89
11
```
4. 重复过程： 将商（1.7）小数点去掉，变成17，再翻倍得到34。
将下一组数字（00）拉下来，得到1100。
找一个数字（比如y），放在34后面，组成34y，然后用34y乘以y，使得结果最接近1100。
试着343 x 3 = 1029 （比较接近）
试着344 x 4 = 1376 （太大了）
所以，我们选择3。在商的位置写上3，得到1.73。
```
1.73
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√3.00 00 00
1
27|2 00
1 89
343| 11 00
10 29
71
```
5. 继续下去： 如果需要更精确的值，就继续拉下00，翻倍现在的商（173变成346），然后继续寻找合适的数字。你会发现，这个过程可以无限进行下去，而且永远找不到一个完全能整除的数字，这就是无理数的特点。
方法三：牛顿迭代法（数学家的工具，速度快）
这是一种更高级、计算速度更快的数学方法，叫做牛顿迭代法，用来逼近函数的根。对于求√3，我们实际上是在求方程 x² 3 = 0 的正根。
公式大概是这样的： x_(n+1) = (x_n + S/x_n) / 2
其中 S 就是我们要开方的数（在这里是3），x_n 是当前估算的根。
1. 初值估计： 我们已经知道√3大概是1.7。我们就用1.7作为我们的第一个估计值 x_0。
2. 第一次迭代：
x_1 = (1.7 + 3 / 1.7) / 2
x_1 = (1.7 + 1.7647...) / 2
x_1 = 3.4647... / 2
x_1 ≈ 1.73235...
3. 第二次迭代：
x_2 = (1.73235 + 3 / 1.73235) / 2
x_2 = (1.73235 + 1.73170...) / 2
x_2 = 3.46405... / 2
x_2 ≈ 1.732025...
你看，只迭代了两次，我们得到的数值就已经非常非常接近实际值了。这种方法在计算机里计算非常常用。
为什么√3这么重要？
你可能会问，这个数字有什么用呢？它可有用着呢！
几何学： 在几何学里，一个边长为2的正三角形，它高的高度就是√3。另外，在制作一些图形或者计算尺寸的时候也会用到它。
工程和物理： 在计算力学、电学等领域，很多公式里都会出现√3的身影，比如计算某些三相电的电压或者电流。
数学本身： 作为无理数的一个代表，它也是数学研究的重要对象，帮助我们理解数的性质和结构。
所以，下次你看到√3，就知道它不是一个简单的数字，而是一个充满数学趣味的无理数，它的近似值是1.732，我们可以通过估算、长除法或者牛顿法来计算它。
网友意见
我说一个小学生都可以用的方法，好多人都方法都十分精彩，但是都需要至少初中以上的数学基础。
我们也可以使用 的麦克劳林展开来计算 的值
根据
我们可以计算 的展开式，以展开前4项为例
带入 可以计算出 与 的实际值相差的范围已经是 量级了，如果需要更高的精度可以增加展开的项数。
数学中有一个分支叫计算数学，专门研究怎么计算的。
比如计算形如 的解，可以用迭代的方法去做，迭代公式为 ，由压缩映像原理，当在解的附近 ，可选取合适的初值通过迭代来产生近似解。
计算 的话，相当于求 ，把它变成如下形式
我们只要求上面方程的正解，我们知道大概在 内。令 ， 则其导数满足
取 ，通过迭代可得
可以看到 与 的真实值已经很接近了，可以精确到小数点后第7位。如果需要更高的精确度可以这样一直迭代下去，直到达到满意的精度。
这个问题一般人们会想到使用牛顿法、不动点原理或连分数来逼近，这里我提供一个不同的思路，原理上讲可能只是牛顿法、不动点法或连分数的某个特例，但一方面希望简单易懂，另一方面希望抛砖引玉。
考虑这个式子： ，容易证明：
这表明，对 做幂运算，随着幂增大，会收敛到0.
于是我们先考虑 的平方：
如果我们认为右边比较接近 0 ，那么就有
接下来考虑 的平方：
如果我们认为右边比较接近 0 ， 就有：
这样不断平方就能得到误差越来越小的近似分数。
误差分析：
由于：
从而：
同理：
从而：
这个时候估计的误差已经接近0.001了，而且由于平方之后分母会变大，所以误差收敛得会比较快。
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