关于微积分,牛顿和莱布尼茨的工作各有什么缺陷?
牛顿和莱布尼茨都是微积分的伟大奠基者，他们的工作都为数学和科学的发展奠定了基础。然而，正如任何开创性的工作一样，他们的理论也存在一些固有的局限性和缺陷。下面我们将详细探讨牛顿和莱布尼茨各自的工作所存在的缺陷：
牛顿的微积分（流数法 Fluxions）
牛顿的流数法（Method of Fluxions）是他独立发展出的微积分方法。他更侧重于使用几何方法来解决物理问题，并在此基础上发展了他的微积分理论。
牛顿流数法的缺陷：
1. 概念上的不严谨性（概念不清，例如“无穷小”）:
“流数”（Fluxions）和“流隐”（Fluents）的定义模糊： 牛顿将“流隐”定义为变化的量（例如一个点的位置随时间变化），而“流数”则是这些变化的“率”（Rate of change）。然而，他对这些概念的解释往往依赖于直观的几何运动，缺乏严格的数学定义。他描述流数时使用了“瞬时速度”的概念，这隐含了对“无穷小”的概念的使用，但并没有一个清晰、逻辑严密的数学框架来支撑“无穷小”。
无穷小量的处理方式（“最后的比” Last Ratio）： 牛顿处理极限时，常用的是一种“最后的比”的概念，即当两量趋近于零时，它们的比值趋向于某个值。例如，他会考虑一个变量从 $x$ 变为 $x+o$，然后计算 $frac{(x+o)^n x^n}{o}$，最后让 $o$ 趋于零。但这种“让某个量趋于零但又不完全为零”的处理方式在逻辑上存在一些问题，被后来的数学家（如贝塞尔）批评为“在概念上和逻辑上是站不住脚的”。这种方法虽然在实践中有效，但缺乏严格的数学基础。
“先有后无”的直觉方法： 牛顿的思路是先“产生”一个增量 $o$，然后在这个增量 $o$ 消失之前计算比值，最后再让 $o$ 消失。这种“先有后无”的处理方式，虽然能得到正确的结果，但其逻辑推导过程缺乏严谨性，无法让人信服“为什么在 $o$ 不为零的情况下计算的比值，就是 $o$ 为零时的瞬时变化率”。
2. 缺乏清晰的逻辑体系和证明（更多是方法论而非严谨的数学理论）：
几何直观的过度依赖： 牛顿的微积分更多是服务于他的物理学研究，例如万有引力定律的推导。他倾向于使用几何方法和物理直觉来理解和推导微积分的规则，而不是建立一套纯粹的、基于公理和定义的逻辑体系。
证明的不足： 虽然牛顿在《原理》中运用了极限思想和一些几何证明，但他的微积分成果更多是通过直观的方法和类比来获得的，其数学基础的严谨性相比后来的柯西等人要差很多。
记号系统的不统一和不便： 牛顿使用的流数记号（点号，如 $dot{x}$ 表示 $frac{dx}{dt}$）虽然直观，但在处理高阶导数和多变量时显得不够方便和统一，不如莱布尼茨的微分记号（ $dx$ 和 $frac{dy}{dx}$ ）那样具有普适性和系统性。
3. 运算规则的发现和证明不完整（只给出结果，缺少严谨证明）：
牛顿通过物理直觉和一些例子，掌握了求导和积分的许多基本规则（如幂法则、乘积法则、链式法则等），但他的推导过程往往缺乏完整的数学证明。例如，他知道 $frac{d}{dx} x^n = nx^{n1}$，但并没有给出一般性的严格证明。
4. 与数学界的交流和传播问题：
牛顿将他的微积分成果主要保存在自己的著作中，并且直到很晚才公开发表。他的流数法在早期并未像莱布尼茨的微积分那样得到广泛的传播和理解，这在一定程度上也限制了其早期影响力的范围。
莱布尼茨的微积分（微分法 Differential Calculus）
莱布尼茨独立发展了微积分，并创造了我们今天仍在使用的微分和积分记号。他的工作更具数学性和符号化的特点。
莱布尼茨微积分的缺陷：
1. 对“无穷小量”的理解和处理（“无穷小”的性质模糊）:
“无穷小”的二重性矛盾： 莱布尼茨将“无穷小”看作是可以“相加”或“相减”但又“不影响结果”的量，例如他认为 $dx$ 是一个“无穷小的量”。然而，这种对无穷小的处理方式在逻辑上是矛盾的：如果 $dx$ 是一个非零的无穷小，那么它不能随意地被忽略；但如果它是一个零，那么 $dx/dx$ 就变成了 $0/0$，没有意义。
缺乏严格的定义： 虽然莱布尼茨的记号系统使得微积分的运算变得易于理解和操作，但他对微分 $dx$ 的本质并没有给出严格的数学定义。他将微分理解为一种“无穷小的增量”，但这种“无穷小”的数学性质不明确，使得理论基础不够扎实。
非标准的分析（Historical context of nonstandard analysis）： 后来数学的发展（特别是罗宾逊的非标准分析）表明，莱布尼茨的直觉在某种程度上是正确的，可以为无穷小提供一种严格的数学基础。但在莱布尼茨的时代，这种基础并不存在。
2. 积分概念的严谨性不足（积分与求和的关系不清）:
积分的几何直观： 莱布尼茨将积分符号 $int$ 看作是“求和”符号 $S$ 的延伸，意在求曲边梯形的面积。他认为积分是“无穷多无穷小量的求和”。然而，对于如何严谨地定义这个“无穷多无穷小量”的求和，以及如何确保这个求和能够准确地得到面积的真实值，莱布尼茨的解释更多是几何直观的。
积分的实际运算（求和的极限）： 尽管莱布尼茨的记号暗示了积分是求和的极限，但他在证明和推导时，往往直接使用 $sum dx$ 这样的形式，将求和和积分混淆，缺乏对黎曼和（Riemann Sum）以及积分作为极限的清晰阐述。
3. 缺乏统一的逻辑框架和严格的证明（在一些情况下）:
操作性强但理论性弱： 莱布尼茨的记号系统和运算规则非常强大且易于使用，极大地推动了微积分在物理和工程领域的应用。但其理论基础的严谨性相比后来数学家的工作（如柯西、魏尔斯特拉斯）仍有差距。
例如，他证明 $int x dx = frac{1}{2}x^2 + C$ 可能更多是通过求导的逆运算来验证，而不是通过严格的积分定义来推导。
4. 对函数概念的理解尚不完善：
虽然莱布尼茨对函数的概念有所涉及，但他对函数的定义以及函数性质的理解，与现代数学的标准相比还有一定距离。这在一定程度上影响了他对一些更复杂函数求导和积分的严谨处理。
总结莱布尼茨和牛顿工作的共同点和差异：
共同点：
都独立发现了微积分的基本思想（微分和积分的互逆关系，以及导数和切线、积分和面积的关系）。
都为数学和科学发展提供了强大的工具。
他们的工作都建立在对“无穷小”或“瞬时变化率”的直观理解之上，缺乏现代意义上的严格极限理论。
差异点：
方法论： 牛顿更侧重于通过物理运动和几何直观来理解和发展微积分（流数法），他的工作更具现象学和物理学色彩。莱布尼茨则更侧重于符号化和代数运算，他的记号系统更具数学性和普适性。
记号系统： 莱布尼茨创造的 $frac{dy}{dx}$ 和 $int$ 记号比牛顿的 $dot{y}$ 和流数法更便于理解和传播，也更适合现代数学。
严谨性焦点： 牛顿的缺陷更多体现在对“无穷小”的几何化处理和逻辑推导上的不严谨。莱布尼茨的缺陷则在于对“无穷小”的代数化处理及其在积分概念上的直观性。
尽管存在这些缺陷，牛顿和莱布尼茨的工作仍然是革命性的。他们的贡献在于，即使在概念不完全严谨的情况下，他们也成功地发现了微积分的核心思想和运算规则，并将其应用于解决实际问题，为后来的数学家提供了坚实的基础，让他们可以逐步完善和严格化这些概念。微积分的严谨化过程是数学史上的一个重要里程碑，由后来的数学家如欧拉、拉格朗日、柯西、魏尔斯特拉斯等人完成。
牛顿的微积分（流数法 Fluxions）
牛顿的流数法（Method of Fluxions）是他独立发展出的微积分方法。他更侧重于使用几何方法来解决物理问题，并在此基础上发展了他的微积分理论。
牛顿流数法的缺陷：
1. 概念上的不严谨性（概念不清，例如“无穷小”）:
“流数”（Fluxions）和“流隐”（Fluents）的定义模糊： 牛顿将“流隐”定义为变化的量（例如一个点的位置随时间变化），而“流数”则是这些变化的“率”（Rate of change）。然而，他对这些概念的解释往往依赖于直观的几何运动，缺乏严格的数学定义。他描述流数时使用了“瞬时速度”的概念，这隐含了对“无穷小”的概念的使用，但并没有一个清晰、逻辑严密的数学框架来支撑“无穷小”。
无穷小量的处理方式（“最后的比” Last Ratio）： 牛顿处理极限时，常用的是一种“最后的比”的概念，即当两量趋近于零时，它们的比值趋向于某个值。例如，他会考虑一个变量从 $x$ 变为 $x+o$，然后计算 $frac{(x+o)^n x^n}{o}$，最后让 $o$ 趋于零。但这种“让某个量趋于零但又不完全为零”的处理方式在逻辑上存在一些问题，被后来的数学家（如贝塞尔）批评为“在概念上和逻辑上是站不住脚的”。这种方法虽然在实践中有效，但缺乏严格的数学基础。
“先有后无”的直觉方法： 牛顿的思路是先“产生”一个增量 $o$，然后在这个增量 $o$ 消失之前计算比值，最后再让 $o$ 消失。这种“先有后无”的处理方式，虽然能得到正确的结果，但其逻辑推导过程缺乏严谨性，无法让人信服“为什么在 $o$ 不为零的情况下计算的比值，就是 $o$ 为零时的瞬时变化率”。
2. 缺乏清晰的逻辑体系和证明（更多是方法论而非严谨的数学理论）：
几何直观的过度依赖： 牛顿的微积分更多是服务于他的物理学研究，例如万有引力定律的推导。他倾向于使用几何方法和物理直觉来理解和推导微积分的规则，而不是建立一套纯粹的、基于公理和定义的逻辑体系。
证明的不足： 虽然牛顿在《原理》中运用了极限思想和一些几何证明，但他的微积分成果更多是通过直观的方法和类比来获得的，其数学基础的严谨性相比后来的柯西等人要差很多。
记号系统的不统一和不便： 牛顿使用的流数记号（点号，如 $dot{x}$ 表示 $frac{dx}{dt}$）虽然直观，但在处理高阶导数和多变量时显得不够方便和统一，不如莱布尼茨的微分记号（ $dx$ 和 $frac{dy}{dx}$ ）那样具有普适性和系统性。
3. 运算规则的发现和证明不完整（只给出结果，缺少严谨证明）：
牛顿通过物理直觉和一些例子，掌握了求导和积分的许多基本规则（如幂法则、乘积法则、链式法则等），但他的推导过程往往缺乏完整的数学证明。例如，他知道 $frac{d}{dx} x^n = nx^{n1}$，但并没有给出一般性的严格证明。
4. 与数学界的交流和传播问题：
牛顿将他的微积分成果主要保存在自己的著作中，并且直到很晚才公开发表。他的流数法在早期并未像莱布尼茨的微积分那样得到广泛的传播和理解，这在一定程度上也限制了其早期影响力的范围。
莱布尼茨的微积分（微分法 Differential Calculus）
莱布尼茨独立发展了微积分，并创造了我们今天仍在使用的微分和积分记号。他的工作更具数学性和符号化的特点。
莱布尼茨微积分的缺陷：
1. 对“无穷小量”的理解和处理（“无穷小”的性质模糊）:
“无穷小”的二重性矛盾： 莱布尼茨将“无穷小”看作是可以“相加”或“相减”但又“不影响结果”的量，例如他认为 $dx$ 是一个“无穷小的量”。然而，这种对无穷小的处理方式在逻辑上是矛盾的：如果 $dx$ 是一个非零的无穷小，那么它不能随意地被忽略；但如果它是一个零，那么 $dx/dx$ 就变成了 $0/0$，没有意义。
缺乏严格的定义： 虽然莱布尼茨的记号系统使得微积分的运算变得易于理解和操作，但他对微分 $dx$ 的本质并没有给出严格的数学定义。他将微分理解为一种“无穷小的增量”，但这种“无穷小”的数学性质不明确，使得理论基础不够扎实。
非标准的分析（Historical context of nonstandard analysis）： 后来数学的发展（特别是罗宾逊的非标准分析）表明，莱布尼茨的直觉在某种程度上是正确的，可以为无穷小提供一种严格的数学基础。但在莱布尼茨的时代，这种基础并不存在。
2. 积分概念的严谨性不足（积分与求和的关系不清）:
积分的几何直观： 莱布尼茨将积分符号 $int$ 看作是“求和”符号 $S$ 的延伸，意在求曲边梯形的面积。他认为积分是“无穷多无穷小量的求和”。然而，对于如何严谨地定义这个“无穷多无穷小量”的求和，以及如何确保这个求和能够准确地得到面积的真实值，莱布尼茨的解释更多是几何直观的。
积分的实际运算（求和的极限）： 尽管莱布尼茨的记号暗示了积分是求和的极限，但他在证明和推导时，往往直接使用 $sum dx$ 这样的形式，将求和和积分混淆，缺乏对黎曼和（Riemann Sum）以及积分作为极限的清晰阐述。
3. 缺乏统一的逻辑框架和严格的证明（在一些情况下）:
操作性强但理论性弱： 莱布尼茨的记号系统和运算规则非常强大且易于使用，极大地推动了微积分在物理和工程领域的应用。但其理论基础的严谨性相比后来数学家的工作（如柯西、魏尔斯特拉斯）仍有差距。
例如，他证明 $int x dx = frac{1}{2}x^2 + C$ 可能更多是通过求导的逆运算来验证，而不是通过严格的积分定义来推导。
4. 对函数概念的理解尚不完善：
虽然莱布尼茨对函数的概念有所涉及，但他对函数的定义以及函数性质的理解，与现代数学的标准相比还有一定距离。这在一定程度上影响了他对一些更复杂函数求导和积分的严谨处理。
总结莱布尼茨和牛顿工作的共同点和差异：
共同点：
都独立发现了微积分的基本思想（微分和积分的互逆关系，以及导数和切线、积分和面积的关系）。
都为数学和科学发展提供了强大的工具。
他们的工作都建立在对“无穷小”或“瞬时变化率”的直观理解之上，缺乏现代意义上的严格极限理论。
差异点：
方法论： 牛顿更侧重于通过物理运动和几何直观来理解和发展微积分（流数法），他的工作更具现象学和物理学色彩。莱布尼茨则更侧重于符号化和代数运算，他的记号系统更具数学性和普适性。
记号系统： 莱布尼茨创造的 $frac{dy}{dx}$ 和 $int$ 记号比牛顿的 $dot{y}$ 和流数法更便于理解和传播，也更适合现代数学。
严谨性焦点： 牛顿的缺陷更多体现在对“无穷小”的几何化处理和逻辑推导上的不严谨。莱布尼茨的缺陷则在于对“无穷小”的代数化处理及其在积分概念上的直观性。
尽管存在这些缺陷，牛顿和莱布尼茨的工作仍然是革命性的。他们的贡献在于，即使在概念不完全严谨的情况下，他们也成功地发现了微积分的核心思想和运算规则，并将其应用于解决实际问题，为后来的数学家提供了坚实的基础，让他们可以逐步完善和严格化这些概念。微积分的严谨化过程是数学史上的一个重要里程碑，由后来的数学家如欧拉、拉格朗日、柯西、魏尔斯特拉斯等人完成。
网友意见
统一的最大缺陷可能是没说明白什么是实数。
实数可能是很难定义的东西，但这确实是分析学的核心，好像一直到好几百年之后才有了在数学上严谨的微积分。
学微积分的时候没学实变函数，也没学测度论
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