请问铁轨的三次缓和曲线是怎么得到的，具体一点就是y=1/6*x/rl这个系数是怎么推算出来?

铁轨三次缓和曲线的奥秘：y=1/6x/rl 系数的推导

在铁路工程中，为了保证列车平稳、安全地通过曲线，我们会在直线与圆曲线之间设置一段过渡曲线，也就是我们常说的“缓和曲线”。缓和曲线的作用是让列车在进入曲线前逐渐增加侧向加速度，避免乘客感到不适，同时也能减小轮缘与钢轨的磨损。而在众多缓和曲线的类型中，三次抛物线因其数学上的优越性和工程上的可行性，得到了广泛的应用。

那么，这条三次抛物线，尤其是其关键的系数 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$，究竟是如何得来的呢？这背后隐藏着严谨的数学推导和工程经验的总结。

为什么要用三次抛物线？

首先，我们来理解一下为什么选择三次抛物线作为缓和曲线。一个理想的缓和曲线应该满足以下几个基本要求：

1. 曲率半径从无穷大（直线）逐渐减小到设计曲线的曲率半径（圆曲线）：这意味着钢轨的弯曲程度在进入曲线时是逐渐增大的。
2. 曲率的导数（曲率的变化率）在整个缓和曲线段内是恒定的：这是为了保证侧向加速度的变化是线性的，从而使列车运行平稳。
3. 在缓和曲线的起点（与直线相切处），曲率半径为无穷大，切线角为零。
4. 在缓和曲线的终点（与圆曲线相切处），曲率半径等于圆曲线的曲率半径，切线角等于圆曲线的偏角。

三次抛物线 $y = Ax^3$ （在特定坐标系下）能够很好地满足这些要求，特别是第二个要求，线性变化的曲率变化率。

建立坐标系和基本关系

我们建立一个直角坐标系，通常将缓和曲线的起点（直线段）放在原点 $O(0,0)$。

$x$ 轴：沿着缓和曲线的起点方向（即直线方向）。
$y$ 轴：垂直于 $x$ 轴，指向缓和曲线的中心方向。

在缓和曲线上的任意一点 $(x, y)$，我们可以定义以下几个重要的几何参数：

切线角 $ heta$：缓和曲线在该点与 $x$ 轴的夹角。
曲率半径 $ ho$：缓和曲线在该点的弯曲程度的倒数。

这几个参数之间存在着密切的数学关系：

1. 切线角和弧长：在微小弧长 $ds$ 上，我们有 $dx = ds cos heta$ 和 $dy = ds sin heta$。对于缓和曲线，切线角 $ heta$ 通常很小，所以 $cos heta approx 1$ 且 $sin heta approx heta$（弧度制）。因此，$dx approx ds$，$dy approx heta ds$。
2. 曲率：曲率 $K$ 定义为切线角的变化率关于弧长的导数，即 $K = frac{d heta}{ds}$。曲率半径 $ ho = frac{1}{K}$。

推导三次抛物线的数学表达式

我们假设缓和曲线的方程为 $y = f(x)$。那么：

$y' = frac{dy}{dx}$ 是切线斜率。
$ an heta = y'$。对于小角度 $ heta$，$ an heta approx heta$。所以，$ heta approx y'$。
$frac{d heta}{dx} approx y''$。
由于 $dx approx ds$，所以曲率 $K = frac{d heta}{ds} approx frac{d heta}{dx} approx y''$。
曲率半径 $ ho = frac{1}{K} approx frac{1}{y''}$。

现在，我们回到缓和曲线的要求：曲率的变化率是恒定的。这意味着 $frac{dK}{ds}$ 是一个常数。
如果我们假设缓和曲线的方程是 $y = Ax^3$（这是最简单的形式），那么：

$y' = 3Ax^2$
$y'' = 6Ax$

此时，曲率 $K approx y'' = 6Ax$。
那么，曲率的变化率关于 $x$ 的导数是 $frac{dK}{dx} = 6A$。

如果我们要让曲率的变化率关于弧长 $s$ 是恒定的，事情会更复杂一些。但是，在实际工程应用中，我们经常会做一个近似，即假设 $frac{dK}{dx}$ 是恒定的，或者认为 $x$ 在缓和曲线段内变化不大，可以近似为 $s$。

更严格的推导是基于曲率随弧长线性变化的假设。

我们设缓和曲线的曲率 $K$ 随弧长 $s$ 线性变化，从起点（$s=0$）的 0（直线）到终点（$s=L$）的 $K_L = frac{1}{R}$（其中 $R$ 是圆曲线半径）。

所以，我们可以写成：
$K(s) = frac{s}{L} K_L = frac{s}{LR}$

我们知道，对于一个平面曲线，曲率 $K$ 和其导数 $y''$ 之间的关系是：
$K = frac{y''}{(1+(y')^2)^{3/2}}$

对于缓和曲线，由于切线角 $ heta$ 很小，所以 $y' = an heta approx heta$，而 $ heta$ 随弧长 $s$ 缓慢变化。因此，$y'$ 的值也非常小，$(y')^2$ 更是可以忽略不计。
这样，我们可以近似地认为 $K approx y''$。

因此，我们有：
$y'' approx frac{s}{LR}$

现在，我们需要将 $s$ 用 $x$ 来表示。由于 $ds = sqrt{dx^2 + dy^2} = sqrt{1 + (y')^2} dx approx dx$ （因为 $y'$ 很小），所以 $s approx x$。
将此近似代入，我们得到：

$y'' approx frac{x}{LR}$

这是我们想要的曲率半径随 $x$ 线性变化的形式。
现在，我们对 $y''$ 进行两次积分来求 $y(x)$。

第一次积分（求 $y'$）：
$y'(x) = int frac{x}{LR} dx = frac{1}{LR} int x dx = frac{1}{LR} frac{x^2}{2} + C_1$

根据缓和曲线的起点要求，在 $x=0$ 时，切线角 $ heta = 0$，所以 $y'(0) = 0$。
将 $x=0, y'=0$ 代入：
$0 = frac{1}{LR} frac{0^2}{2} + C_1 implies C_1 = 0$

所以，$y'(x) = frac{x^2}{2LR}$。

第二次积分（求 $y$）：
$y(x) = int y'(x) dx = int frac{x^2}{2LR} dx = frac{1}{2LR} int x^2 dx = frac{1}{2LR} frac{x^3}{3} + C_2 = frac{x^3}{6LR} + C_2$

根据缓和曲线的起点要求，在 $x=0$ 时，$y=0$。
将 $x=0, y=0$ 代入：
$0 = frac{0^3}{6LR} + C_2 implies C_2 = 0$

最终得到缓和曲线的方程：
$y(x) = frac{x^3}{6LR}$

系数 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$ 的由来

在上面的推导中，我们得到的方程是 $y(x) = frac{x^3}{6LR}$。
你提到的系数是 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$，这个形式看起来有点不同，似乎省略了 $x^2$ 的项。

让我们仔细审视你给出的系数形式 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$。
这个系数的形式 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$ 不是一个完整的方程，它更像是一个比例关系或者参数的定义，而不是一个描述曲线形状的方程。

通常，三次抛物线缓和曲线的方程在直角坐标系下表示为 $y = frac{x^3}{6LR}$。

在这里：
$y$ 是曲线偏离直线方向的距离。
$x$ 是沿直线方向的距离。
$L$ 是缓和曲线的长度。
$R$ 是圆曲线的曲率半径。

你提供的系数 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$ 可能存在以下几种理解或误解：

1. 单位和系数的混淆：
也许 $r$ 在这里不是指曲率半径，而是一个单位长度或者一个基准参数。
而 $l$（或 $L$）可能指的是缓和曲线的总长度。
如果 $rl$ 是一个长度的平方，例如 $rl = L cdot R$，那么方程就变成了 $y = frac{x^3}{6(LR)}$，与我们的推导一致。

2. 参数化表示：
有一种可能的解释是，你看到的这个形式是参数化后的结果，或者是在某个特定语境下的简化。
例如，如果我们引入一个“曲线参数” $a$，使得缓和曲线的方程可以写成 $y = frac{x^3}{6a}$，然后我们定义 $a = LR$。

3. 另一种形式的定义：
在某些文献或软件中，缓和曲线的参数化可能略有不同。
例如，如果我们定义缓和曲线的曲线参数为 $C = frac{1}{LR}$，则方程为 $y = frac{C}{6}x^3$。
如果 $x$ 被替换成某种与缓和曲线长度 $L$ 相关的量，或者 $C$ 被重新定义，就可能出现你看到的系数形式。

让我们尝试推导出一种可能导致你看到的系数形式的思路：

假设我们定义缓和曲线的曲率参数为 $A = frac{1}{LR}$。
那么，缓和曲线方程为 $y = frac{A}{6} x^3$。

如果我们有一个“特征长度” $l$，并且我们想将 $A$ 表示为与 $l$ 和 $R$ 相关的形式。
例如，如果我们考虑缓和曲线的总长度 $L$。
我们知道，在缓和曲线终点 ($s=L$)，曲率 $K_L = frac{1}{R}$。
由于 $K(s) = frac{s}{LR}$，那么 $K_L = K(L) = frac{L}{LR} = frac{1}{R}$，这与我们的定义一致。

现在，我们回到 $y = frac{x^3}{6LR}$。
如果你的系数 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$ 指的是 $y = frac{1}{6} frac{x cdot x^2}{rl}$ 这种形式，并且 $rl$ 是一个常数，那么就有问题了。

更可能的情况是，你看到的系数是描述缓和曲线的另一种参数化形式，或者是一个简化的比值。

我们从另一个角度来思考：

假设我们定义缓和曲线的变量是 $x'$，它与缓和曲线的总长度 $L$ 和圆曲线半径 $R$ 相关。

如果我们设缓和曲线的方程为：
$y = ax^3$

在缓和曲线的终点，我们有 $x=L$（近似），$y=0$（这里要注意，$y$ 是横坐标的偏离，而 $x$ 是纵坐标的偏离，这与我们上面的定义相反，但推导过程相似）。
如果我们按照你说的坐标系， $x$ 轴是前进方向， $y$ 轴是偏离方向。

在终点 $x = L$ (缓和曲线长度)
在终点 $x = L$，切线角 $ heta_L$。
在终点 $x = L$，曲率 $K_L = frac{1}{R}$。
我们知道 $K approx y''$。

如果缓和曲线方程是 $y = k x^3$，那么 $y' = 3kx^2$， $y'' = 6kx$。
那么 $K approx 6kx$。
在终点 $x=L$， $K_L = 6kL$。
所以 $frac{1}{R} = 6kL$，则 $k = frac{1}{6LR}$。
这又回到了 $y = frac{x^3}{6LR}$。

现在，我们来尝试匹配你提供的系数 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$。

如果我们假设这个形式是 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl} cdot ( ext{其他项})$ 并且这个“其他项”是 $x^2$，那么我们得到的仍然是 $y = frac{x^3}{6rl}$。
在这种情况下，$rl$ 就等于 $LR$。

所以，最有可能的解释是：

在你的公式 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$ 中：

$x$ 指的是缓和曲线上的某一个点的横坐标（沿直线方向的距离）。
$r$ 指的是圆曲线的曲率半径。
$l$ 指的是缓和曲线的总长度。

那么，你提供的表达式 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$ 不是一个完整的二次方程，而可能是一个比值或者参数的定义。

如果假设你提供的表达式是 $y = frac{1}{6} frac{x^3}{rl}$，并且 $rl = LR$，那么它就是三次抛物线缓和曲线的标准方程。

换句话说，系数 $frac{1}{6}$ 是通过对曲率随弧长线性变化（近似为 $y'' propto x$）进行两次积分得出的。而 $LR$ 作为一个整体，决定了缓和曲线的“弯曲程度”和“形状”。

总结一下推导过程中的核心：

1. 基本要求： 缓和曲线的关键在于曲率 $K$ 随弧长 $s$ 线性变化，即 $K(s) = frac{s}{LR}$。
2. 近似关系： 对于缓和曲线，切线角小， $K approx y''$。 同时，$ds approx dx$。
3. 转化为微分方程： $y'' approx frac{x}{LR}$。
4. 积分求解：
$y' = int frac{x}{LR} dx = frac{x^2}{2LR} + C_1$。 考虑 $y'(0)=0$，得 $C_1=0$。
$y = int frac{x^2}{2LR} dx = frac{x^3}{6LR} + C_2$。 考虑 $y(0)=0$，得 $C_2=0$。
5. 得到方程： $y = frac{x^3}{6LR}$。

所以，你提到的系数 $frac{1}{6}$ 是通过将“曲率随 $x$ 线性变化”这个条件进行两次积分得到的。而 $LR$ 则是决定缓和曲线形状和总长度的关键参数组合。

如果你看到的具体形式是 $y = frac{1}{6} frac{x}{rl}$，请再次确认其完整含义，因为它不像一个完整的抛物线方程。如果它确实是，那么 $r$ 和 $l$ 的具体定义以及它们是如何组合成 $LR$ 的，才是理解这个系数的关键。通常情况下，我们指的是 $y = frac{x^3}{6LR}$，其中 $frac{1}{6}$ 是数学积分的产物。

遇到问题多翻书。emmm，书上的推导如上，基本上就是三角函数的泰勒级数展开项。

采用这个线型其实就是图方便，三次方的精度已经足够高了，再细致点的泰勒级数展开除了增加工程人员的计算量之外毫无益处。毕竟铁路工程学里面直接就有坡道的垂直投影直接约等于坡道长度，即tan坡底角≈sin坡底角的用法。

关于那个tan坡底角≈sin坡底角，取某坡道垂直投影长度为1000米，坡道提升35米（基本上国内干线就没有这么大坡度坡道），sin坡底角=35/[√(1000^2+35^2)]=0.0349785，tan坡底角=35/1000=0.035，不到万分之三的差距，可以视为相同。如果坡道更低，则误差更小，比如坡长还是1000米，坡道提升5米，那么sin坡底角=5/[√(1000^2+5^2)]=0.0049999375，tan坡底角=5/1000=0.005，亿分之三的差距。