泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？
泊松分布的现实意义：
泊松分布的现实意义在于它能够有效地量化和预测那些看起来随机但实际上具有一定规律性的罕见事件或稀有事件发生的次数。这些事件的特点是：
1. 在固定区间内发生： 这个区间可以是时间（如一分钟、一天、一年）、空间（如一页书、一块屏幕、一个区域）、甚至是一个容量（如一个箱子里的商品）。
2. 事件是独立的： 一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。例如，在一个小时内，一次电话的到来不会影响下一次电话到来的可能性。
3. 平均发生率是固定的： 在这个固定的区间内，事件发生的平均次数是已知的，并且这个平均值在不同的独立区间内是不变的。我们通常用希腊字母 λ (lambda) 来表示这个平均发生率。
4. 发生次数的概率： 泊松分布最核心的意义在于它告诉我们，在给定的平均发生率 λ 下，在某个固定区间内，事件恰好发生 k 次的概率是多少。
为什么现实生活多数服从于泊松分布？
现实生活中，许多现象似乎都呈现出泊松分布的特征，这是因为许多自然过程和人为系统在特定条件下，都符合泊松分布的四个基本假设。下面我们来详细解释原因：
1. 独立性与随机性：
自然现象的内在随机性： 许多自然事件的发生，其根本原因往往是微观层面的随机波动和大量不可控因素的综合作用。例如：
放射性衰变： 原子核何时衰变是完全随机的，与其他原子核的衰变无关。在一秒钟内，一个放射性样品发出的α粒子的数量，很可能服从泊松分布。
量子事件： 光子在屏幕上撞击的次数，或电子在导线中移动时的瞬间随机变化，这些微观层面的随机性累积起来，在宏观层面上也会表现出泊松分布的特征。
大量潜在的发生机会： 尽管单个事件发生的概率可能很小，但如果我们考虑一个足够大的时间或空间区间，其中包含着无数个潜在的发生“机会”。例如，在一秒钟内，一个电话打进来的机会可能很多，但每次打进来的概率都很小。在这种情况下，我们可以将整个区间看作是无数个微小的时间片段，每个片段内事件要么发生一次，要么不发生，且彼此独立。
通信系统： 在一个网站的服务器上，每秒钟收到的请求数量。虽然每秒内可能会有无数次的“用户访问页面”的潜在机会，但实际收到一个请求的概率可能相对较低。当用户数量庞大且访问行为相对独立时，收到的请求数量会趋向于泊松分布。
交通流量： 在一个繁忙的交叉路口，在某个时间段内通过的汽车数量。每个汽车在道路上的“出现”都是一个潜在事件，虽然单辆车出现的时间点可能不均匀，但作为一个总体，在足够大的时间段内，如果车辆来源相对分散且驾驶行为独立，通过数量会接近泊松分布。
“稀有事件”的本质： 泊松分布特别适合描述那些在平均意义下不经常发生，但一旦发生起来又可能出现多次的事件。关键在于“平均发生率”是固定的，而不是事件本身发生的可能性绝对为零。
制造业缺陷： 一张纸张上有多少个瑕疵点？一个生产批次有多少个不合格品？如果我们假设每个微小的区域都有产生瑕疵的微小概率，且瑕疵的产生是独立的，那么单位面积或单位批次中的瑕疵数量就可能服从泊松分布。
2. 独立性与平均发生率固定：
非连续性与独立性： 很多事件的发生是离散的，一次事件的发生不会“消耗”掉下一次发生的可能性。例如，一次用户访问网站的请求，并不会影响下一个用户在下一秒是否访问。
稳定系统与平均值： 在许多稳定的系统或环境中，事件的平均发生率在一段时间内保持相对恒定。这是泊松分布成立的重要前提。
客户服务： 一个呼叫中心的每小时接听电话的平均数量。如果客户数量和客户的呼叫意愿在这一小时内相对稳定，那么接听电话的数量就会服从泊松分布。
医疗领域： 在某个特定科室一天内接受的特定类型手术的数量。如果医院的资源和病人的情况在这一天内相对稳定，那么手术数量可能接近泊松分布。
举例说明泊松分布的广泛应用：
电话交换台： 在特定时间段内，一个电话交换台接到的呼叫次数。
网站流量： 在一段时间内，访问一个网站的独立访客数量。
制造业： 产品上的微小缺陷数量，例如玻璃上的气泡，纺织品上的结头。
生物学： 显微镜视野下观察到的某种细菌或细胞的数量。
金融： 在某个时间段内，股票价格发生一次特定幅度的波动次数。
交通： 在一条高速公路上行驶的汽车数量，或者一个红绿灯处的车辆排队长度。
质量控制： 生产线上某时间段内出现的废品数量。
放射性： 单位时间内探测到的放射粒子数量。
为什么不是所有事件都服从泊松分布？
虽然泊松分布非常普遍，但并非所有事件都服从它。不服从泊松分布的情况通常是因为不满足其基本假设：
事件之间存在关联性： 例如，如果某事件的发生会显著增加或减少下一次事件发生的概率。比如，一个病人接受了某种治疗后，短期内再次出现同一种症状的概率会显著降低。
平均发生率随时间或空间变化： 例如，一个电商网站在“双十一”期间的访客数量，其平均发生率会急剧升高，不再是固定的。
事件不是离散的，而是连续的： 例如，一个物体的长度、温度等。
总结：
泊松分布的现实意义在于它提供了一个强大的数学工具，来量化和预测在固定区间内，以固定平均速率独立发生的事件的发生次数。现实生活中之所以许多现象服从泊松分布，是因为自然界和许多人为系统在特定条件下，恰好满足了这些独立性、固定平均率以及离散发生次数的特征。它能够帮助我们理解和管理那些看似随机，实则遵循内在规律的现象，从而做出更明智的决策和预测。
网友意见
1 甜在心馒头店
公司楼下有家馒头店：
每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？
老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：
均值为：
按道理讲均值是不错的选择（参见“如何理解最小二乘法？”），但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖， 的时间不够卖：
你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。
2 老板的思考
老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用 来表示：
然后把 的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：
把 均分为四个时间段：
此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：
在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：
内卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。
这样的概率通过二项分布来计算就是：
但是，如果把 的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：
从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。
解决这个问题也很简单，把 分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：
这样， 内卖出7个馒头的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）：
为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成 份：
越细越好，用极限来表示：
更抽象一点， 时刻内卖出 个馒头的概率为：
3 的计算
“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率 怎么求？”
在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：
那么：
4 泊松分布
有了 了之后，就有：
我们来算一下这个极限：
其中：
所以：
上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在 时间内卖出 个馒头的概率为：
一般来说，我们会换一个符号，让 ，所以：
这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。
5 馒头店的问题的解决
老板依然蹙眉，不知道 啊？
没关系，刚才不是计算了样本均值：
可以用它来近似：
于是：
画出概率密度函数的曲线就是：
可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来：
这样 的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。
老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”
6 二项分布与泊松分布
鉴于二项分布与泊松分布的关系，可以很自然的得到一个推论，当二项分布的 很小的时候，两者比较接近：
7 总结
这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。
生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。
还有比如交通规划等等问题。
这篇文章可以继续扩充：如何理解指数分布？
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解泊松分布？
这篇回答节选自我在专栏《机器学习中的数学：概率统计》中的一篇文章，我们来谈一下泊松分布的问题。
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谈到泊松分布必须要结合着先说说二项分布
1.二项分布及二项随机变量
1.1.分布列及PMF
我们还是举抛硬币的例子：将一个硬币抛掷 次，每次抛掷出现正面的概率为 ，每次抛掷彼此之间都是相互独立的，随机变量 对应 次抛掷得到的是正面的次数。
这里，随机变量 服从二项分布，二项分布中的核心参数就是上面提到的 和 ，随机变量的分布列可以通过下面这个熟悉的公式计算得到：
下面我们通过依次指定不同的 参数： ，来绘制 图，来观察一下二项随机变量的分布情况：
代码片段：
from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set() fig, ax = plt.subplots(3, 1) params = [(10, 0.25), (10, 0.5), (10, 0.8)] x = range(0, 11) for i in range(len(params)): binom_rv = binom(n=params[i][0], p=params[i][1]) ax[i].set_title('n={},p={}'.format(params[i][0], params[i][1])) ax[i].plot(x, binom_rv.pmf(x), 'bo', ms=8) ax[i].vlines(x, 0, binom_rv.pmf(x), colors='b', lw=3) ax[i].set_xlim(0, 10) ax[i].set_ylim(0, 0.35) ax[i].set_xticks(x) ax[i].set_yticks([0, 0.1, 0.2, 0.3]) plt.show() 运行结果：
挺好看的一张图，我们来简要解释一下代码：
第11行：生成服从指定参数 , 的二项分布随机变量。
第12行~第18行： 分别对其进行PMF图绘制，因为是离散型随机变量，因此不建议画成折线图，这种形态更为合适一些。
在这个例子中，我们直接通过scipy中的stats模块得到的二项分布的概率质量函数，也就是反映了不同参数条件下，随机变量 各取值点所对应的取值概率。
1.2.随机变量的采样
我们可以使用 模块中的 方法进行二项随机变量的采样模拟，我们可以指定所要采样的随机变量个数，这里指定重复采样10万次。我们使用三组参数 ：分别是 ， 和 。
通过上述模拟采样试验可以得到每种实验结果所对应的次数，然后我们通过归一化，可以计算出随机变量每一种取值所对应的频数，并将其作为概率的近似进行绘图观察。
代码片段
from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set() fig, ax = plt.subplots(3, 1) params = [(10, 0.25), (10, 0.5), (10, 0.8)] x = range(0, 11) for i in range(len(params)): binom_rv = binom(n=params[i][0], p=params[i][1]) rvs = binom_rv.rvs(size=100000) ax[i].hist(rvs, bins=11, normed=True) ax[i].set_title('n={},p={}'.format(params[i][0], params[i][1])) ax[i].set_xlim(0, 10) ax[i].set_ylim(0, 0.4) ax[i].set_xticks(x) print('rvs{}:{}'.format(i, rvs)) plt.show() 运行结果：
rvs0:[0 4 2 ... 3 2 3] rvs1:[6 6 5 ... 5 7 8] rvs2:[7 8 9 ... 9 7 8] 程序打印的结果是三个数组，这就是我们在不同参数下分别做10万次采样试验的结果数组。
1.3.随机变量的数字特征
服从二项分布的随机变量，他的期望和方差的表示很简单，服从参数为 的二项分布的随机变量 ，他的期望和方差的公式我们直接给出来：
期望：
方差：
我们可以结合上面的试验，用几种方法来验证一下上述结论：
代码片段：
import numpy as np from scipy.stats import binom binom_rv = binom(n=10, p=0.25) mean, var, skew, kurt = binom_rv.stats(moments='mvsk') binom_rvs = binom_rv.rvs(size=100000) E_sim = np.mean(binom_rvs) S_sim = np.std(binom_rvs) V_sim = S_sim * S_sim print('mean={},var={}'.format(mean,var)) print('E_sim={},V_sim={}'.format(E_sim,V_sim)) print('E=np={},V=np(1-p)={}'.format(10 * 0.25,10 * 0.25 * 0.75)) 运行结果：
mean=2.5,var=1.875 E_sim=2.50569,V_sim=1.8735076238999997 E=np=2.5,V=np(1-p)=1.875 我们用三种方法计算了服从参数为 的二项分布随机变量的均值和方差，其中：
第04行~第05行： 是用函数包中的方法计算的分布的各个理论统计值；
第07行~第10行：从采样试验中得到的样本数据计算出来的均值和方差；
第14行：通过公式直接计算出来的理论值。
看的出，利用采样样本数据计算出来的值和理论值基本上是相等的。
看完了二项分布，我们再来看看泊松分布：
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2.泊松分布及泊松随机变量
2.1.泊松分布的应用场景
我们刚刚讲了， 次独立的伯努利试验成功的次数是一个服从二项分布的随机变量，其中参数为 和 ，期望为 。我们这里看一种非常特殊的情况：就是 非常大， 非常小，但是期望 结果适中。
现实生活中有没有这类情况？有，比如我们考虑任何一天内发生飞机事故的总数，记作随机变量 ，总共飞机飞行的次数 非常大，但是单架次飞机出现事故的概率 非常小。或者用随机变量 表示一本书中字印刷错误的次数， 表示一本书中的总字数，非常大，而 表示每个字印刷出错的概率，非常小。
这种情况下， 很大 很小，二项分布的分布列可以简化为我们这里谈到的泊松分布的分布列：
，其中， ，
期望和方差满足：
特别的，当我们的 ，且 时，对应的二项分布列：
就收敛于上面的泊松分布列了。
通俗点说把，就是只要当 ，且 非常大， 非常小，泊松分布就是二项分布的一个非常好的近似。计算简便就是他的一个很大的优势
2.2.泊松分布的PMF图
同样的，我们也用python代码来画一下他的PMF函数图，对应的观察一下指定参数下泊松分布的分布列。
正如我们所说，泊松分布的参数就是一个 ，我们分别绘制一个 和 的泊松分布PMF图，并获取他们的均值和方差。
代码片段：
from scipy.stats import poisson import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set() fig, ax = plt.subplots(2, 1) x = range(0, 20) params = [10, 2] for i in range(len(params)): poisson_rv = poisson(mu=params[i]) mean, var, skew, kurt = poisson_rv.stats(moments='mvsk') ax[i].plot(x, poisson_rv.pmf(x), 'bo', ms=8) ax[i].vlines(x, 0, poisson_rv.pmf(x), colors='b', lw=5) ax[i].set_title('$\lambda$={}'.format(params[i])) ax[i].set_xticks(x) print('lambda={},E[X]={},V[X]={}'.format(params[i], mean, var)) plt.show() 运行结果：
lambda=10,E[X]=10.0,V[X]=10.0 lambda=2,E[X]=2.0,V[X]=2.0 同样的，我们对 的泊松分布进行采样。
代码片段：
import numpy as np from scipy.stats import poisson import matplotlib.pyplot as plt import seaborn seaborn.set() lambda_ = 2 data = poisson.rvs(mu=lambda_, size=100000) plt.figure() plt.hist(data, normed=True) plt.gca().axes.set_xticks(range(0, 11)) print('mean=', np.mean(data)) print('var=', np.square(np.std(data))) plt.show() 运行结果：
mean= 2.00542 var= 2.0082906236 这也是我们通过10万次采样试验得出的统计结果，我们通过这个结果集计算了均值和方差，和模型的理论推导值是一致的。
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