为什么用外积可以证明dydz=–z'(x)dxdy，dxdy=rdrdθ？

好的，我们来聊聊这个话题，尽量用一种比较亲切、不那么“标准教材”的风格来探讨。

你提到的这两个式子，dydz = –z'(x)dxdy 和 dxdy = rdrdθ，确实是利用外积（或者说微分外积）来推导出来的，而且这个推导过程能帮助我们更深刻地理解微分形式以及它们在几何和物理中的作用。

核心思想：微分形式与“微小面积”

首先，我们要明白“微分”在几何上的意义。当我们在谈论 $dx$、$dy$、$dz$ 这些东西的时候，它们不仅仅是独立的变量，更是代表着“无穷小的长度”或者“坐标方向”。

$dx$：沿着 x 方向的无穷小位移。
$dy$：沿着 y 方向的无穷小位移。
$dz$：沿着 z 方向的无穷小位移。

而 外积，在几何上，它的一个核心作用就是 定义一个“有向的微小面积”。

想象一下，在二维平面上，如果你取 $dx$ 和 $dy$，那么 $dx wedge dy$ （这里的 $wedge$ 就是外积符号）就代表了一个沿着 x 方向延伸 $dx$、沿着 y 方向延伸 $dy$ 所形成的 一个有向的、无穷小的平行四边形（实际上是个小矩形）。它的“大小”是 $dx cdot dy$（忽略了无穷小的二阶项），而它的“方向”是由 $dx$ 和 $dy$ 的相对位置决定的（根据右手定则）。

第一个式子：dydz = –z'(x)dxdy

这个式子涉及到 三维空间中的曲面。假设我们有一个曲面，它可以用 $z = f(x, y)$ 来描述。这里的 $z'(x)$ 实际上是指 对 $z$ 关于 $x$ 的偏导数，也就是 $frac{partial z}{partial x}$。不过，在这个式子里面，它更像是在暗示一种 曲面在某个方向上的“倾斜程度”。

让我们思考一下 $dydz$ 代表什么。如果 $y$ 和 $z$ 是独立变化的，那么 $dydz$ 可以理解为在 $yz$ 平面（或者说，如果我们将 x 固定，在 yz 坐标系下）形成的一个有向的微小面积。

现在，考虑我们的曲面 $z = f(x, y)$。在曲面上，我们不能独立地改变 $y$ 和 $z$，因为 $z$ 的值依赖于 $x$ 和 $y$。

我们来尝试用外积的语言来描述曲面上的“微小区域”。

1. 固定 $y$：如果我们固定 $y$ 的值，然后让 $x$ 变化 $dx$，那么 $z$ 的变化是 $dz = frac{partial z}{partial x} dx$。此时，在曲面上，我们沿着 $x$ 方向移动，沿着 $z$ 方向的变化就由 $frac{partial z}{partial x} dx$ 来描述。

2. 固定 $x$：如果我们固定 $x$ 的值，然后让 $y$ 变化 $dy$，那么 $z$ 的变化是 $dz = frac{partial z}{partial y} dy$。此时，在曲面上，我们沿着 $y$ 方向移动，沿着 $z$ 方向的变化就由 $frac{partial z}{partial y} dy$ 来描述。

那么，在曲面上，当我们同时让 $x$ 变化 $dx$ 并让 $y$ 变化 $dy$ 时，曲面上的“位移”是一个二维的“小片”，它是由两个微小向量决定的。一个向量是沿着 $x$ 方向的 $(dx, 0, dz_x) = (dx, 0, frac{partial z}{partial x} dx)$，另一个向量是沿着 $y$ 方向的 $(0, dy, dz_y) = (0, dy, frac{partial z}{partial y} dy)$。

“切平面”的微小面积：在曲面上，由这两个方向定义的“微小面积”是由这两个切向量的外积来描述的。如果我们考虑一个参数化曲面 $r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$，那么微小面积是 $dr_u wedge dr_v = (frac{partial r}{partial u} du) wedge (frac{partial r}{partial v} dv)$。

在我们的例子中，我们可以把 $x$ 和 $y$ 看作是参数。虽然 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，但我们可以考虑一个“隐式”的描述，或者说，曲面可以看作是某个方程 $F(x,y,z) = 0$ 的零点集。

一个更直接的思考方式是 改变变量。

假设我们现在考虑的是由 $y$ 和 $z$ 决定的一个“区域”。如果我们想描述这个区域，我们可以用 $dy$ 和 $dz$。

现在，我们把曲面 $z=f(x,y)$ 想象成一个“形变”。在 $(x,y)$ 平面上，我们有一个微小矩形 $dx wedge dy$。当这个矩形被映射到曲面上时，它会变成曲面上的一个微小区域。

我们来看 $dydz$ 是如何与 $dxdy$ 关联的。
考虑我们曲面上的一个微小位移。这个位移可以在 $(x,y)$ 坐标系下描述为 $(dx, dy)$。
在 $(y,z)$ 坐标系下，这个位移会是什么样的？

我们有 $z = f(x,y)$。
那么 $dz = frac{partial z}{partial x} dx + frac{partial z}{partial y} dy$。

现在，我们要理解 $dydz = frac{partial z}{partial x} dxdy$。
这里的 $frac{partial z}{partial x}$ 实际上是 $frac{partial z}{partial x}$。

这涉及到 微分形式的对偶性。

想象一下，我们有一个 二维曲面 嵌入在三维空间中。我们可以用参数 $u, v$ 来描述这个曲面上的点 $(x(u,v), y(u,v), z(u,v))$。
曲面上的一个微小面积元可以表示为 $dA = (frac{partial mathbf{r}}{partial u} du) imes (frac{partial mathbf{r}}{partial v} dv)$（向量叉乘，在三维中与外积密切相关）。
在微分形式的语言里，曲面上的一个“定向微小面积”可以表示为 $dS = dx wedge dy + dy wedge dz + dz wedge dx$ 这样的组合，具体形式取决于我们用哪两个变量作为参数。

考虑曲面 $z = f(x, y)$。我们可以把它看作是用参数 $(x, y)$ 来描述的。
那么 $dz = frac{partial z}{partial x} dx + frac{partial z}{partial y} dy$.

我们来看 外积的性质：
$A wedge B = B wedge A$
$A wedge A = 0$

现在，让我们考虑在曲面上的一个微小区域。我们可以选择用 $x$ 和 $y$ 作为“局部坐标”。那么这个微小区域可以表示为 $dx wedge dy$。
现在，我们想问，如果我们在 $y$ 和 $z$ 的“视角”下看这个区域，它应该是什么样的？

式子 $dydz = frac{partial z}{partial x} dxdy$ 实际上是在说，如果我们将 $y$ 和 $z$ 看作是“基本”的变量（虽然它们在曲面上不是独立的），那么由它们定义的一个“投影”或者“切面”上的微小面积 $dydz$，与由 $x$ 和 $y$ 定义的微小面积 $dxdy$ 之间，存在一个系数关系 $frac{partial z}{partial x}$。

这里需要更深入地理解 微分形式的映射（pullback）。
假设我们有一个映射 $F: M o N$，其中 $M$ 是一个 $k$ 维流形， $N$ 是一个 $m$ 维流形， $k le m$。
如果我们有一个 $k$ 形式 $omega$ 在 $N$ 上，那么 $F^(omega)$ 就是在 $M$ 上的一个 $k$ 形式。

对于曲面 $z = f(x,y)$，我们可以看作是一个二维流形。
我们可以考虑一个“投射”操作。
如果我们把 $x, y$ 看作是参数，那么曲面上的一个微小面积元是 $dx wedge dy$（在 $(x,y)$ 平面上）。
然后，曲面上的 $z$ 坐标是 $z = f(x,y)$。

式子 $dydz = frac{partial z}{partial x} dxdy$ 实际上是在说：
考虑一个 二维流形，它的局部坐标是 $(x,y)$。在上面我们有微小面积元 $dx wedge dy$。
现在，我们考虑将这个二维流形 嵌入 到一个三维空间中，通过函数 $z=f(x,y)$。
我们想看看，如果我们用 $y$ 和 $z$ 来描述这个嵌入的“微小面积”，会发生什么。

一个更直观但可能不完全严谨的解释：
想象一下，你在一个斜坡上。
如果你沿着 $x$ 方向前进 $dx$，你的 $y$ 坐标不变，那么你的 $z$ 坐标会变化 $dz_x = frac{partial z}{partial x} dx$。
如果你沿着 $y$ 方向前进 $dy$，你的 $x$ 坐标不变，那么你的 $z$ 坐标会变化 $dz_y = frac{partial z}{partial y} dy$。

那么，如果你的“前进”是沿着 $(x,y)$ 平面上的一个微小区域 $dx wedge dy$，“展开”到曲面上，它会形成一个什么样的“投影”在 $yz$ 平面上的“小区域”呢？

这里面的 $dydz$ 实际上应该理解为 曲面上 $y$ 和 $z$ 坐标的变化所“扫过”的那个方向的微小面积。

让我尝试从 外微分 (exterior derivative) 的角度来理解它。
在三维空间中，我们可以定义一些微分形式。
考虑一个函数 $f(x,y,z)$。
$df = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy + frac{partial f}{partial z} dz$

现在，我们看 2形式。
$dx wedge dy$ 描述了 $xy$ 平面上的一个微小面积。
$dy wedge dz$ 描述了 $yz$ 平面上的一个微小面积。
$dz wedge dx$ 描述了 $zx$ 平面上的一个微小面积。

我们有曲面 $z = f(x,y)$。
我们可以将曲面看作是一个参数空间 $(u,v)$ 到 $(x,y,z)$ 的映射 $r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$。
曲面上的微小面积元是 $dA = |r_u imes r_v| du dv$ （向量叉乘的模）。
在微分形式上，对应的是 $dA = (r_u imes r_v) cdot (frac{partial(y,z)}{partial(u,v)}, frac{partial(z,x)}{partial(u,v)}, frac{partial(x,y)}{partial(u,v)}) du wedge dv$ （这里有点乱，是积分的Stokes定理的准备）。

更直接的理解：
令 $x, y$ 为参数。则曲面上的微小面积元是 $dx wedge dy$。
现在，我们考虑另一组“参数”或者“坐标”。

考虑一个 向量场 $V = P mathbf{i} + Q mathbf{j} + R mathbf{k}$。
在曲面 $z = f(x,y)$ 上，我们可以考虑曲面的 法向量。
法向量 $N$ 的方向与 $z$ 轴的夹角 $gamma$ 满足 $cos gamma = frac{partial z / partial x}{ sqrt{1 + (partial z/partial x)^2 + (partial z/partial y)^2} } $ （这不对，法向量是 $ (frac{partial z}{partial x}, frac{partial z}{partial y}, 1)$ 的归一化）。

真正的角度来了，从微分形式的度量 (metric) 和体积形式 (volume form)：

在一个 $n$ 维流形上，一个 体积形式 是一个全局的、处处非零的 $n$ 形式。在欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中，标准体积形式是 $dx^1 wedge dx^2 wedge dots wedge dx^n$。

在二维平面 $mathbb{R}^2$ 上，体积形式是 $dx wedge dy$。
在三维空间 $mathbb{R}^3$ 上，体积形式是 $dx wedge dy wedge dz$。

现在，考虑曲面 $z = f(x,y)$。这是一个二维流形。
它的 体积形式 (或者说，在上面定义的一个“面积形式”) 是由 诱导度量 决定的。

我们来看 $dx wedge dy$。这个是一个 $2$形式。
它描述了在 $(x,y)$ 平面上“张开”的微小面积。

那么 $dydz$ 和 $dxdy$ 是怎么关联的？
考虑一个 切向量 在曲面上的变化。
如果我们在曲面上沿着 $x$ 方向移动 $dx$，那么 $z$ 的变化是 $dz = frac{partial z}{partial x} dx$。
如果我们在曲面上沿着 $y$ 方向移动 $dy$，那么 $z$ 的变化是 $dz = frac{partial z}{partial y} dy$。

我们可以 将 $dx wedge dy$ 映射到曲面上。
在曲面上，由 $(dx, 0, frac{partial z}{partial x} dx)$ 和 $(0, dy, frac{partial z}{partial y} dy)$ 这两个切向量张成的微小区域，在 $x,y$ 坐标下的“投影”是 $dx wedge dy$。

现在，我们想描述 这个微小区域在 $y$ 和 $z$ 坐标下的“切面”。
这个微小区域的两个基向量是：
$v_x = (1, 0, frac{partial z}{partial x})$ 沿着 $x$ 方向的变化
$v_y = (0, 1, frac{partial z}{partial y})$ 沿着 $y$ 方向的变化

我们想计算 $v_x wedge v_y$ 在 $y$ 和 $z$ 坐标下的“分量”。
$v_x wedge v_y = egin{vmatrix} mathbf{e}_1 & mathbf{e}_2 & mathbf{e}_3 \ 1 & 0 & frac{partial z}{partial x} \ 0 & 1 & frac{partial z}{partial y} end{vmatrix} = (0 cdot frac{partial z}{partial y} frac{partial z}{partial x} cdot 1) mathbf{e}_1 + (frac{partial z}{partial x} cdot 0 1 cdot frac{partial z}{partial y}) mathbf{e}_2 + (1 cdot 1 0 cdot 0) mathbf{e}_3$
$v_x wedge v_y = frac{partial z}{partial x} mathbf{e}_1 frac{partial z}{partial y} mathbf{e}_2 + 1 mathbf{e}_3$
$v_x wedge v_y = frac{partial z}{partial x} dx frac{partial z}{partial y} dy + dz$ （这里 $mathbf{e}_i$ 对应 $dx, dy, dz$）

这是一个 1形式。这是错误的理解。外积的单位是 面积。

正确理解 $dydz = frac{partial z}{partial x} dxdy$

这个式子是关于 曲面上某个“投影”或者“切面”的面积关系。

假设我们在 $(x,y)$ 平面上有一个微小面积元 $dx wedge dy$。
如果我们把这个微小区域“拉伸”或“映射”到曲面 $z=f(x,y)$ 上，它就变成了一个曲面上的微小面积元。
这个曲面上的微小面积元，可以 通过某种方式 与 $dx$, $dy$, $dz$ 联系起来。

考虑 Stokes 定理。
$int_M domega = int_{partial M} omega$

这里的 $d$ 是外微分算子。
$d(f dx) = df wedge dx = (frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy + frac{partial f}{partial z} dz) wedge dx$
$= frac{partial f}{partial x} (dx wedge dx) + frac{partial f}{partial y} (dy wedge dx) + frac{partial f}{partial z} (dz wedge dx)$
$= 0 + frac{partial f}{partial y} (dx wedge dy) + frac{partial f}{partial z} (dz wedge dx)$
$= frac{partial f}{partial y} dx wedge dy + frac{partial f}{partial z} dz wedge dx$

考虑函数 $z f(x,y) = 0$。
$d(z f(x,y)) = dz df = dz (frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy)$
$d(dz frac{partial f}{partial x} dx frac{partial f}{partial y} dy) = 0$ （外微分的二次是零）

这个式子 $dydz = frac{partial z}{partial x} dxdy$ 实际上是 表示了曲面的切空间上的度量信息。

用更抽象的语言来说：
曲面 $S: z=f(x,y)$ 可以看作是一个二维流形。
我们可以在这个流形上定义一个 面积形式（或称体积形式）。
如果我们选择 $x$ 和 $y$ 作为局部坐标，那么这个面积形式是 $sigma = dx wedge dy$。

现在，考虑一个 嵌入函数 $F: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^3$ 使得 $F(x,y) = (x, y, f(x,y))$。
那么，在曲面上，我们有三个“坐标” $x, y, z$。
$z$ 受到 $x,y$ 的约束。 $dz = frac{partial z}{partial x} dx + frac{partial z}{partial y} dy$。

我们关心的是 曲面上由 $y$ 和 $z$ 坐标“张成的”微小面积，以及它与 曲面上由 $x$ 和 $y$ 坐标“张成的”微小面积 的关系。

考虑一个“体积形式”在曲面上的“切片”。
在三维空间中，我们有体积形式 $dx wedge dy wedge dz$。
对它进行“截断”或者“投影”到曲面上，会得到什么？

最直观的理解是来自“高斯曲率”或“第二基本形式”的计算。
假设我们用 $u, v$ 作为参数。
曲面的切向量是 $T_u = frac{partial mathbf{r}}{partial u}$ 和 $T_v = frac{partial mathbf{r}}{partial v}$。
曲面上的微小面积元是 $dA = ||T_u imes T_v|| du dv$。
在微分形式上，这个面积元是 $(T_u imes T_v) cdot (mathbf{i} dy wedge dz + mathbf{j} dz wedge dx + mathbf{k} dx wedge dy)$ （这里用到了向量与微分形式的联系）。

如果 $z = f(x,y)$，我们可以令 $u=x, v=y$。
$mathbf{r}(x,y) = (x, y, f(x,y))$
$T_x = (1, 0, frac{partial f}{partial x})$
$T_y = (0, 1, frac{partial f}{partial y})$

$T_x imes T_y = egin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ 1 & 0 & frac{partial f}{partial x} \ 0 & 1 & frac{partial f}{partial y} end{vmatrix} = (frac{partial f}{partial x}) mathbf{i} (frac{partial f}{partial y}) mathbf{j} + 1 mathbf{k}$

我们感兴趣的是 面积元在不同坐标平面上的投影。
曲面上的微小面积元 $dS$ 可以表示为 $dS = sigma_{xy} dx wedge dy = sigma_{yz} dy wedge dz = sigma_{zx} dz wedge dx$。
其中 $sigma_{xy}$ 就是 $dx wedge dy$ 在曲面上“应该拥有”的“面积大小”的系数。

$T_x imes T_y$ 的 $mathbf{k}$ 分量是 $1$。这个 $1$ 对应于 $dx wedge dy$。
因此，曲面上的微小面积元，其在 $xy$ 平面上的投影“大小”是 $dx wedge dy$。
也就是，曲面上的微小面积元 可以被表示为 $dx wedge dy$。

那么，这个微小面积元，当它在 $yz$ 平面上“投影”时，会是什么？
$T_x imes T_y = (frac{partial f}{partial x}) mathbf{i} (frac{partial f}{partial y}) mathbf{j} + 1 mathbf{k}$

我们知道，一个向量 $V = V_x mathbf{i} + V_y mathbf{j} + V_z mathbf{k}$，它在 $yz$ 平面上的“面积元”可以理解为 $V_x dy wedge dz$ （这里应该理解为 $V_x$ 乘以 $yz$ 平面上的面积元）。
更准确地说，曲面上的面积元 $dS$ 可以表示为：
$dS = |N| dA$, 其中 $N$ 是法向量。

在微分形式中，我们可以写成：
$dS = dx wedge dy + dy wedge dz + dz wedge dx$ 的组合。

这里的 $dydz = frac{partial z}{partial x} dxdy$ 实际上是说：
曲面上的一个微小面积元，如果我们在 $x,y$ 坐标下看，它“看起来”是 $dx wedge dy$；如果我们在 $y,z$ 坐标下看（尽管 $y,z$ 并不是独立的参数），它“看起来”是 $dydz$，而这两个“看起来”的大小之间，存在一个比例关系 $frac{partial z}{partial x}$。

关键点：
1. $dx wedge dy$ 是一个 2形式，表示在 $xy$ 平面上的一个“有向微小面积”。
2. $dydz$ 同样是一个 2形式，表示在 $yz$ 平面上的一个“有向微小面积”。
3. 对于曲面 $z = f(x,y)$，它将 $xy$ 平面上的一个微小面积 $dx wedge dy$ “映射”到三维空间中的一个微小面积。
4. 这个映射导致了在不同的坐标平面上的“投影”或“表示”之间的关系。
5. $frac{partial z}{partial x}$ 正是描述了这种几何映射所产生的 比例因子。它衡量了曲面在 $x$ 方向上的“倾斜”程度，这种倾斜程度如何影响了 $y$ 和 $z$ 坐标的变化所形成的面积。

这个式子还可以从外微分的角度来推导：
考虑 $y cdot dz = y cdot (frac{partial z}{partial x} dx + frac{partial z}{partial y} dy)$
$d(y cdot dz) = d(y wedge dz) = dy wedge dz + y wedge d(dz) = dy wedge dz + y wedge 0 = dy wedge dz$

考虑 $z cdot dy$
$d(z cdot dy) = d(z wedge dy) = dz wedge dy + z wedge d(dy) = dz wedge dy + 0 = dz wedge dy$

这是一个 符号错误。式子应该是：
$dz wedge dy = frac{partial z}{partial x} dx wedge dy$ （原式子 $dydz = –z'(x)dxdy$ 应该是指 $dz wedge dy$）

让我重新审视一下。
在三维空间中，我们有 $dz = frac{partial z}{partial x} dx + frac{partial z}{partial y} dy$。
我们要计算 $dz wedge dy$：
$dz wedge dy = (frac{partial z}{partial x} dx + frac{partial z}{partial y} dy) wedge dy$
$= frac{partial z}{partial x} (dx wedge dy) + frac{partial z}{partial y} (dy wedge dy)$
$= frac{partial z}{partial x} dx wedge dy + frac{partial z}{partial y} cdot 0$
$= frac{partial z}{partial x} dx wedge dy$

Aha! 我发现我记错了原式子的符号，或者说，原式子可能是另一种表示方式。

更常见且正确的形式是：
$dz wedge dy = frac{partial z}{partial x} dx wedge dy$
或者
$dy wedge dz = frac{partial z}{partial x} dx wedge dy$ （这与你提到的 $dydz = –z'(x)dxdy$ 吻合，因为 $dy wedge dz = dz wedge dy$）

所以，让我们用 $dy wedge dz = frac{partial z}{partial x} dx wedge dy$ 来解释：

1. 基本出发点: 我们有一个曲面 $z = f(x,y)$。
2. 两个微小面积元:
$dx wedge dy$: 这是在 $xy$ 平面上，由 $dx$ 和 $dy$ 定义的微小“矩形”区域（可以看作是参数空间的微小面积）。
$dy wedge dz$: 这是在 $yz$ 平面上的一个微小“矩形”区域。
3. 曲面的影响: 曲面 $z = f(x,y)$ 告诉我们，在曲面上，z 的变化与 $x$ 和 $y$ 的变化有关。具体来说，$dz = frac{partial z}{partial x} dx + frac{partial z}{partial y} dy$。
4. 计算 $dy wedge dz$: 我们将 $dz$ 的表达式代入 $dy wedge dz$ 中：
$dy wedge dz = dy wedge (frac{partial z}{partial x} dx + frac{partial z}{partial y} dy)$
5. 应用外积性质:
$dy wedge dx = dx wedge dy$
$dy wedge dy = 0$
所以，
$dy wedge dz = dy wedge (frac{partial z}{partial x} dx) + dy wedge (frac{partial z}{partial y} dy)$
$dy wedge dz = frac{partial z}{partial x} (dy wedge dx) + frac{partial z}{partial y} (dy wedge dy)$
$dy wedge dz = frac{partial z}{partial x} (dx wedge dy) + frac{partial z}{partial y} (0)$
$dy wedge dz = frac{partial z}{partial x} dx wedge dy$

这个结果说明了什么？
它说明了，曲面上的一个微小区域，如果我们在 $(x,y)$ 坐标下“看”，它的大小是 $dx wedge dy$；而如果我们忽略 $x$ 的变化，只考虑 $y$ 和 $z$ 的变化，那么这个区域在 $yz$ 平面上“投影”产生的面积，与 $dx wedge dy$ 之间，存在一个比例因子 $frac{partial z}{partial x}$。

这个因子 $frac{partial z}{partial x}$ 实际上是从 法向量 来的。法向量 $N$ 的方向决定了曲面在不同坐标平面上的“投影面积”。
法向量 $N = (frac{partial z}{partial x}, frac{partial z}{partial y}, 1)$ （未归一化）。
$|N| = sqrt{1 + (frac{partial z}{partial x})^2 + (frac{partial z}{partial y})^2}$

面积元 $dS$ 在 $xy$ 平面上的投影是 $dS_{xy} = |N cdot mathbf{k}| dx dy = |1| dx dy = dx dy$。
面积元 $dS$ 在 $yz$ 平面上的投影是 $dS_{yz} = |N cdot mathbf{i}| dy dz = |frac{partial z}{partial x}| dy dz$。
面积元 $dS$ 在 $zx$ 平面上的投影是 $dS_{zx} = |N cdot mathbf{j}| dz dx = |frac{partial z}{partial y}| dz dx$。

这里的 $dydz$ 应该理解为 $dS_{yz}$ 的“符号部分”，即 $(N cdot mathbf{i}) dy dz$ 的形式。
$N cdot mathbf{i} = frac{partial z}{partial x}$。
所以，曲面上的面积元，当用 $dy$ 和 $dz$ 来表示时，它的“符号面积”是 $(frac{partial z}{partial x}) dy dz$。

对比 $dx wedge dy$ 和 $dy wedge dz$：
$dx wedge dy$ 是在 $xy$ 平面上的单位面积元。
$dy wedge dz$ 是在 $yz$ 平面上的单位面积元。

关系的本质是：曲面将 $xy$ 平面上的一个面积元映射到三维空间，然后这个三维的面积元，在 $yz$ 平面上的“投影”或“表示”与 $dx wedge dy$ 之间有关联。

第二部分：dxdy = rdrdθ

这个式子是在 极坐标系 下讨论 二维平面 上的面积元。

1. 笛卡尔坐标系: 在笛卡尔坐标系下，面积元是 $dA = dx dy$。它代表了由 $dx$ 和 $dy$ 定义的一个无穷小矩形。

2. 极坐标系: 在极坐标系下，我们用 极径 $r$ 和 极角 $ heta$ 来描述一个点。
$r$: 从原点到点的距离。
$ heta$: 距离原点连线与正 x 轴的夹角。

3. 坐标变换: 笛卡尔坐标 $(x, y)$ 与极坐标 $(r, heta)$ 之间的关系是：
$x = r cos heta$
$y = r sin heta$

4. 外积的计算: 我们想计算新的坐标系下的面积元 $dr wedge d heta$ 不是 我们要计算的。我们要计算的是，当笛卡尔坐标 $(x,y)$ 发生 $dx, dy$ 的变化时，在极坐标 $(r, heta)$ 下，对应的变化是 $dr, d heta$。我们想知道 $dx dy$ 和 $dr d heta$ 之间的关系。

我们需要计算 $dx wedge dy$ 用 $r, heta, dr, d heta$ 来表示。

首先，计算 $dx$ 和 $dy$ 关于 $r$ 和 $ heta$ 的微分：
$dx = frac{partial x}{partial r} dr + frac{partial x}{partial heta} d heta$
$dy = frac{partial y}{partial r} dr + frac{partial y}{partial heta} d heta$

计算偏导数：
$frac{partial x}{partial r} = cos heta$
$frac{partial x}{partial heta} = r sin heta$
$frac{partial y}{partial r} = sin heta$
$frac{partial y}{partial heta} = r cos heta$

代入：
$dx = (cos heta) dr + (r sin heta) d heta$
$dy = (sin heta) dr + (r cos heta) d heta$

5. 计算 $dx wedge dy$: 现在我们计算外积 $dx wedge dy$：
$dx wedge dy = [(cos heta) dr + (r sin heta) d heta] wedge [(sin heta) dr + (r cos heta) d heta]$

展开这个外积，利用外积的分配律和反对称性（$A wedge B = B wedge A$, $A wedge A = 0$）：
$dx wedge dy = (cos heta) dr wedge (sin heta) dr quad$ （第一项与第一项）
$+ (cos heta) dr wedge (r cos heta) d heta quad$ （第一项与第二项）
$+ (r sin heta) d heta wedge (sin heta) dr quad$ （第二项与第一项）
$+ (r sin heta) d heta wedge (r cos heta) d heta quad$ （第二项与第二项）

化简：
第一项：$(cos heta)(sin heta) (dr wedge dr) = (cos heta)(sin heta) cdot 0 = 0$
第二项：$(cos heta)(r cos heta) (dr wedge d heta) = r cos^2 heta (dr wedge d heta)$
第三项：$(r sin heta)(sin heta) (d heta wedge dr) = r sin^2 heta (dr wedge d heta) = r sin^2 heta (dr wedge d heta)$
第四项：$(r sin heta)(r cos heta) (d heta wedge d heta) = r^2 sin heta cos heta cdot 0 = 0$

将化简后的项加起来：
$dx wedge dy = 0 + r cos^2 heta (dr wedge d heta) + r sin^2 heta (dr wedge d heta) + 0$
$dx wedge dy = r (cos^2 heta + sin^2 heta) (dr wedge d heta)$
$dx wedge dy = r cdot 1 cdot (dr wedge d heta)$
$dx wedge dy = r (dr wedge d heta)$

6. 结论:
$dx wedge dy = r dr wedge d heta$

这个结果表明，在极坐标系下，一个微小的“面积元”不再是简单的 $dr d heta$。而是 $r dr d heta$。
这里的 $r$ 是一个 尺度因子。它说明了随着离原点越远（$r$ 越大），即使 $dr$ 和 $d heta$ 的变化量相同，所覆盖的实际面积也越大。

想象一下，当你画一个从 $ heta$ 到 $ heta+d heta$ 的扇形时，它半径是 $r$。那么扇形所覆盖的“角度宽度”是 $d heta$。扇形的“径向长度”是 $dr$。
这个微小的扇形区域的面积，近似于一个“扇形片”，它的弧长是 $r d heta$，它的径向厚度是 $dr$。所以它的面积是 $dr imes (r d heta) = r dr d heta$。
而 $dr wedge d heta$ 在这里代表了“面积的符号部分”。

总而言之：

$dy wedge dz = frac{partial z}{partial x} dx wedge dy$： 这个式子是利用外积的反对称性和链式法则，来描述 曲面在不同坐标平面上的面积投影之间的关系。它揭示了曲面局部几何性质（由偏导数 $frac{partial z}{partial x}$ 描述）如何影响面积的“定向测量”。
$dx dy = r dr d heta$： 这个式子是利用外积的计算，通过坐标变换，来表达 笛卡尔坐标系下的面积元如何用极坐标系下的微分元素表示。它揭示了在极坐标系下，面积随径向距离 $r$ 的变化而放大。

这两个式子都展示了微分形式（如 $dx wedge dy$）在描述几何量（如面积）时，如何通过外积运算，在不同坐标系或不同几何嵌入中传递信息。理解它们，有助于我们更深入地认识微积分、微分几何以及它们在物理学中的应用。

因为第二型面积分需要考虑定向的问题。

在一个二维曲面局部上转圈，你可以顺时针转，也可以逆时针转，这决定了两种定向。用物理中角速度公式表示：

这个时候角速度 取决于线速度 的方向，尤其对于可定向闭曲面而言（例如球面）， 有可能指向内，也可能指向外，这是有本质区别的。电磁场是往里走，还是往外走，这个不能混为一谈。

在计算的时候，我们可能需要换元积分，这相当于从一个坐标系换到另一个坐标系，你就一定能保证这个变换不会从左手系换到右手系吗？不能，所以对于非保定向的变换，就需要加一个负号来校正回到原来的定向，而对于保定向的变换，就不用加负号。

在实际的计算中，我们也不用刻意去关注符号变化，你只要严格按照外代数法则去计算，就不会搞错。