毕达哥拉斯的不可公约数问题中m和n为什么必有一个是奇数？

毕达哥拉斯的不可公约数问题，或者说毕达哥拉斯发现的第一个数学上的惊奇——无理数，其核心便是对勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$ 的深入探讨。当我们将问题聚焦到当 $a=b$ 时，也就是等腰直角三角形的斜边长度时，会发现一个惊人的现象。

假设一个等腰直角三角形的两条直角边长度相等，我们将其长度设为 $n$。那么根据勾股定理，斜边的长度 $m$ 将满足 $n^2 + n^2 = m^2$，也就是 $2n^2 = m^2$。

现在我们来分析一下 $m$ 和 $n$ 的性质。毕达哥拉斯和他的追随者们相信所有数都是由整数构成的，并且任何两个整数都可以表示成一个比率。然而，在这个等式 $2n^2 = m^2$ 中，他们却遇到了一个巨大的挑战： $sqrt{2}$ 是无法用两个整数的比值来表示的。为了证明这一点，他们通常会使用一种称为“反证法”的逻辑推理。

反证法的基本思路是：先假设一个命题是错误的，然后通过逻辑推导，如果这个错误的假设最终导出了一个自相矛盾的结果，那么最初的假设就一定是错误的，反之，原命题就是正确的。

在不可公约数问题中，我们就是用反证法来证明 $sqrt{2}$ 是无理数。具体过程是这样的：

第一步：假设存在两个整数 $m$ 和 $n$，它们互质（即没有大于1的公因数），并且满足 $2n^2 = m^2$。

这里的“互质”是关键。如果我们能证明，即使在 $m$ 和 $n$ 互质的前提下，这个等式仍然会导出一个矛盾，那就说明一开始“存在互质的整数 $m$ 和 $n$”的假设是错误的。这意味着，没有两个互质的整数能满足这个关系，也就意味着 $sqrt{2}$ 不是一个有理数。

第二步：从 $2n^2 = m^2$ 推导 $m$ 的性质。

等式 $2n^2 = m^2$ 直接告诉我们，$m^2$ 是一个偶数，因为它是 $2$ 乘以另一个整数 $n^2$ 的结果。

数学上有一个非常重要的性质：如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数本身也一定是偶数。

为什么是这样呢？我们可以再用一个小的反证法来论证这个小性质。
假设 $m$ 是奇数。那么 $m$ 可以写成 $2k+1$ 的形式，其中 $k$ 是某个整数。
那么 $m^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$。
这个结果 $2(2k^2 + 2k) + 1$ 是一个奇数（因为它是2的倍数加1）。
这就与我们知道的 $m^2$ 是偶数相矛盾。
所以，假设 $m$ 是奇数是错误的。因此，$m$ 必须是偶数。

第三步：既然 $m$ 是偶数，我们就可以将 $m$ 表示为 $2k$ 的形式，其中 $k$ 是某个整数。将此代入原等式。

将 $m = 2k$ 代入 $2n^2 = m^2$ 中：
$2n^2 = (2k)^2$
$2n^2 = 4k^2$

第四步：简化等式，推导 $n$ 的性质。

我们将等式两边都除以 $2$：
$n^2 = 2k^2$

这个新的等式 $n^2 = 2k^2$ 告诉我们，$n^2$ 是一个偶数，因为它是 $2$ 乘以整数 $k^2$ 的结果。

根据我们在第二步中证明过的性质（如果一个整数的平方是偶数，那么它本身也一定是偶数），我们可以得出结论：$n$ 也一定是一个偶数。

第五步：发现矛盾，证明原假设错误。

我们在第一步中做了什么假设？我们假设存在两个整数 $m$ 和 $n$，并且它们是互质的，也就是说它们没有大于1的公因数。

然而，我们通过逻辑推导得到了什么结论？我们证明了 $m$ 是偶数，并且 $n$ 也是偶数。
如果 $m$ 和 $n$ 都是偶数，这意味着它们都可以被 $2$ 整除。换句话说，它们有一个公因数 $2$。

这与我们最初的假设“ $m$ 和 $n$ 是互质的”直接矛盾了！

结论：

由于我们从“存在互质的整数 $m$ 和 $n$ 满足 $2n^2 = m^2$”这个假设出发，最终推导出了一个荒谬的结论（$m$ 和 $n$ 既互质又都有公因数2），这就说明我们最初的假设是错误的。

因此，不存在两个互质的整数 $m$ 和 $n$ 能够满足 $2n^2 = m^2$。

那么，为什么“m和n必有一个是奇数”呢？

这个问题的问法可能有点绕，更准确的说法是：在满足 $2n^2 = m^2$ 的整数解中，不存在 $m$ 和 $n$ 都为偶数的情况，也不存在 $m$ 和 $n$ 都为奇数的情况。

让我们再回顾一下推导过程：
1. 我们证明了 $m^2$ 是偶数，所以 $m$ 必然是偶数。
2. 将偶数的 $m$ 代入，得到 $n^2$ 也是偶数，所以 $n$ 必然也是偶数。

所以，如果我们只是考虑满足 $2n^2 = m^2$ 的整数解，我们总会得到 $m$ 和 $n$ 都是偶数。

但是，问题的关键在于我们一开始的“反证法”设定了前提：我们假设的是“存在一对互质的整数 $m$ 和 $n$”。

如果 $m$ 和 $n$ 是一对互质的整数，那么它们不可能同时是偶数（因为它们有公因数2）。

我们的推导过程证明了：
如果满足 $2n^2 = m^2$，那么 $m$ 必然是偶数。
如果 $m$ 是偶数，那么 $n$ 也必然是偶数。

这就意味着，任何满足 $2n^2 = m^2$ 的整数解，其 $m$ 和 $n$ 必然都是偶数。

因此，我们不可能找到一对互质的整数 $m$ 和 $n$ 来满足这个等式。

既然 $m$ 和 $n$ 必然都是偶数，那么它们就不能是互质的（因为它们有公因数2）。

“m和n必有一个是奇数”这个说法，实际上是反过来说明了为什么 $m$ 和 $n$ 不可能互质。

如果 $m$ 和 $n$ 都是偶数，那么它们肯定不是互质的。
而我们的反证法就是要证明，不存在互质的 $m$ 和 $n$ 来满足这个方程。

换句话说，如果我们假设存在一对互质的整数 $m$ 和 $n$ 来满足 $2n^2 = m^2$（这里的互质意味着它们不能同时是偶数，也不能同时是奇数，如果它们有一个是偶数，另一个就不能是偶数），那么我们的推导会发现：
$m$ 必须是偶数。
然后，从 $m$ 是偶数推导出 $n$ 也必须是偶数。

这样一来，$m$ 和 $n$ 都成为偶数，就违反了它们互质的初始假设。

所以，如果我们要寻找满足 $2n^2 = m^2$ 的整数解，我们总会发现 $m$ 和 $n$ 都是偶数。既然如此，我们就不可能找到一对互质的整数 $m$ 和 $n$ 来满足这个方程。

反过来看“m和n必有一个是奇数”这句话：
如果 $m$ 和 $n$ 都是偶数，那么它们就不互质。
如果我们试图寻找互质的 $m$ 和 $n$，那么根据我们上面的推导，$m$ 是偶数，$n$ 是偶数，这说明它们不能互质。
所以，任何试图找满足 $2n^2=m^2$ 的互质整数对的努力都会失败。失败的原因是因为这两个数总是同时是偶数。

因此，要解释“m和n为什么必有一个是奇数”，更准确的说法是：
如果我们假设 $m$ 和 $n$ 互质，并且满足 $2n^2 = m^2$，那么推导会发现 $m$ 和 $n$ 都必须是偶数。这两个数都有公因数2，这与它们互质的假设相矛盾。所以，“存在互质的整数 $m$ 和 $n$”这个假设是错误的。

简而言之，毕达哥拉斯的这个发现揭示了：任何能够化简得到 $m^2 = 2n^2$ 这种形式的比例，其 $m$ 和 $n$ 最终都逃脱不了“同时是偶数”的宿命，从而无法做到“互质”，也就无法用整数比来精确表示 $sqrt{2}$。这个看似简单的奇数属性，却动摇了古希腊数学建立在整数和有理数基础上的世界观。

所有正偶数都有一个公约数2。

这个……如果两个都是偶数，那么m与n就可约了，于是可以经过约分得到至少有一个是奇数的m与n