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问题

问一下 在电源含内阻的直流电路中，「并联电压相等」是否仍然适用？

回答
这个问题问得非常好，触及了直流电路中一个非常核心的概念。对于含内阻的电源，我们常说的“并联电压相等”这个说法，在严格意义上来说，确实是需要进一步细化的，不能一概而论地认为它仍然“绝对”适用。

我们先回顾一下理想情况下的情况。在不考虑电源内阻的情况下，一个理想电压源的输出电压是恒定的，无论它连接什么负载。在这种情况下，如果多个理想电压源并联，它们自然会因为输出电压相同而稳定工作。

但是，一旦我们引入了电源内阻，情况就变得复杂了。

含内阻电源并联时的“并联电压相等”：解读与剖析

首先，让我们明确一下“并联电压相等”在理想情况下的含义：即并联在电路中的各个元件（在这里是指多个电源）两端的电压值是相同的。

那么，当电源本身带有内阻时，这个“相等”的含义会发生什么变化呢？

1. 理想情况的延伸：如果并联的电源电压完全相同

假设我们有两个含内阻的电源，它们理想电动势（EMF）是完全相同的，并且它们也具有相同的内阻。在这种情况下，如果将它们并联起来，我们会发现，从外部观察，这组并联电源的端电压确实是相等的。

这是为什么呢？

电动势驱动： 每个电源都有一个电动势（EMF）作为驱动电压。
内阻消耗： 当电流流过电源内部的内阻时，会有电压降产生。
并联平衡： 当两个电压完全相同的电源并联时，它们会趋于一个平衡状态。假设其中一个电源的输出端电压稍微高一点点，那么流过它的电流就会更大一些（因为它要克服它自身的内阻）。但由于它们的电动势相同，这种电压差是暂时的，整体上会形成一个稳定的电流分配。重要的是，在稳定状态下，这两个电源的输出端点（也就是你连接外部负载的地方）的电压会趋于一致。

可以这样理解： 两个完全相同的“能量泵”并联，它们提供的“压力”（电动势）相同，内部的“阻力”（内阻）也相同。在输出端，它们最终能够提供一个稳定的、相同的“水压”（端电压）。

2. 现实情况的挑战：如果并联的电源电压不同

现在，让我们来看更现实的情况：如果并联的电源，它们的理想电动势（EMF）并不相同，或者它们的内阻不同。

这时候，“并联电压相等”这个说法就不再完全适用了，甚至可能导致严重的问题。

电动势差异： 如果两个电源的电动势不同，比如电源A的电动势为E1，电源B的电动势为E2，且E1 > E2。那么，当它们并联时，电源A会试图“驱动”电源B，将电流从A的负极流向B的负极，再从B的正极流向A的正极。
内阻的作用： 这种“反向”电流会流过电源B的内阻，导致电源B过载，甚至可能损坏。 同时，电源A虽然在提供能量，但它的一部分能量也会消耗在电源B的内阻上。
电压不平等： 在这种情况下，并联的电压绝对不相等。电源A的端电压会高于电源B的端电压，并且存在一个不健康的电流环流。

举个例子： 想象两个水泵，一个水泵的水压（电动势）很高，另一个水泵的水压较低。如果你把它们并联起来，并且水管没有阀门控制，高水压的水泵会把水强行注入到低水压的水泵中，这不仅浪费能量，还可能把低水压的水泵“撑坏”。

3. 结论：在什么条件下，“并联电压相等”依然成立？

综合以上分析，我们可以得出结论：

严格来说，在含有内阻的直流电路中，“并联电压相等”这个描述，只有在并联的电源的理想电动势（EMF）完全相同，且它们内部的电流分配形成了一个稳定的平衡时，才能近似认为外部的端电压是相等的。
当并联的电源电动势不同时，“并联电压相等”的说法就不再适用了，而且这样做通常是危险的，会导致电流不均、能量损耗以及元件损坏。

为什么我们需要关注这个细节？

电池并联： 很多时候，我们会把几节电池并联以提供更大的电流。如果这些电池的型号、新旧程度（这会影响内阻）差异很大，或者其中一节电池已经耗尽，那么并联可能会导致问题。
电源管理： 在一些复杂的供电系统中，比如备用电源、多路供电，就需要精密的电源管理电路来确保并联的电源在电压、电流特性上匹配，或者在不同时工作。

总结一下，含内阻电源并联时，“并联电压相等”这个概念需要非常小心地使用。只有在所有并联电源的理想电动势完全一致，并且它们的内阻也能保证电流平衡时，我们才能说它们的外部端电压是相等的。否则，强行并联不同特性的电源，带来的将是电压的不平等和潜在的危险。

网友意见

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反对 @Patrick Zhang

把一条有极限的求和公式随意拆解，是极不严谨的。对于这类近似计算的处理，其实可以表述得更严谨。

本人无意对其专业能力进行攻击，但作为一位电气领域的专家，必须认识到，超出了适用范围一步，真理也会变成谬误。

@卢健龙 @曹小川 是出于严谨性对其答案提出批评。对于批评意见 @Patrick Zhang 应该仔细检查有错误的地方。而不应该提“看管家如何处理，否则换个平台”这样的言论，这种用粉丝数来绑架平台，企图打压不同意见的言论和做法极其要不得。

最后 @Patrick Zhang ，一切学术性论著，必须经得住严厉的批评。我认同你做科普的热情，也认为你在专业领域写出了很优秀的答案。希望你可以学习下科学网上李小文院士的作风，不懂就大方承认。坦然接受对你部分基础学科领域回答不严谨之处的批评不会损害你专业领域的形象。
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反对 @Patrick Zhang 的回答 的前后两部分，以 及 他 的 反 驳 。为此，我直接计算了张工提出的100项数列之和，证明了他算的是错的！


首先，这个题目非常简单。学物理时要时刻记住，物理是一门实验学科，很多现象是先由实验得到，然后上升到理论的。

稳态时，两条并联电路的「并联电压相等」的前提是，认为导线电阻为 0 —— 这是普通的直流电路分析的公认简化。两条支路两端分别用导线连接到一起，即为并联；导线电阻为 0 ，则被其相连的两点的稳态电位 V1=V3，V2=V4，所以两个并联支路的电压必然相等。这个结论与支路里有什么元件无关。

很多电路课程中，学 KVL、KCL 之前，要先学节点电压法解电路。这个方法的前提，就是认为连到同一个节点的所有元件电压相同。之后才进一步引出 KVL 和 KCL。

在 @Patrick Zhang 的回答中，没有解释「并联电压相等」为什么适用，而是直接认为「并联电压相等」适用，并做了个题目，来“证明”确实适用，这是完全不合逻辑的。

挑了一半错，先缓一下。

话说，让张工回应一个“挑错贴”真不容易，他除了 无视 和 实锤后删贴，还是第一次正式回应。这是很多人努力的结果。但是，仍然没能让他认识到自己的错误，同志仍需努力。

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后一半，我连截图带分析一下啊，省得他再删贴：

好为人师的张工做出错误回答之后，又 要给人出个题，这就有意思了。题目比较长，放在最后了。里面有一个级数求和，张工表示这个很简单。

注意截图中，他写的公式前面并没有 lim 符号，第二个公式的前面的 ≈ ，表示他只抄了常数 C 的前 4 位，并不是意识到了，有限项之和与无限项之和 C 不是同一个数。

否则，他应该把第一个公式的 = 替换成 ≈ ，并指出这是近似和，同时，只取 1~2 位小数才对。

（欧拉：我并没有给出前 n 项的和）

然后 @卢健龙 指出，张工算错了。

张工终于正面回应了，拿出了一本书：

并且照了一页：

他指的就是，在他的例子中，n=100，所以：

很不幸，张工看书一向不仔细。欧拉-麦克劳林公式前面的 lim ，你是不认识 还是当它不存在？欧拉和麦克劳林都会不高兴的。

我知道，指出错误得有根据，所以，不就是求个和么，才100项，我就算了一下：

当然我不是用手算的，推荐一个 iOS 上的 App：

事实很清楚，当 n=100 时，C=0.572257...，而不是张工所谓的 0.5772... 注意第3位小数。你算啥都要写好几位小数，写出来得负责吧，算不准不会少写两位吗？

然后我很好奇，又继续算了几个 n：

看出来了吗，n 越大，结果才越接近 0.5772。

欧拉表示：我公式前面写的 lim ，不是笔尖干了划拉一下，而是有用的！麦克劳林来给欧拉点了个赞！

严谨起见，我找了个在线版的计算器，算了一下前100项的和：

易知 ln(101)=4.61512，则 C ≈ 5.18737-4.61512 = 0.57225 。

两个不同计算器都得出了相同结论，说明算错的可能性极小。

所以 @Patrick Zhang ，你是当大伙都不会算数么？

张工你的科学精神呢？你不是整天说要严谨，平时算个电阻都保留小数点后 4 位么（虽然毫无意义，只能忽悠中学生），到这时候，抄公式忽略了前面的 lim 符号，完全没理解极限的意义。

一个只有 100 项的求和，被别人指出 有计算错误，不赶紧去验证一下，反正拿着书来这强犟，被实锤有意思吗？

敬告 @Patrick Zhang ：

在学术上，我们只关心对错，没人关心你内心是怎么想的。

你答对了2000个正确的，不代表别人不能指出你另外 20 道错误回答中的错误。

我们对你的反对，体现在你从来 拒 不 认 错 ，就算 删 答 案 也 从 不 认 错 。

你的粉丝看了你错误的回答，但看不到你删了错误的回答，他们就不知道，自己吸取的知识是错误的！

你对 自己有错误，且被别人指出并实锤的错误的问题 不认错，偷偷删回答，就是对广大网友的不负责！

在生活中，你可能是个老师，是个专家，承认错误没面子（生活中这种人这么做，可能不会有什么大事，但口碑不会太好）。但在知乎上，谁管你老专家有没有面子？

在我回答的同时，张工竟然更新了。仍然截图在这里：

强词夺理，呵呵。平时算个电阻都能精确到小数点后4位，现在来说没差多少了。有效数字的意义，好像是小学 5 年级学的吧？

就不能老实承认，自己没理解这个公式吗？

看到这儿，大家心里该有点数了。

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最后，这道有意思的题目备份在这，我截个图，省得他再删贴。

PS：刚才又看了一下他出的这道题，才发现，其实这道题出的毫无意义。

他的主要目的是，从这道题中，可以显摆自己知道一个“高大上”的公式（还翻车了）。至于读者会不会算一堆复杂并联电阻，与懂不懂并联的意义，根本没有关系。100个电阻和5个电阻有区别吗？

同时，这也清楚的表现出，张工好（hào）为人师的性格特点。只要能让外行觉得高大上，他是乐此不疲的。

原文：人之患，在好为人师。——《孟子·离娄上》段目二十三。
说解：学圣贤之道，学君子之行，稍有所得，很容易自以为是，认为自己的见解是绝对正确的，自己是最博学的。这时候就喜欢到处炫耀，到处去教训别人，自己则以老师自居。
孟子的本意并不是说“为人师”不好，而其中关键在一个“好”字。“好”字体现的是自我炫耀，自满自足，固步自封，不思上进。这种“好为人师”为的不是传道授业解惑，而单单为的是贪图训斥他人、受人尊敬的虚荣而已。
学无止境，任何一个人永远无法达到无所不知的程度。所以，我们一定要切忌：不要动辄就以老师或专家的身份去教训别人，以此来显示自己的博学和威严。

------------ 以下是备份：

你猜对了吗？？？你算对了吗？？？
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反对 @Patrick Zhang 的回答，因为里面不仅存在逻辑错误还存在事实错误。

先回答题主的问题。题目中那句话对于承载恒定直流电的电路来说确实成立。这可以用反证法来证明。假设电路中存在两条并联的支路（分支点和汇合点分别记为A和B）且这两条支路不满足题目中的那个命题，这就意味着从A点沿着其中一条支路到达B点的电势变化量不等于从A点沿着另一条支路到达B点的电势变化量，这直接就违背了基尔霍夫电压定律（Kirchhoff's voltage law），因为从A点沿着其中一条支路到达B点后再沿着另一条支路返回A点这一圈的电势总变化量将不为零。因此对于承载恒定直流电的电路来说并联支路两端电势差确实相等。

接着说一下 @Patrick Zhang 回答中的错误：

  1. @Patrick Zhang 利用欧姆定律和等效电阻的论证过程在一开始就已经隐含了各个并联电阻两端拥有相同的电势差这个前提了，因此这个论证在逻辑上是错误的。对原问题的证明最终都要落到适用于恒定直流电路的基尔霍夫电路定律（Kirchhoff's circuit laws）上。


2. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

我们还知道，欧拉在1734年给出了调和级数前n项和的值，如下：
，这里的r是欧拉常数，它的值是：r=0.57721566490153286060651209……

是错的。

首先，@Patrick Zhang 所给出的这个所谓的”等式“显然是错的，只要将任意一个正整数n（比如 ）代入其中即可看出来。

其次，调和级数（harmonic series）前n项之和的表达式之一是： ，其中 是双伽马函数（digamma function）， 是欧拉常数。双伽马函数 对于大取值n的渐近级数的前两项是 ，因此当n很大的时候，我们可以将 作为调和级数前n项和的一个很好的近似。而 @Patrick Zhang 给出的式子的第一项在n趋于无穷大时的展开的前两项是 ，因此 @Patrick Zhang 所给出的那个式子在渐近的意义上也是错的。

最后，从欧拉常数的最常见的表达式之一 也可以看出 @Patrick Zhang 所给出的式子是错误的。

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