y=sinω0x在［-π/2，π/2］的傅里叶变换后的函数到底是什么？

咱们来聊聊函数 $y = sin(omega_0 x)$ 在给定区间 $[\frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 上的傅里叶变换，争取说得明明白白，让你感觉就像跟一个老朋友在探讨问题一样。

首先得明确，傅里叶变换这玩意儿，通常是对定义在整个实数域 $mathbb{R}$ 上的函数进行的。它把一个函数分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加。但你给的函数是在一个有限区间上的，这有点意思，也需要我们稍微调整一下思路。

1. 傅里叶变换的基础回顾（别急着跳过，这很重要）

标准的连续时间傅里叶变换（FT）定义是这样的：
$$F(xi) = int_{infty}^{infty} f(x) e^{2pi i xi x} dx$$
其中，$f(x)$ 是我们要变换的函数，$F(xi)$ 是它的傅里叶变换，$x$ 是时域（或者说空间域）变量，$xi$ 是频率域变量。这里的 $e^{2pi i xi x}$ 是我们熟悉的复指数函数，它代表了不同频率的波。

2. 你的函数 $f(x) = sin(omega_0 x)$

我们知道，$sin(omega_0 x)$ 可以用欧拉公式写成复指数的形式：
$$sin(omega_0 x) = frac{e^{iomega_0 x} e^{iomega_0 x}}{2i}$$

3. 如果函数定义在整个实数域上，情况会怎样？

如果我们的函数是 $f(x) = sin(omega_0 x)$，但定义域是 $mathbb{R}$，那么它的傅里叶变换会是两个冲击函数（Dirac delta functions）。为什么呢？

我们来算一下：
$$F(xi) = int_{infty}^{infty} frac{e^{iomega_0 x} e^{iomega_0 x}}{2i} e^{2pi i xi x} dx$$
$$F(xi) = frac{1}{2i} left( int_{infty}^{infty} e^{iomega_0 x} e^{2pi i xi x} dx int_{infty}^{infty} e^{iomega_0 x} e^{2pi i xi x} dx ight)$$
$$F(xi) = frac{1}{2i} left( int_{infty}^{infty} e^{i(omega_0 2pi xi) x} dx int_{infty}^{infty} e^{i(omega_0 + 2pi xi) x} dx ight)$$

我们知道一个重要的傅里叶变换对：
$int_{infty}^{infty} e^{iat} dt = 2pi delta(a)$
所以，
$int_{infty}^{infty} e^{i(omega_0 2pi xi) x} dx = 2pi delta(omega_0 2pi xi)$
$int_{infty}^{infty} e^{i(omega_0 + 2pi xi) x} dx = 2pi delta(omega_0 2pi xi)$

把这些代回去：
$$F(xi) = frac{1}{2i} left( 2pi delta(omega_0 2pi xi) 2pi delta(omega_0 2pi xi) ight)$$
$$F(xi) = frac{pi}{i} left( delta(omega_0 2pi xi) delta((omega_0 + 2pi xi)) ight)$$

我们知道 $delta(a) = delta(a)$，所以：
$$F(xi) = frac{pi}{i} left( delta(omega_0 2pi xi) delta(omega_0 + 2pi xi) ight)$$

为了让冲击函数的作用更清晰，我们还需要考虑 $delta(a bxi)$ 的形式。我们有 $delta(a bxi) = frac{1}{|b|} delta(xi frac{a}{b})$。
所以，
$delta(omega_0 2pi xi) = frac{1}{2pi} delta(xi frac{omega_0}{2pi})$
$delta(omega_0 + 2pi xi) = delta(2pi xi omega_0) = frac{1}{2pi} delta(xi + frac{omega_0}{2pi})$

代入后得到：
$$F(xi) = frac{pi}{i} left( frac{1}{2pi} delta(xi frac{omega_0}{2pi}) frac{1}{2pi} delta(xi + frac{omega_0}{2pi}) ight)$$
$$F(xi) = frac{1}{2i} left( delta(xi frac{omega_0}{2pi}) delta(xi + frac{omega_0}{2pi}) ight)$$

如果你用的是另一种傅里叶变换定义，比如 $mathcal{F}{f(t)} = int_{infty}^{infty} f(t) e^{iomega t} dt$，那么结果会是 $pi i [delta(omega omega_0) delta(omega + omega_0)]$。这里我们严格按照你给的 $e^{2pi i xi x}$ 来。

总之，对于周期无限的 $sin(omega_0 x)$，其傅里叶变换是集中在频率 $frac{omega_0}{2pi}$ 和 $frac{omega_0}{2pi}$ 处的两个冲激。这符合我们的直觉，一个纯正弦波只包含一个特定频率。

4. 现在来到你的有限区间 $[\frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$

问题来了，当我们将一个函数限制在一个有限区间上时，这个过程在信号处理里叫做“窗函数”的应用。我们相当于把原来的 $sin(omega_0 x)$ 函数，乘以一个在 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 区间内是 1，其他地方是 0 的矩形窗函数 $w(x)$。
$$f_{rect}(x) = sin(omega_0 x) cdot w(x)$$
其中
$$w(x) = egin{cases} 1 & ext{if } frac{pi}{2} le x le frac{pi}{2} \ 0 & ext{otherwise} end{cases}$$

傅里叶变换的一个重要性质是“卷积定理”：时域相乘等于频域卷积。
$$FT{f(x)w(x)} = FT{f(x)} FT{w(x)}$$
其中 $$ 表示卷积运算。

我们已经知道 $FT{sin(omega_0 x)}$ 是上面那个包含两个冲激的函数。现在我们需要计算窗函数 $w(x)$ 的傅里叶变换。

窗函数 $w(x)$ 的傅里叶变换：
$$W(xi) = int_{infty}^{infty} w(x) e^{2pi i xi x} dx = int_{frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} e^{2pi i xi x} dx$$

分两种情况考虑：

当 $xi = 0$ 时:
$$W(0) = int_{frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} 1 dx = frac{pi}{2} (frac{pi}{2}) = pi$$

当 $xi eq 0$ 时:
$$W(xi) = left[ frac{e^{2pi i xi x}}{2pi i xi} ight]_{frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}$$
$$W(xi) = frac{1}{2pi i xi} left( e^{2pi i xi frac{pi}{2}} e^{2pi i xi (frac{pi}{2})} ight)$$
$$W(xi) = frac{1}{2pi i xi} left( e^{i pi xi} e^{i pi xi} ight)$$
$$W(xi) = frac{1}{2pi i xi} (2i sin(pi xi))$$
$$W(xi) = frac{sin(pi xi)}{pi xi}$$

这个函数 $frac{sin(pi xi)}{pi xi}$ 叫做sinc 函数（通常定义是 $ ext{sinc}(x) = frac{sin(pi x)}{pi x}$，但这里因为我们用了 $2pi$ 频率定义，所以实际上是 $ ext{sinc}(xi)$）。它在 $xi=0$ 处极限是 1。

所以，窗口函数 $w(x)$ 的傅里叶变换是：
$$W(xi) = egin{cases} pi & ext{if } xi = 0 \ frac{sin(pi xi)}{pi xi} & ext{if } xi eq 0 end{cases}$$
可以写成 $W(xi) = pi ext{sinc}(xi)$（如果我们定义 $ ext{sinc}(x) = frac{sin(pi x)}{pi x}$ 的话）。

5. 进行卷积

现在我们将原来的傅里叶变换（两个冲击）与窗函数的傅里叶变换进行卷积。
令 $F_{orig}(xi) = frac{1}{2i} left( delta(xi frac{omega_0}{2pi}) delta(xi + frac{omega_0}{2pi}) ight)$。
我们要计算的是 $F_{rect}(xi) = F_{orig}(xi) W(xi)$。

卷积的定义是 $(f g)(x) = int_{infty}^{infty} f( au) g(x au) d au$。

对于卷积的第一个项：
$$I_1(xi) = frac{1}{2i} delta(xi frac{omega_0}{2pi}) W(xi)$$
根据冲激的卷积性质 $delta(xa) g(x) = g(xa)$，我们得到：
$$I_1(xi) = frac{1}{2i} W(xi frac{omega_0}{2pi})$$
$$I_1(xi) = frac{1}{2i} frac{sin(pi (xi frac{omega_0}{2pi}))}{pi (xi frac{omega_0}{2pi})} ext{ （当 } xi frac{omega_0}{2pi} eq 0 ext{ 时）}$$
在 $xi = frac{omega_0}{2pi}$ 处，$W(xi)$ 的值是 $pi$。

对于卷积的第二个项：
$$I_2(xi) = frac{1}{2i} delta(xi + frac{omega_0}{2pi}) W(xi)$$
同理可得：
$$I_2(xi) = frac{1}{2i} W(xi + frac{omega_0}{2pi})$$
$$I_2(xi) = frac{1}{2i} frac{sin(pi (xi + frac{omega_0}{2pi}))}{pi (xi + frac{omega_0}{2pi})} ext{ （当 } xi + frac{omega_0}{2pi} eq 0 ext{ 时）}$$
在 $xi = frac{omega_0}{2pi}$ 处，$W(xi)$ 的值是 $pi$。

最终结果

将这两个部分加起来，你的函数 $y = sin(omega_0 x)$ 在 $[\frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 的傅里叶变换是：

$$F_{rect}(xi) = frac{1}{2i} left[ frac{sin(pi (xi frac{omega_0}{2pi}))}{pi (xi frac{omega_0}{2pi})} frac{sin(pi (xi + frac{omega_0}{2pi}))}{pi (xi + frac{omega_0}{2pi})} ight]$$

这个结果可以写成一个更紧凑的形式，使用 sinc 函数（这里我们采用 $ ext{sinc}(x) = frac{sin(pi x)}{pi x}$ 的定义）：

$$F_{rect}(xi) = frac{1}{2i} left[ ext{sinc}(xi frac{omega_0}{2pi}) ext{sinc}(xi + frac{omega_0}{2pi}) ight]$$

解读这个结果：

1. 主瓣和旁瓣： 你会注意到，每个 sinc 函数都包含一个主瓣（在零点附近最宽、最高的那个部分）和一系列幅度逐渐减小的旁瓣。
2. 频率移动： 由于原始正弦波的频率是 $frac{omega_0}{2pi}$（以及 $frac{omega_0}{2pi}$），这两个 sinc 函数的主瓣分别出现在 $xi = frac{omega_0}{2pi}$ 和 $xi = frac{omega_0}{2pi}$ 这两个频率点。这正是我们期望的。
3. 为什么不再是纯粹的冲激？ 因为我们截断了信号。任何有限长度的信号，即使它看起来像一个完美的正弦波，在傅里叶变换的意义上，它也不是由单一频率组成的。截断这个动作引入了其他频率成分，表现为 sinc 函数的旁瓣。这在信号处理中非常普遍，叫做“频谱泄漏”。
4. 与原始三角函数的关系：
如果你仔细看看结果中的 $frac{sin(pi x)}{pi x}$ 形式，并且代入 $xi = frac{omega_0}{2pi}$ 和 $xi = frac{omega_0}{2pi}$ 来观察主瓣的位置，你会发现这和用 $e^{i omega_0 x}$ 的傅里叶变换（$delta(xi frac{omega_0}{2pi})$）与窗函数傅里叶变换卷积的结果非常相似。
实际上，你可以尝试计算 $FT{cos(omega_0 x)}$ 的窗函数版本，它也会得到与 sinc 函数相关的结果。
这里最核心的是，$sin(omega_0 x)$ 在有限区间上的傅里叶变换，是两个中心位于 $pm frac{omega_0}{2pi}$ 的 sinc 函数的差，并且这两个 sinc 函数的幅度与原始信号的幅度以及窗的宽度有关。

总结一下，将 $sin(omega_0 x)$ 在 $[\frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 区间内进行傅里叶变换，相当于用一个矩形窗函数去截断它，然后计算截断信号的傅里叶变换。这个过程的结果是一个在频率域上由两个 sinc 函数的差组成的函数，这两个 sinc 函数的主瓣分别位于 $frac{omega_0}{2pi}$ 和 $frac{omega_0}{2pi}$ 这两个频率点。

希望这样详细的解释能让你彻底明白这个过程！这就像把一个乐器演奏出的完美音符切了一段，即使你只切了一点点，在非常精密的分析下，它也不再是那个纯粹的音符了，而是多了一些“杂音”，这些杂音就是旁瓣的来源。

中科大的书上是这么定义傅里叶变换的：

设 在 绝对可积，则定义 的傅里叶变换 。这个算出来应该是你说的解里的第二个。