在一个空间无限大的系统中，所有分子无序运动，同一个物质分布状态会出现两次吗?
这个问题触及了物理学中最深邃也最令人着迷的领域之一，它关于概率、统计力学以及我们对宇宙的理解。在这样一个“空间无限大”且“分子无序运动”的系统中，同一个物质分布状态出现两次的可能性，答案是：几乎可以肯定会出现，而且并非不可能，但要准确描述“同一个”状态，以及“出现两次”这个概念，需要我们仔细辨析。
首先，让我们来解构一下问题的几个关键点：
1. 空间无限大（Infinitely Large System）： 这是最核心的设定。无限大意味着系统中包含无限多的粒子，或者说，我们可以任意扩展我们的观察范围，总能发现更多的粒子。
2. 所有分子无序运动（Random Motion of All Molecules）： 这暗示了系统处于一个热力学平衡或准平衡状态。分子的运动是随机的、遵循概率分布的，没有任何外部强制性的定向力。我们通常认为这是系统的默认状态，就像气体一样。
3. 同一个物质分布状态（The Same Distribution State of Matter）： 这是我们需要深入探讨的部分。这里的“分布状态”指的是系统中所有粒子的具体位置和动量（速度）的集合。例如，在一个容器里的气体，它的分布状态就是每个气体分子在特定时间点的位置和它的运动速度。
4. 会出现两次吗？（Will it Occur Twice?）： 这里的“两次”指的是在系统演化的过程中，我们能够观察到完全相同的粒子配置（位置和动量）两次。
为什么“几乎可以肯定会出现”？—— 统计力学的视角
在统计力学中，我们不直接描述每一个粒子的行为，而是研究大量粒子的集体行为。系统处于一个宏观状态（比如温度、压力、体积），而这个宏观状态对应着一个极其庞大的微观状态集合。
想象一下，我们有一个极其巨大的盒子，里面装满了气体分子。每个分子都有自己的位置和速度。要描述整个系统的“状态”，我们需要知道每一个分子的位置和速度。这构成了一个极其庞大的“相空间”。
假设我们的系统有 $N$ 个粒子。每个粒子在三维空间中的位置有 $3$ 个自由度，动量也有 $3$ 个自由度。所以，描述整个系统的一个完整状态，需要 $6N$ 个参数。
在“空间无限大”的设定下，我们可以认为 $N$ 是无限的。然而，物理学通常也处理有限的、可观察的系统。但即便我们考虑一个非常非常大的、但有限的系统（例如，宇宙的某个区域，或者一个包含天文数字粒子的容器），并且这个系统是封闭的，并且在经历一个足够长的时间。
核心在于“状态”的定义和“无限”的含义
1. “同一个状态”的精确度： 如果我们要求的是绝对精确的粒子位置和动量完全一致，那么理论上，这发生的概率是趋近于零的。这是因为粒子运动是连续的，位置和动量可以取无穷多个值。即使两次状态非常接近，只要有任何一个粒子的位置或动量有微小的差异，它们就被认为是不同的状态。
但是，我们通常观察和描述的是宏观的、平均的分布状态。例如，气体分子在某个区域内的密度，或者在某个速度范围内的分子数量。在宏观层面，系统会呈现出我们熟悉的性质，如温度、压力等。这些宏观状态是由无数种微观状态对应的。
2. “无限大”和“无限时间”的潜在含义：
庞加莱回归定理（Poincaré Recurrence Theorem）： 这个定理对于理解这个问题至关重要。它指出，在一个封闭的、守恒能量的动力学系统中，在足够长的时间之后，系统会回到其初始状态的任意小的邻域。如果我们将“状态”理解为微观状态，那么这个定理意味着，在无限长的时间里，系统会反复回到它曾经出现过的几乎所有可达状态。
“无限大”的无限可能： 在一个无限大的系统中，情况变得更微妙。我们不能简单地套用有限系统的庞加莱回归定理，因为“无限大”意味着系统可能没有一个明确的“封闭”和“能量守恒”的整体。
但是，我们可以这样思考：如果系统是“无限大”的，那么我们可以把它想象成是由无数个有限的、大小相同的“子系统”组成的。即使是无限大的系统，在一个有限的观察尺度下，我们观察到的也是一个极其庞大的有限部分。
一个关键的类比： 想象你有一个包含无限张纸的卷筒，上面随机地印着英文字母。你随机地撕下一张纸（代表一个有限的系统状态）。由于字母是有限的，而且你撕下的纸张是有限的，并且纸张的排列是随机的，那么理论上，你撕下的这两张纸（甚至很多张）完全相同（所有字母及其顺序都一样）的可能性，虽然极其微小，但随着你撕下的次数（时间）趋于无限，它是会发生的。
如果将“物质分布状态”理解为宏观的、可观察的性质：
如果我们指的是宏观的、可观察的分布状态（例如，在一个特定体积内，有多少百分比的物质，它们的平均速度是多少，密度分布是怎样的），那么答案几乎可以确定是“是，而且会多次出现”。
这是因为：
有限的宏观状态，无限多的微观状态： 即使是“相同的”宏观分布状态，背后对应着无数种不同的微观粒子排列和运动方式。
概率的必然性： 在一个无限大的、粒子随机运动的系统中，任何一个“可能”的宏观状态，只要不是极端到概率为零（例如，所有粒子都在同一时间出现在同一个点），它都会在某个时刻以极高的概率出现。由于系统是无限大的，这意味着所有可能的状态，都会在无数个不同的“地方”和“时间”反复出现。
“无限”的容纳能力： 想象一下，你有无限多的空间，并且在其中随机地放置物体。你想要找到两个完全相同的物体配置。由于你有无限多的空间去尝试，你总能找到至少两个地方，那里的物体摆放得一模一样。
更严谨的推论（以有限的观察区域为例）：
让我们稍微缩小一下问题的范围，假设我们关注的是一个非常大（接近无限大）但有限的区域，或者我们考虑的“状态”是关于这个区域内粒子的统计平均行为。
1. 离散的相空间（一种简化模型）： 即使粒子位置和动量是连续的，我们可以为了便于理解，设想它们的“状态”是可以离散化的。比如，我们可以将空间划分为非常小的网格，将动量也划分成有限的区间。这样，即使粒子数量庞大，描述整个系统的“状态”的数量也是一个极其庞大但有限的数字。
2. 随机过程的重复性： 在一个无限的、随机运动的系统中，每时每刻的粒子分布都是一个随机事件。如果我们能够观察足够长的时间，并且系统具有重复性（这是统计力学和热力学平衡的假设），那么任何一个可能的、概率非零的随机事件，都会在某个时刻发生。而且，由于是随机的，它发生的“可能性”是可以被重复的。
“无限”带来的独特视角：
在无限大的系统中，“同一状态出现两次”不再是一个关于“循环”的问题（如庞加莱回归定理在有限封闭系统中的应用），而更像是一个关于“复制”的问题。
想象你有一个无限长的写满随机字母的纸带。你从中截取任意一段固定长度的字符串。由于纸带是无限长的，并且字符串是随机的，你很有可能在纸带的其他地方找到一模一样的字符串。
在这个物理系统中，每个“时刻”的系统配置，都可以看作是从“所有可能状态”的集合中随机抽取的一个样本。在无限大的空间和无限多的粒子（或者说，无限多的“机会”去观察）面前，重复的样本出现是不可避免的。
总结一下：
如果“同一个物质分布状态”指的是所有粒子的位置和动量完全一致，则概率趋近于零，但理论上在无限长的时间内可以发生。
如果“同一个物质分布状态”指的是宏观的、可观察的统计性质（如密度分布、平均速度等），那么在无限大的系统中，并且考虑到随机运动的必然性，这样的状态不仅会再次出现，而且会在无数个不同的时空点上出现。
最关键的一点是，“无限大”这个设定，使得重复出现的概率从“微乎其微”变成了“某种意义上的必然”。 因为它提供了无限多的“尝试”机会，无论是通过时间演化（在有限但巨大的系统中），还是通过空间上的对比（在真正无限大的系统中）。
所以，在这样一个假想的系统中，我们不必怀疑“同一个分布状态”是否会再次出现。相反，更令人惊叹的是，在无限的可能中，我们可能会遇到无数个与我们所观察到的“一模一样”的片段。这也许就是宇宙宏大尺度下，某种形式的“循环”或“相似性”的体现。
首先，让我们来解构一下问题的几个关键点：
1. 空间无限大（Infinitely Large System）： 这是最核心的设定。无限大意味着系统中包含无限多的粒子，或者说，我们可以任意扩展我们的观察范围，总能发现更多的粒子。
2. 所有分子无序运动（Random Motion of All Molecules）： 这暗示了系统处于一个热力学平衡或准平衡状态。分子的运动是随机的、遵循概率分布的，没有任何外部强制性的定向力。我们通常认为这是系统的默认状态，就像气体一样。
3. 同一个物质分布状态（The Same Distribution State of Matter）： 这是我们需要深入探讨的部分。这里的“分布状态”指的是系统中所有粒子的具体位置和动量（速度）的集合。例如，在一个容器里的气体，它的分布状态就是每个气体分子在特定时间点的位置和它的运动速度。
4. 会出现两次吗？（Will it Occur Twice?）： 这里的“两次”指的是在系统演化的过程中，我们能够观察到完全相同的粒子配置（位置和动量）两次。
为什么“几乎可以肯定会出现”？—— 统计力学的视角
在统计力学中，我们不直接描述每一个粒子的行为，而是研究大量粒子的集体行为。系统处于一个宏观状态（比如温度、压力、体积），而这个宏观状态对应着一个极其庞大的微观状态集合。
想象一下，我们有一个极其巨大的盒子，里面装满了气体分子。每个分子都有自己的位置和速度。要描述整个系统的“状态”，我们需要知道每一个分子的位置和速度。这构成了一个极其庞大的“相空间”。
假设我们的系统有 $N$ 个粒子。每个粒子在三维空间中的位置有 $3$ 个自由度，动量也有 $3$ 个自由度。所以，描述整个系统的一个完整状态，需要 $6N$ 个参数。
在“空间无限大”的设定下，我们可以认为 $N$ 是无限的。然而，物理学通常也处理有限的、可观察的系统。但即便我们考虑一个非常非常大的、但有限的系统（例如，宇宙的某个区域，或者一个包含天文数字粒子的容器），并且这个系统是封闭的，并且在经历一个足够长的时间。
核心在于“状态”的定义和“无限”的含义
1. “同一个状态”的精确度： 如果我们要求的是绝对精确的粒子位置和动量完全一致，那么理论上，这发生的概率是趋近于零的。这是因为粒子运动是连续的，位置和动量可以取无穷多个值。即使两次状态非常接近，只要有任何一个粒子的位置或动量有微小的差异，它们就被认为是不同的状态。
但是，我们通常观察和描述的是宏观的、平均的分布状态。例如，气体分子在某个区域内的密度，或者在某个速度范围内的分子数量。在宏观层面，系统会呈现出我们熟悉的性质，如温度、压力等。这些宏观状态是由无数种微观状态对应的。
2. “无限大”和“无限时间”的潜在含义：
庞加莱回归定理（Poincaré Recurrence Theorem）： 这个定理对于理解这个问题至关重要。它指出，在一个封闭的、守恒能量的动力学系统中，在足够长的时间之后，系统会回到其初始状态的任意小的邻域。如果我们将“状态”理解为微观状态，那么这个定理意味着，在无限长的时间里，系统会反复回到它曾经出现过的几乎所有可达状态。
“无限大”的无限可能： 在一个无限大的系统中，情况变得更微妙。我们不能简单地套用有限系统的庞加莱回归定理，因为“无限大”意味着系统可能没有一个明确的“封闭”和“能量守恒”的整体。
但是，我们可以这样思考：如果系统是“无限大”的，那么我们可以把它想象成是由无数个有限的、大小相同的“子系统”组成的。即使是无限大的系统，在一个有限的观察尺度下，我们观察到的也是一个极其庞大的有限部分。
一个关键的类比： 想象你有一个包含无限张纸的卷筒，上面随机地印着英文字母。你随机地撕下一张纸（代表一个有限的系统状态）。由于字母是有限的，而且你撕下的纸张是有限的，并且纸张的排列是随机的，那么理论上，你撕下的这两张纸（甚至很多张）完全相同（所有字母及其顺序都一样）的可能性，虽然极其微小，但随着你撕下的次数（时间）趋于无限，它是会发生的。
如果将“物质分布状态”理解为宏观的、可观察的性质：
如果我们指的是宏观的、可观察的分布状态（例如，在一个特定体积内，有多少百分比的物质，它们的平均速度是多少，密度分布是怎样的），那么答案几乎可以确定是“是，而且会多次出现”。
这是因为：
有限的宏观状态，无限多的微观状态： 即使是“相同的”宏观分布状态，背后对应着无数种不同的微观粒子排列和运动方式。
概率的必然性： 在一个无限大的、粒子随机运动的系统中，任何一个“可能”的宏观状态，只要不是极端到概率为零（例如，所有粒子都在同一时间出现在同一个点），它都会在某个时刻以极高的概率出现。由于系统是无限大的，这意味着所有可能的状态，都会在无数个不同的“地方”和“时间”反复出现。
“无限”的容纳能力： 想象一下，你有无限多的空间，并且在其中随机地放置物体。你想要找到两个完全相同的物体配置。由于你有无限多的空间去尝试，你总能找到至少两个地方，那里的物体摆放得一模一样。
更严谨的推论（以有限的观察区域为例）：
让我们稍微缩小一下问题的范围，假设我们关注的是一个非常大（接近无限大）但有限的区域，或者我们考虑的“状态”是关于这个区域内粒子的统计平均行为。
1. 离散的相空间（一种简化模型）： 即使粒子位置和动量是连续的，我们可以为了便于理解，设想它们的“状态”是可以离散化的。比如，我们可以将空间划分为非常小的网格，将动量也划分成有限的区间。这样，即使粒子数量庞大，描述整个系统的“状态”的数量也是一个极其庞大但有限的数字。
2. 随机过程的重复性： 在一个无限的、随机运动的系统中，每时每刻的粒子分布都是一个随机事件。如果我们能够观察足够长的时间，并且系统具有重复性（这是统计力学和热力学平衡的假设），那么任何一个可能的、概率非零的随机事件，都会在某个时刻发生。而且，由于是随机的，它发生的“可能性”是可以被重复的。
“无限”带来的独特视角：
在无限大的系统中，“同一状态出现两次”不再是一个关于“循环”的问题（如庞加莱回归定理在有限封闭系统中的应用），而更像是一个关于“复制”的问题。
想象你有一个无限长的写满随机字母的纸带。你从中截取任意一段固定长度的字符串。由于纸带是无限长的，并且字符串是随机的，你很有可能在纸带的其他地方找到一模一样的字符串。
在这个物理系统中，每个“时刻”的系统配置，都可以看作是从“所有可能状态”的集合中随机抽取的一个样本。在无限大的空间和无限多的粒子（或者说，无限多的“机会”去观察）面前，重复的样本出现是不可避免的。
总结一下：
如果“同一个物质分布状态”指的是所有粒子的位置和动量完全一致，则概率趋近于零，但理论上在无限长的时间内可以发生。
如果“同一个物质分布状态”指的是宏观的、可观察的统计性质（如密度分布、平均速度等），那么在无限大的系统中，并且考虑到随机运动的必然性，这样的状态不仅会再次出现，而且会在无数个不同的时空点上出现。
最关键的一点是，“无限大”这个设定，使得重复出现的概率从“微乎其微”变成了“某种意义上的必然”。 因为它提供了无限多的“尝试”机会，无论是通过时间演化（在有限但巨大的系统中），还是通过空间上的对比（在真正无限大的系统中）。
所以，在这样一个假想的系统中，我们不必怀疑“同一个分布状态”是否会再次出现。相反，更令人惊叹的是，在无限的可能中，我们可能会遇到无数个与我们所观察到的“一模一样”的片段。这也许就是宇宙宏大尺度下，某种形式的“循环”或“相似性”的体现。
网友意见
只说空间无限大，没说空间的具体形态和演化规律、分子的数量，那很容易构造出分子只能在有限空间内运动的无限空间，或者让整个空间中物质的密度不变/反复波动，相同状态的分布出现多少次都行。
对于基本上平直且无限大的空间，可以考虑粒子最初从何而来、空间中的随机量子涨落能不能有效地产生总能量为零的大量粒子。
如果粒子是从来就存在的，已经经历了无限的时间，那么粒子在某个时刻组成的复杂结构（包括松散的分子云）说明时间不阻止结构的出现或复现。
如果粒子不是从来就存在的，可以随机创生出来，那么由于指定体积内粒子排列方式有限，同样的结构可以无限次地重新出现。
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