请问这个集合不是零测集有什么具体例子吗？
理解这个问题，关键在于把握“零测集”的定义以及如何与之相对比。零测集，简单来说，就是“几乎没有长度”、“几乎没有面积”、“几乎没有体积”的集合。在数学上，它的测度为零。我们知道直线、点、有限个点构成的集合都是零测集。
那么，不是零测集的集合呢？这其实涵盖了我们生活中大部分能够“触摸到”和“感知到”的实体。我们来仔细看看几个具体的例子。
1. 区间 $[0, 1]$：一段看得见的线段
这是最直观的例子。我们平时说的“0到1之间”，就是一个连续的区间，包含无数多个点。想象一下，你在尺子上从刻度0走到刻度1，你走过的这段距离就是1个单位的长度。
为什么它不是零测集？因为它的长度是1，而零测集的长度是0。这就像你在一个房间里画了一条线，这条线有明确的长度。你可以沿着这条线走，你可以用尺子去测量它。你不能说这条线“几乎不存在”，因为它实实在在地占据了一段空间。
更严谨地说，区间 $[0, 1]$ 的勒贝格测度就是它的长度，即 $m([0, 1]) = 1$。而零测集的测度是0。因为 $1 eq 0$，所以 $[0, 1]$ 不是零测集。
2. 单位正方形 $[0, 1] imes [0, 1]$：一个可以铺满纸面的区域
现在我们把刚才那条线段往上“拉伸”，形成一个正方形。这个正方形的四个顶点分别是 $(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$。它包含了所有 $x$ 和 $y$ 坐标都在 $0$ 到 $1$ 之间的点。
这个正方形的面积是 $1 imes 1 = 1$。相比于零测集，它不再是“没有长度”的线，而是“有面积”的块。你可以用一张纸去覆盖它，这张纸会有实际的面积，你也可以去测量它的面积。
在数学上，这个单位正方形的二维勒贝格测度就是它的面积，即 $m([0, 1] imes [0, 1]) = 1$。同样，因为 $1 eq 0$，所以单位正方形不是零测集。
我们可以进一步想象：
如果是一维空间，一个长度大于零的区间（比如 $[0, 2]$，长度是2）就不是零测集。
如果是在二维平面，一个有面积的图形（比如一个半径为1的圆，面积是 $pi$）就不是零测集。
如果在三维空间，一个有体积的物体（比如一个边长为1的正方体，体积是1）也不是零测集。
3. 区间 $[0, 1]$ 加上一个点 ${2}$：虽然有“孤立”的点，但整体不再是零测集
我们可能对一些看似“奇怪”的集合感到好奇。比如，将我们之前谈到的区间 $[0, 1]$ 和一个单独的点 ${2}$ 合并在一起，形成集合 $S = [0, 1] cup {2}$。
你可能会想，那个点 ${2}$ 是一个零测集（单个点在任何维度上的测度都是0）。但是区间 $[0, 1]$ 的测度是1。那么这个集合 $S$ 的测度是多少呢？
在测度论中，可数个零测集的并集仍然是零测集。但是，如果你的集合是由一个“有测度”的集合和一个“零测集”组成的（尤其是当它们之间没有重叠时），那么合并后的集合的测度就是那个“有测度”集合的测度。
在这里，$m(S) = m([0, 1] cup {2}) = m([0, 1]) + m({2})$ （因为 $[0, 1]$ 和 ${2}$ 是不相交的，而且它们分别是可测集）。
$m(S) = 1 + 0 = 1$。
因为 $1 eq 0$，所以集合 $S$ 也不是零测集。这说明，即使集合中包含了“小到可以忽略”的部分（那个点），只要它包含了一部分具有实际“大小”的成分（那个区间），整个集合就不能算作零测集。
4. 康托尔集（Cantor Set）的思考：一个“奇怪”但不是零测集的例子
康托尔集是一个稍微复杂一些的例子，它能够帮助我们更深入地理解测度和零测集。康托尔集是通过不断删除区间的中间部分而构造出来的。
第一步：从 $[0, 1]$ 开始。
第二步：删除中间的 $(1/3, 2/3)$，留下 $[0, 1/3]$ 和 $[2/3, 1]$。
第三步：对剩下的两个区间分别删除中间的 $1/3$ 部分。
依此类推，无限进行下去。
直观上，康托尔集似乎由非常分散的点构成，你可能会觉得它“很小”。而且，在每一步操作中，我们删除掉的区间的长度加起来是 $(1/3) + 2 imes (1/9) + 4 imes (1/27) + ldots$。这个级数的和正好等于1！这似乎在暗示康托尔集的长度（测度）是0。
然而，事情并没有那么简单。虽然我们“删掉的长度”之和是1，但康托尔集本身并不是空的，它包含无数个点，而且这些点不是孤立的，它们以一种非常“稠密”的方式存在。
事实上，康托尔集是一个经典例子，它具有以下性质：
康托尔集是不可数的（这意味着它不是有限个点的集合，也不是可数个点的集合）。
康托尔集的勒贝格测度是0。
所以，严格来说，康托尔集是一个零测集。
这可能会让你感到困惑：我们刚才不是说要找“不是零测集”的例子吗？为什么又提到了康托尔集？
关键在于，我的初衷是解释“不是零测集”的集合。上面介绍的区间和正方形是最直接、最容易理解的“非零测集”。康托尔集之所以常被拿来讨论，是因为它挑战了我们对“大小”的直观感受。它说明，即使一个集合的测度是零，它仍然可以包含无限多个点，甚至可以是不可数无穷多。
要回到“不是零测集”的例子，那么我们上面提到的：
任何长度大于零的一维区间，如 $[0, 1]$，它的测度是其长度，大于零。
任何面积大于零的二维区域，如单位正方形 $[0, 1] imes [0, 1]$，它的测度是其面积，大于零。
任何体积大于零的三维实体，如单位立方体 $[0, 1]^3$，它的测度是其体积，大于零。
包含上述任何一个集合的任何一个集合，例如我们举过的 $S = [0, 1] cup {2}$，其测度至少等于那个有测度的部分的测度，因此也不是零测集。
核心思想是：
“不是零测集”的集合，就是那些在它们所处的空间中，占据了实际“大小”的集合。无论是在一维上“有长度”，还是在二维上“有面积”，或是在三维上“有体积”。这种“大小”是由测度来量化的，只要这个量化值不为零，它就不是零测集。
希望这些例子和解释能让你更清晰地理解“不是零测集”的集合是怎样的。它们是我们生活中无处不在的、具有实在“量”的事物。
那么，不是零测集的集合呢？这其实涵盖了我们生活中大部分能够“触摸到”和“感知到”的实体。我们来仔细看看几个具体的例子。
1. 区间 $[0, 1]$：一段看得见的线段
这是最直观的例子。我们平时说的“0到1之间”，就是一个连续的区间，包含无数多个点。想象一下，你在尺子上从刻度0走到刻度1，你走过的这段距离就是1个单位的长度。
为什么它不是零测集？因为它的长度是1，而零测集的长度是0。这就像你在一个房间里画了一条线，这条线有明确的长度。你可以沿着这条线走，你可以用尺子去测量它。你不能说这条线“几乎不存在”，因为它实实在在地占据了一段空间。
更严谨地说，区间 $[0, 1]$ 的勒贝格测度就是它的长度，即 $m([0, 1]) = 1$。而零测集的测度是0。因为 $1 eq 0$，所以 $[0, 1]$ 不是零测集。
2. 单位正方形 $[0, 1] imes [0, 1]$：一个可以铺满纸面的区域
现在我们把刚才那条线段往上“拉伸”，形成一个正方形。这个正方形的四个顶点分别是 $(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$。它包含了所有 $x$ 和 $y$ 坐标都在 $0$ 到 $1$ 之间的点。
这个正方形的面积是 $1 imes 1 = 1$。相比于零测集，它不再是“没有长度”的线，而是“有面积”的块。你可以用一张纸去覆盖它，这张纸会有实际的面积，你也可以去测量它的面积。
在数学上，这个单位正方形的二维勒贝格测度就是它的面积，即 $m([0, 1] imes [0, 1]) = 1$。同样，因为 $1 eq 0$，所以单位正方形不是零测集。
我们可以进一步想象：
如果是一维空间，一个长度大于零的区间（比如 $[0, 2]$，长度是2）就不是零测集。
如果是在二维平面，一个有面积的图形（比如一个半径为1的圆，面积是 $pi$）就不是零测集。
如果在三维空间，一个有体积的物体（比如一个边长为1的正方体，体积是1）也不是零测集。
3. 区间 $[0, 1]$ 加上一个点 ${2}$：虽然有“孤立”的点，但整体不再是零测集
我们可能对一些看似“奇怪”的集合感到好奇。比如，将我们之前谈到的区间 $[0, 1]$ 和一个单独的点 ${2}$ 合并在一起，形成集合 $S = [0, 1] cup {2}$。
你可能会想，那个点 ${2}$ 是一个零测集（单个点在任何维度上的测度都是0）。但是区间 $[0, 1]$ 的测度是1。那么这个集合 $S$ 的测度是多少呢？
在测度论中，可数个零测集的并集仍然是零测集。但是，如果你的集合是由一个“有测度”的集合和一个“零测集”组成的（尤其是当它们之间没有重叠时），那么合并后的集合的测度就是那个“有测度”集合的测度。
在这里，$m(S) = m([0, 1] cup {2}) = m([0, 1]) + m({2})$ （因为 $[0, 1]$ 和 ${2}$ 是不相交的，而且它们分别是可测集）。
$m(S) = 1 + 0 = 1$。
因为 $1 eq 0$，所以集合 $S$ 也不是零测集。这说明，即使集合中包含了“小到可以忽略”的部分（那个点），只要它包含了一部分具有实际“大小”的成分（那个区间），整个集合就不能算作零测集。
4. 康托尔集（Cantor Set）的思考：一个“奇怪”但不是零测集的例子
康托尔集是一个稍微复杂一些的例子，它能够帮助我们更深入地理解测度和零测集。康托尔集是通过不断删除区间的中间部分而构造出来的。
第一步：从 $[0, 1]$ 开始。
第二步：删除中间的 $(1/3, 2/3)$，留下 $[0, 1/3]$ 和 $[2/3, 1]$。
第三步：对剩下的两个区间分别删除中间的 $1/3$ 部分。
依此类推，无限进行下去。
直观上，康托尔集似乎由非常分散的点构成，你可能会觉得它“很小”。而且，在每一步操作中，我们删除掉的区间的长度加起来是 $(1/3) + 2 imes (1/9) + 4 imes (1/27) + ldots$。这个级数的和正好等于1！这似乎在暗示康托尔集的长度（测度）是0。
然而，事情并没有那么简单。虽然我们“删掉的长度”之和是1，但康托尔集本身并不是空的，它包含无数个点，而且这些点不是孤立的，它们以一种非常“稠密”的方式存在。
事实上，康托尔集是一个经典例子，它具有以下性质：
康托尔集是不可数的（这意味着它不是有限个点的集合，也不是可数个点的集合）。
康托尔集的勒贝格测度是0。
所以，严格来说，康托尔集是一个零测集。
这可能会让你感到困惑：我们刚才不是说要找“不是零测集”的例子吗？为什么又提到了康托尔集？
关键在于，我的初衷是解释“不是零测集”的集合。上面介绍的区间和正方形是最直接、最容易理解的“非零测集”。康托尔集之所以常被拿来讨论，是因为它挑战了我们对“大小”的直观感受。它说明，即使一个集合的测度是零，它仍然可以包含无限多个点，甚至可以是不可数无穷多。
要回到“不是零测集”的例子，那么我们上面提到的：
任何长度大于零的一维区间，如 $[0, 1]$，它的测度是其长度，大于零。
任何面积大于零的二维区域，如单位正方形 $[0, 1] imes [0, 1]$，它的测度是其面积，大于零。
任何体积大于零的三维实体，如单位立方体 $[0, 1]^3$，它的测度是其体积，大于零。
包含上述任何一个集合的任何一个集合，例如我们举过的 $S = [0, 1] cup {2}$，其测度至少等于那个有测度的部分的测度，因此也不是零测集。
核心思想是：
“不是零测集”的集合，就是那些在它们所处的空间中，占据了实际“大小”的集合。无论是在一维上“有长度”，还是在二维上“有面积”，或是在三维上“有体积”。这种“大小”是由测度来量化的，只要这个量化值不为零，它就不是零测集。
希望这些例子和解释能让你更清晰地理解“不是零测集”的集合是怎样的。它们是我们生活中无处不在的、具有实在“量”的事物。
网友意见
构造一个不可测集 。
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