如何简要介绍 sign problem in quantum Monte Carlo method？

量子蒙特卡洛方法（QMC）在模拟量子多体系统时，遇到一个普遍存在的难题，那就是“符号问题”（Sign Problem）。简单来说，这个问题的根源在于，当系统处于某些状态时，QMC方法会产生包含正负号的权重，而这些正负号的随机性使得我们无法直接计算出期望值。

想象一下，我们正在用QMC方法计算一个量子系统的能量。QMC的核心思想是将量子态的叠加态理解为一系列“路径”或“配置”，并为每条路径赋予一个概率权重。在很多情况下，这些权重都是非负的，这意味着我们可以直接将它们的平均值作为我们想要计算的量的期望值。

然而，当系统进入一个“纠缠”状态，或者更具体地说，当系统的波函数（描述量子态的数学对象）在实空间中出现负值时，问题就来了。这些负值在QMC的路径积分（或蒙特卡洛抽样）中会表现为负的权重。

为什么负权重是问题？

QMC的本质是通过随机抽样来近似计算一个积分。我们通过生成一系列符合某个概率分布的样本（即路径或配置），然后对这些样本的某个函数进行平均。这个过程依赖于我们抽样的“概率”是明确的、非负的。

如果存在负权重，这就好像我们试图从一个“概率”为负的分布中抽取样本，这在概率论的框架下是说不通的。更糟糕的是，当系统中存在大量正负权重交替出现的情况时，这些正负权重会相互抵消，导致我们实际需要计算的期望值非常小，而抽样过程中出现的噪声（由随机性引起）却可能比信号本身还要大。

举个更具体的例子：

假设我们要计算一个系统的平均能量。系统可以处于两种状态A和B，状态A的能量是E_A，状态B的能量是E_B。如果我们用QMC模拟，每个状态都被看作一个“配置”。

没有符号问题的情况：如果状态A和B出现的概率都是正的，并且它们的权重都是正的，那么平均能量就是 (N_A E_A + N_B E_B) / (N_A + N_B)，其中N_A和N_B是各自状态出现的次数。我们可以很直接地得到结果。

出现符号问题的情况：假设由于量子纠缠，在某些模拟步骤中，状态A的权重是+w，而状态B的权重是w。如果我们要计算的量是与状态A相关的，比如E_A，那么加上w的贡献后，期望值就变小了。当正负权重抵消得非常严重时，我们可能需要抽取非常非常多的样本才能得到一个精确的平均值，因为有效样本量被大大削减了。

更深入一点：

符号问题在模拟具有费米子（如电子）的系统时尤为突出。费米子遵循泡利不相容原理，这意味着它们的波函数必须是反对称的。在某些情况下，这种反对称性会导致QMC计算中的 Slater 行列式（用于描述多费米子系统的波函数）的行列式值为负。

当QMC模拟涉及到这些负行列式值时，它们就会转化为负权重。随着系统尺寸的增大，费米子之间的纠缠会加剧，导致负权重的数量急剧增加，使得精确计算变得几乎不可能。

为什么这很重要？

许多我们感兴趣的物理系统，比如高温超导体、量子磁性材料、以及许多处于量子相变边缘的系统，都包含大量的费米子，并且常常处于一个具有复杂纠缠态的状态。这些系统恰恰是QMC方法最能发挥作用的领域，但也是符号问题最严重的地方。

目前的研究方向和应对策略：

科学家们一直在努力寻找克服符号问题的方法，主要有以下几个方向：

1. 改进抽样算法：开发更智能的抽样方法，例如“约束路径蒙特卡洛”（Constrained Path Monte Carlo, CPMC）或“相位重整”（Phase Reorganization）等技术，试图限制或管理负权重的出现。
2. 寻找“没有符号问题”的等价问题：有时可以找到一个相关的、但没有符号问题的模型，通过计算这个“友好”模型的性质来推断原系统的性质。
3. 使用不同的基组或表示方法：改变描述系统的方式，有时可以减轻符号问题的严重性。
4. 利用辅助场（Auxiliary Fields）：在某些近似下，引入辅助场可以使权重变为非负，尽管这可能引入其他类型的近似。
5. 重写问题（Rewriting the problem）：寻找一种不同的表述方式，使得权重自然变为非负。

总而言之，符号问题是QMC方法在处理某些复杂的量子多体系统（尤其是费米子系统）时遇到的核心瓶颈。它的出现源于系统波函数中存在的负值，这些负值在蒙特卡洛抽样中转化为负权重，极大地削弱了模拟的有效性，使得直接、精确的计算变得异常困难。解决符号问题是发展更强大、更通用的量子模拟工具的关键挑战之一。

网友意见

作为一名研究Quantum monte carlo（QMC）的博士生，我给大家详细介绍一下这个问题。

1，为什么会有QMC？

那是因为，在经典的物理模型里，系统的状态数目随着系统的大小，是呈现指数增加的。比如Ising模型，一个阵点，自旋的方向有上或者下两种状态，两个阵点，就是四种，三个粒子就是八种.......海森堡模型或者hubbard模型也是同样的道理。

这样的物理模型，假设状态数为M，想要得到精确的结果，就需要用对角化（ED），也就是求解一个M阶矩阵。现在的计算机，求解成千上万阶的矩阵都没有问题，但是再大，时间就变的非常非常的长。例如一个4X8的二维Ising模型，状态数就达到43亿，而4X8的模型在科研人员的眼里是小的不能再小的模型！因此，用对角化的方法求精确解就变的不太现实。

因此，常见的方法就是用蒙特卡洛抽样的方法，我们不用穷尽你所有的态，只需要选取一部分具有代表性的态进行抽样即可。这样就可以大大减小计算强度，把算法从指数增长变成多项式增长，使得求解更大的系统成为可能。这就是量子蒙特卡洛的由来。蒙特卡洛方法的原理，大家可以参考我这个回答。

当然，还有其他的解决这个问题方法，比如平均场近似（将其他粒子对该粒子的作用看成是一个场），DMRG（把系统不断的进行重整化，然后只保留可能包含基态的部分，剩下的统统丢弃），这些方法都有自己的优势和不足，就不再我的讨论范围之内了。

2，sign problem是如何出现的？

量子蒙特方法求解一个模型的某个物理量O（比如某处的自旋，关联函数，系统的基态能量等等），实际上就是对这个物理量进行抽样，然后加权平均，也就是下面这个式子。

这里O(i)是测量值，而w(i)是对应的权重。

但是，这里的权重有可能是负数，特别是在费米子的计算中，由于反对称性，分母中的权重很可能正负相抵，从而使分子分母都接近0，蒙特卡洛抽样变的没有意义。

为什么权重会出负数呢。我们用一个实例来说明一下。

比如，求hubbard模型的基态。hubbard模型是凝聚态物理一个非常重要的模型，它让电子在网格中自由hoping，由于泡利不相容原理，相同自旋的电子不能呆在同一个格点，而由于库伦排斥，不同自旋的电子呆在同一个格点，会产生排斥势U，它的哈密顿量表示如下：

这个模型，求解大系统的精确解是不可能的，原理同上，因此如果要想求解基态，我们可以用下面的方法来做

这里，右边代表的试探波函数，原理很简单，随着β的增加，基态由于能量最低，所占的比重越来越大，当趋近于无穷时，其他激发态的比重可以忽略不计，从而基态“脱颖而出”。

当然，我们实际上，需要把propagator拆成一小块一小块，然后对每一小块，都会有random walking，否则我们根本无法计算。最后的结果就是下式。

这里的i代表着walker的编号，如果我们想提高计算精度，就需要增大walker的数目。

最后我们计算基态能量，可以用如下的式子进行计算。

当然，如果求解某格点的自旋什么的，需要做back propagation，不能套用上面的式子。

这里的w(i)再乘上|φ(i)>与试探波函数的overlap对应着第i个walker的权重，当然实际上可能因为算法不同而有所变化。然而，因为费米子波函数的反对称性，只要不是半满填充，对于基态里任意一个|φ>，我们都能找到-|φ>，从而有

因此正负权重相抵，分母接近0，方差变的很大，实验结果惨不忍睹。

3，如何应对sign problem？

应对sign problem的方法有很多，一种典型的解决方法，也是我在做的，就是CPMC（Constrained path monte carlo）。方法就是，我们在做random walking的时候，要时刻监视每个walker权重的动向，一遇到负的权重，立刻斩草除根，就像下面这张图一样。下面的图，左边是负权重，右边是正权重，我们让random walking待在正权重的区域。

然而，我们并不知道基态（要是我们知道了还求它干什么），所以这个边界的划定就会出现问题。CPMC的做法，是让试探波函数充当“边界裁判”，也就是舍弃掉和试探波函数的overlap为负的情况。

这就带来了一个问题，和试探波函数的overlap为负，并不代表和基态的overlap权重也为负。因此，CPMC的做法会“误伤友军”，从而带来系统偏差。

不过好在，这样的系统偏差，在小的系统和较小的排斥势U，小到可以忽略不计。所以CPMC在计算小模型和较小的排斥势U的时候，可以算的非常准，稍微大点的系统或者U，我们就需要用一个比较好的试探波函数了，如果试探波函数和基态接近，那就可以减少“误伤友军”的概率。这里我们可以用平均场理论的基态波函数作为试探波函数，或者用自洽迭代的方式，都可以提高计算的精度。用这种方法，在计算100个格点以内，U不大于8的模型，我们都能让能量误差控制在千分之一以内。

那么，能不能彻底解决sign problem？答案是不能，这个问题是NP-hardness problem。详情请见： https://arxiv.org/abs/cond-mat/0408370

虽然不能解决，但是我们可以通过各种方法来改善结果，只要能让误差控制在合理范围内，我们也能观测到很多有趣的现象，发现新世界。这就是QMC的魅力所在。

参考文献：

《Auxiliary-Field Quantum Monte Carlo for Correlated Electron Systems 》 by Shiwei Zhang，最后一张图的出处也在那里。

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