为什么乒乓球被平板压扁后，凹陷部位呈三角形或四边形？
首先，咱们得明确一点，乒乓球并不是完全均匀的，它的外壳是由两片半圆形的塑料（通常是赛璐珞或ABS塑料）粘合而成的。这个粘合缝隙，即使看起来很平滑，但在微观层面，它依然是球体结构上的一个“弱点”或者说是一个“边界”。
当外力作用于乒乓球时，比如你用手或平板去压它，这个力会均匀地施加在球体的表面。但是，球体内部的气压，以及外壳材料自身的弹性，会让球体在受力时发生形变。
想象一下，当平板开始向下压，球体的顶部就开始向内凹陷。因为乒乓球内部是充有空气的，这个气压就相当于一个向外的支撑力。当你施加外力时，你就等于在对抗这个内部气压，同时也要克服外壳材料的弹性形变。
关键就在于这个“形变”是怎么发生的。对于一个规则的球体，如果不考虑内部气压和材料本身的非均匀性，理论上压下去会是一个光滑的弧形凹陷。但乒乓球不一样，它有那道粘合缝。
你可以把那道粘合缝看作是两条“折痕”或者“预设的弯曲线”。当球体受压向内弯曲时，材料的应力会集中在这些地方。更重要的是，因为球体是两片粘合的，当它从球面变成一个更扁的形状时，那两条粘合缝就成为了“关键节点”。
你可以想象一下，当你试图把一个气球的顶部往下按，如果气球的表面是平滑的，它会向四周均匀地鼓起来。但如果气球表面有一条缝线，当你向下压时，这条缝线附近的材料会更容易向内折叠，从而形成一种“收拢”的趋势。
乒乓球的凹陷部位之所以呈现出三角形或四边形，很大程度上是因为这种“收拢”效应。当球体受压时，球体的侧壁会试图向内收缩，而那两条粘合缝就成为了最容易发生形变、最容易“塌陷”的区域。
你可以理解为，球体的侧壁在向内挤压，而球体内部的气压在向外支撑。在这种拉锯战中，材料的弹性以及粘合缝的结构特点，使得球体不会均匀地向内收缩成一个光滑的曲面，而是会在受力最大的几个点上，材料会以一种更“经济”的方式，也就是形成折叠，来适应新的形状。
打个比方，就像你试图把一张纸板压扁，如果纸板的边缘是卷曲的，当你往下压时，卷曲的部分会更容易向内折叠，形成棱角。乒乓球的粘合缝就起到了类似“卷曲边缘”的作用。
具体的形状，比如三角形还是四边形，这取决于你施加压力的位置、力度，以及球体本身的微小不对称性。
三角形： 乒乓球的粘合缝在赤道方向上形成一个圆，但从顶部和底部看，你会发现它的粘合过程可能在某个点开始，然后绕一圈。当受力不均匀，或者球体本身存在细微的“缺陷”时，形变就可能沿着最容易塌陷的方向发展，形成一个尖角。想象一下，如果压力的中心偏离一点，或者球体某个方向的材料更硬一点，那么凹陷就会更容易沿着某个“路径”发展，最后形成三角形。
四边形： 乒乓球的制造工艺，在最终粘合时，这两半球的接口处，最容易形成所谓的“应力集中”。当你施加压力时，这种应力就会沿着这两条粘合缝的方向，使得球体材料在这些地方发生屈服和折叠。当两组粘合缝（如果可以这么理解的话，虽然它是一条连续的缝）的应力都得到释放时，就可能形成一个近似四边形的凹陷。你可以把那条粘合缝想象成是球体内部的一条“锁扣”或者“骨架”，当你压它的时候，骨架的连接点就成了最容易受力的地方。
更专业一点说，这涉及到材料的塑性形变。当应力超过材料的弹性极限时，材料就会发生永久性的形变。乒乓球的外壳虽然有弹性，但在较大的压力下，也会发生塑性形变。这种塑性形变，在有“预设折痕”或者“弱点”的地方，会更倾向于沿着这些路径进行。
最终，你看到的三角形或四边形的凹陷，是球体外壳材料在内外压力和外力作用下，通过自身的弹性形变和塑性形变，以及那道粘合缝的结构限制，达到一种能量最低的状态的结果。在那一刻，它就以这种带有棱角的形状“锁定”了。
所以，下次你再看到被压扁的乒乓球，不妨想想它内部的“故事”：内部的气压在抵抗，外壳的材料在弯曲，而那条看不见的粘合缝，则是它形变时最关键的“舞台”。
网友意见
“角点”比周围的点率先达到弹性形变的上限。
我这个回答不专业，凑个数。
先说下结论：变形能量上，这种多边形状是最容易实现的。
到目前为止还没有答主从力学角度对此现象进行解释，多边形的边数形成也没有理论解释。这个不算我的专业，之前听过一个EML 哈佛Hutchinson大佬的在线讲座，提到过类似问题（文末有关于这个的介绍），早上查了几篇文章，我在这里就再补充一下。半球、球形薄壁壳结构的buckling是算是力学的一个经典问题了，钱学森和冯卡门最早就研究过这个。
进入正文
- 关于为什么会形成多边形
球形薄壁壳结构的平面压缩分为两个步骤，第一个是非稳定性，对称的凹陷，在凹陷边界hoop stress达到临界值之后，为了释放压缩应力，周长方向的纤维从原有圆形凹陷进行屈曲，形成多边形的第二阶polygonal instability buckling。以下是原文解释，还有定量解决这步的步骤方法。
这是另一篇文章叙述的原因，变形能量上，这种多边形状是最容易实现的。
2. 关于多边形边的个数
我上午找了下文献，没有找到平板压缩下，半球壳体与压缩后多边形变数的关系的研究。但是这篇文章讲的是局部压缩（如下图）条件下，凹陷多边形边数的关系。来源[2]
这里看来，在局部压缩下，边数只和压缩距离、球体大小有关。而且没有出现六边形的可能，只有三到五边形，个人觉得局部压缩下，5边形时候半球已触底。
分享一个彩蛋，这个我见过最简短有趣的学术文章的结论
结论如下，乒乓球打起来比理解起来容易多了。国乒选手们表示不服哈哈哈。
3. 关于半球薄壁壳结构的屈曲
最后提一下EML 哈佛Hutchinson大佬的在线讲座，强烈推荐力学、结构、机械学生和研究人员旁听下。在油管上直接搜EML webnair就能看到。这个线上讲座是去年在疫情期间extreme mechanics letter搞得一个学术讲座，请的全是力学界最大的大佬Hutchinson，剑桥的Norman fleck，deshpande哈佛的bertoldi，Caltech的Daraio还有很多华人力学大佬。我听过很多个，讲的内容也是深入浅出，不需要特别强的理论背景。
薄壁壳在外压下的屈曲问题，再工业界非常有用，分析储气罐等的安放等。
最早是由一下几人开始研究，包括钱学森，冯卡门等
最后放一个简单的结论吧，很多缺陷是看不出来的，一个只有壳体厚度那么小的凹陷就能使最大承载力降低到1/5。很多情况下肉眼是基本看不出来的。很多其他答主也提到了这个问题，所以工业设计要非常注意，通常采用些加筋，加固或复合材料、结构来减少对缺陷的敏感度。
最后推荐有条件的同学，遇到类似问题多查学术文章，哪怕和自己专业不完全相同。以上reference全部源于谷歌学术第一、二页，spherical shell buckling，输对关键字很容易找到可信可靠的回答的。
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