请问这个极限加上变限积分这种怎么计算?
这题遇到的情况是，一个极限里面套着一个变限积分。对于这类问题，我们通常会围绕着极限的定义以及微积分基本定理这两个核心来展开。别看它看起来有点绕，拆解开来，思路其实很清晰。
核心思路：化繁为简，找到突破口
当我们看到一个带有极限的积分时，最直接的反应就是：这个积分能否在极限作用下被简化？ 或者说，这个积分的“行为”在极限意义下是什么样的？
第一步：审视积分内部，有没有什么可以简化或者利用的性质？
被积函数的形式： 首先仔细看看积分号里面的函数。它是什么类型？是多项式、三角函数、指数函数，还是它们的组合？有没有什么特殊的结构，比如可以进行变量替换或者分解的？
积分下限和上限： 积分的下限和上限是常数还是变量？这里是 $x$ 的函数，这很重要。变限积分的特点就是它的值是关于上限（或下限）的函数。
有没有其他参数？ 如果积分里面除了积分变量（比如 $t$）和上限变量（比如 $x$）外，还有其他参数，需要注意这些参数在积分和极限中扮演的角色。
第二步：考虑极限的性质，如何作用在积分上？
极限通常有两种常见的处理方式应用于积分：
1. 直接求出积分值再取极限： 如果被积函数的形式比较简单，或者积分的结构允许我们直接算出它的不定积分，然后将积分上限和下限代入，得到一个关于 $x$ 的函数，最后再对这个函数求极限。
2. 利用微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）： 这是处理变限积分时非常强大的工具。微积分基本定理告诉我们，如果 $F(x) = int_{a}^{x} f(t) dt$，那么 $F'(x) = f(x)$。这通常意味着，当我们看到 $int f(t) dt$ 这种形式，它的导数就是 $f(x)$。
那么，怎么结合起来计算呢？我们来分解一下，假设题目是这样的形式：
$$ lim_{x o a} frac{int_{b}^{x} f(t) dt}{g(x)} $$
这里的 $a$ 是一个常数， $b$ 也可以是常数，或者一个与 $x$ 无关的表达式。
情形一：当直接求积分可以化简，并且极限是 $[0/0]$ 或 $[infty/infty]$ 型时
如果发现 $int_{b}^{x} f(t) dt$ 这个积分的计算相对容易，并且当 $x o a$ 时，积分的值趋向于一个常数（比如 0），而分母 $g(x)$ 也趋向于 0，那么这就是一个典型的 洛必达法则（L'Hôpital's Rule） 的应用场景。
检查洛必达条件： 确保当 $x o a$ 时，$int_{b}^{x} f(t) dt o 0$ 且 $g(x) o 0$ （或者两者都趋向无穷）。
应用洛必达法则： 对分子和分母分别求导，然后计算新的极限：
$$ lim_{x o a} frac{left(int_{b}^{x} f(t) dt ight)'}{(g(x))'} $$
关键一步：对积分求导！ 这里就用到了微积分基本定理。根据微积分基本定理的第一部分，如果 $F(x) = int_{b}^{x} f(t) dt$，那么 $F'(x) = f(x)$。
所以，分子导数就是 $f(x)$。 分母的导数 $(g(x))'$ 就要根据 $g(x)$ 的具体形式来计算。
最终计算：
$$ lim_{x o a} frac{f(x)}{g'(x)} $$
然后计算这个新的极限。
举个例子来说明：
计算：
$$ lim_{x o 0} frac{int_{0}^{x} sin(t) dt}{x^2} $$
1. 审视积分： $int_{0}^{x} sin(t) dt$。这个积分很容易算：$int sin(t) dt = cos(t)$。所以 $int_{0}^{x} sin(t) dt = [cos(t)]_{0}^{x} = cos(x) (cos(0)) = cos(x) + 1$。
2. 检查极限类型： 当 $x o 0$ 时，分子 $cos(0) + 1 = 1 + 1 = 0$。分母 $x^2 o 0$。这是 $[0/0]$ 型。
3. 应用洛必达法则：
分子导数是 $(int_{0}^{x} sin(t) dt)'$。根据微积分基本定理，这是 $sin(x)$。
分母导数是 $(x^2)' = 2x$。
4. 计算新极限：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(x)}{2x} $$
这是一个经典的极限，值是 $1/2$。
再举个例子，这次直接用微积分基本定理求导：
计算：
$$ lim_{x o 1} frac{int_{2}^{x} frac{1}{t} dt}{x1} $$
1. 审视积分： $int_{2}^{x} frac{1}{t} dt$。积分本身我们知道是 $ln|t|$。
2. 检查极限类型： 当 $x o 1$ 时，分子 $int_{2}^{1} frac{1}{t} dt = [ln|t|]_{2}^{1} = ln(1) ln(2) = 0 ln(2) = ln(2)$。分母 $x1 o 0$。
哎呀，这里分子不趋向于 0！ 那么洛必达法则不适用。
我们换个题目，让它符合洛必达条件：
计算：
$$ lim_{x o 1} frac{int_{x}^{1} frac{1}{t} dt}{x1} $$
1. 审视积分： $int_{x}^{1} frac{1}{t} dt$。
2. 检查极限类型： 当 $x o 1$ 时，分子 $int_{1}^{1} frac{1}{t} dt = 0$。分母 $x1 o 0$。这是 $[0/0]$ 型。
3. 应用洛必达法则：
分子导数是 $(int_{x}^{1} frac{1}{t} dt)'$。注意积分上限是常数，下限是变量。我们可以写成 $int_{1}^{x} frac{1}{t} dt$。那么它的导数就是 $frac{1}{x}$。
分母导数是 $(x1)' = 1$。
4. 计算新极限：
$$ lim_{x o 1} frac{frac{1}{x}}{1} = lim_{x o 1} frac{1}{x} = frac{1}{1} = 1 $$
情形二：利用泰勒展开或者其他极限定义
有时候，直接求积分或者应用洛必达法则会很困难。这时可以考虑其他方法。
泰勒展开： 如果被积函数 $f(t)$ 在 $x$ 附近可以进行泰勒展开，我们可以尝试将积分内的函数展开，然后看积分值在 $x o a$ 时是如何近似的。
比如：
$$ lim_{x o 0} frac{int_{0}^{x} (1+t^2)^{1/2} dt}{x} $$
被积函数 $(1+t^2)^{1/2}$ 在 $t=0$ 附近展开是 $1 + frac{1}{2}t^2 + O(t^4)$。
那么 $int_{0}^{x} (1+t^2)^{1/2} dt approx int_{0}^{x} (1 + frac{1}{2}t^2) dt = [t + frac{1}{6}t^3]_0^x = x + frac{1}{6}x^3$。
代入极限：
$$ lim_{x o 0} frac{x + frac{1}{6}x^3}{x} = lim_{x o 0} (1 + frac{1}{6}x^2) = 1 $$
同样，这里也可以用洛必达法则：分子导数是 $(1+x^2)^{1/2}$，分母导数是 1，极限是 $lim_{x o 0} (1+x^2)^{1/2} = 1$。
极限的定义： 有时题目形式更接近于 $f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h)f(a)}{h}$ 这种形式。
例如：
$$ lim_{x o a} frac{int_{a}^{x} f(t) dt}{xa} $$
这个形式非常直接地就是微积分基本定理的定义。令 $F(x) = int_{a}^{x} f(t) dt$。那么这个极限就是 $lim_{x o a} frac{F(x) F(a)}{xa}$（因为 $int_{a}^{a} f(t) dt = 0$，所以 $F(a)=0$）。根据导数的定义，这就是 $F'(a)$。而 $F'(x) = f(x)$，所以 $F'(a) = f(a)$。
需要注意的细节和常见陷阱：
1. 积分变量和极限变量： 一定要区分清楚积分变量（比如 $t$）和极限变量（比如 $x$）。在对积分求导时，我们是把积分变量“去掉”，用极限变量替换它。
2. 积分上下限的顺序： $int_{b}^{x} f(t) dt = int_{x}^{b} f(t) dt$。求导时要注意这个负号。
3. 积分上限是函数时： 如果是 $int_{a}^{u(x)} f(t) dt$，那么对 $x$ 求导时，需要用到链式法则：$frac{d}{dx} int_{a}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) cdot u'(x)$。
4. 复杂的被积函数： 有些被积函数可能非常复杂，直接积分困难。这时更倾向于使用洛必达法则，并依赖微积分基本定理来处理积分的导数。
5. 极限不存在的情况： 如果洛必达法则应用后，新的极限仍然不存在，或者不满足洛必达法则的条件，那就需要考虑其他方法，比如泰勒展开。
总结一下计算步骤：
1. 仔细观察题目的结构： 明确极限和变限积分的对应关系。
2. 检查极限是否是 $[0/0]$ 或 $[infty/infty]$ 型：
如果是： 尝试使用洛必达法则。对分子和分母分别求导。关键是利用微积分基本定理将积分的导数替换为被积函数。
如果不是： 考虑直接计算积分（如果可能），或者用其他方法（如泰勒展开，极限定义等）。
3. 进行计算并检查结果： 求导过程要仔细，特别是涉及链式法则时。
遇到这类问题，最有效的学习方式就是多做练习。每次遇到一个新题目，就按照上面的思路去分析，尝试去应用微积分基本定理和洛必达法则。随着练习的深入，你就会对这类问题的处理更加得心应手。
核心思路：化繁为简，找到突破口
当我们看到一个带有极限的积分时，最直接的反应就是：这个积分能否在极限作用下被简化？ 或者说，这个积分的“行为”在极限意义下是什么样的？
第一步：审视积分内部，有没有什么可以简化或者利用的性质？
被积函数的形式： 首先仔细看看积分号里面的函数。它是什么类型？是多项式、三角函数、指数函数，还是它们的组合？有没有什么特殊的结构，比如可以进行变量替换或者分解的？
积分下限和上限： 积分的下限和上限是常数还是变量？这里是 $x$ 的函数，这很重要。变限积分的特点就是它的值是关于上限（或下限）的函数。
有没有其他参数？ 如果积分里面除了积分变量（比如 $t$）和上限变量（比如 $x$）外，还有其他参数，需要注意这些参数在积分和极限中扮演的角色。
第二步：考虑极限的性质，如何作用在积分上？
极限通常有两种常见的处理方式应用于积分：
1. 直接求出积分值再取极限： 如果被积函数的形式比较简单，或者积分的结构允许我们直接算出它的不定积分，然后将积分上限和下限代入，得到一个关于 $x$ 的函数，最后再对这个函数求极限。
2. 利用微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）： 这是处理变限积分时非常强大的工具。微积分基本定理告诉我们，如果 $F(x) = int_{a}^{x} f(t) dt$，那么 $F'(x) = f(x)$。这通常意味着，当我们看到 $int f(t) dt$ 这种形式，它的导数就是 $f(x)$。
那么，怎么结合起来计算呢？我们来分解一下，假设题目是这样的形式：
$$ lim_{x o a} frac{int_{b}^{x} f(t) dt}{g(x)} $$
这里的 $a$ 是一个常数， $b$ 也可以是常数，或者一个与 $x$ 无关的表达式。
情形一：当直接求积分可以化简，并且极限是 $[0/0]$ 或 $[infty/infty]$ 型时
如果发现 $int_{b}^{x} f(t) dt$ 这个积分的计算相对容易，并且当 $x o a$ 时，积分的值趋向于一个常数（比如 0），而分母 $g(x)$ 也趋向于 0，那么这就是一个典型的 洛必达法则（L'Hôpital's Rule） 的应用场景。
检查洛必达条件： 确保当 $x o a$ 时，$int_{b}^{x} f(t) dt o 0$ 且 $g(x) o 0$ （或者两者都趋向无穷）。
应用洛必达法则： 对分子和分母分别求导，然后计算新的极限：
$$ lim_{x o a} frac{left(int_{b}^{x} f(t) dt ight)'}{(g(x))'} $$
关键一步：对积分求导！ 这里就用到了微积分基本定理。根据微积分基本定理的第一部分，如果 $F(x) = int_{b}^{x} f(t) dt$，那么 $F'(x) = f(x)$。
所以，分子导数就是 $f(x)$。 分母的导数 $(g(x))'$ 就要根据 $g(x)$ 的具体形式来计算。
最终计算：
$$ lim_{x o a} frac{f(x)}{g'(x)} $$
然后计算这个新的极限。
举个例子来说明：
计算：
$$ lim_{x o 0} frac{int_{0}^{x} sin(t) dt}{x^2} $$
1. 审视积分： $int_{0}^{x} sin(t) dt$。这个积分很容易算：$int sin(t) dt = cos(t)$。所以 $int_{0}^{x} sin(t) dt = [cos(t)]_{0}^{x} = cos(x) (cos(0)) = cos(x) + 1$。
2. 检查极限类型： 当 $x o 0$ 时，分子 $cos(0) + 1 = 1 + 1 = 0$。分母 $x^2 o 0$。这是 $[0/0]$ 型。
3. 应用洛必达法则：
分子导数是 $(int_{0}^{x} sin(t) dt)'$。根据微积分基本定理，这是 $sin(x)$。
分母导数是 $(x^2)' = 2x$。
4. 计算新极限：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(x)}{2x} $$
这是一个经典的极限，值是 $1/2$。
再举个例子，这次直接用微积分基本定理求导：
计算：
$$ lim_{x o 1} frac{int_{2}^{x} frac{1}{t} dt}{x1} $$
1. 审视积分： $int_{2}^{x} frac{1}{t} dt$。积分本身我们知道是 $ln|t|$。
2. 检查极限类型： 当 $x o 1$ 时，分子 $int_{2}^{1} frac{1}{t} dt = [ln|t|]_{2}^{1} = ln(1) ln(2) = 0 ln(2) = ln(2)$。分母 $x1 o 0$。
哎呀，这里分子不趋向于 0！ 那么洛必达法则不适用。
我们换个题目，让它符合洛必达条件：
计算：
$$ lim_{x o 1} frac{int_{x}^{1} frac{1}{t} dt}{x1} $$
1. 审视积分： $int_{x}^{1} frac{1}{t} dt$。
2. 检查极限类型： 当 $x o 1$ 时，分子 $int_{1}^{1} frac{1}{t} dt = 0$。分母 $x1 o 0$。这是 $[0/0]$ 型。
3. 应用洛必达法则：
分子导数是 $(int_{x}^{1} frac{1}{t} dt)'$。注意积分上限是常数，下限是变量。我们可以写成 $int_{1}^{x} frac{1}{t} dt$。那么它的导数就是 $frac{1}{x}$。
分母导数是 $(x1)' = 1$。
4. 计算新极限：
$$ lim_{x o 1} frac{frac{1}{x}}{1} = lim_{x o 1} frac{1}{x} = frac{1}{1} = 1 $$
情形二：利用泰勒展开或者其他极限定义
有时候，直接求积分或者应用洛必达法则会很困难。这时可以考虑其他方法。
泰勒展开： 如果被积函数 $f(t)$ 在 $x$ 附近可以进行泰勒展开，我们可以尝试将积分内的函数展开，然后看积分值在 $x o a$ 时是如何近似的。
比如：
$$ lim_{x o 0} frac{int_{0}^{x} (1+t^2)^{1/2} dt}{x} $$
被积函数 $(1+t^2)^{1/2}$ 在 $t=0$ 附近展开是 $1 + frac{1}{2}t^2 + O(t^4)$。
那么 $int_{0}^{x} (1+t^2)^{1/2} dt approx int_{0}^{x} (1 + frac{1}{2}t^2) dt = [t + frac{1}{6}t^3]_0^x = x + frac{1}{6}x^3$。
代入极限：
$$ lim_{x o 0} frac{x + frac{1}{6}x^3}{x} = lim_{x o 0} (1 + frac{1}{6}x^2) = 1 $$
同样，这里也可以用洛必达法则：分子导数是 $(1+x^2)^{1/2}$，分母导数是 1，极限是 $lim_{x o 0} (1+x^2)^{1/2} = 1$。
极限的定义： 有时题目形式更接近于 $f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h)f(a)}{h}$ 这种形式。
例如：
$$ lim_{x o a} frac{int_{a}^{x} f(t) dt}{xa} $$
这个形式非常直接地就是微积分基本定理的定义。令 $F(x) = int_{a}^{x} f(t) dt$。那么这个极限就是 $lim_{x o a} frac{F(x) F(a)}{xa}$（因为 $int_{a}^{a} f(t) dt = 0$，所以 $F(a)=0$）。根据导数的定义，这就是 $F'(a)$。而 $F'(x) = f(x)$，所以 $F'(a) = f(a)$。
需要注意的细节和常见陷阱：
1. 积分变量和极限变量： 一定要区分清楚积分变量（比如 $t$）和极限变量（比如 $x$）。在对积分求导时，我们是把积分变量“去掉”，用极限变量替换它。
2. 积分上下限的顺序： $int_{b}^{x} f(t) dt = int_{x}^{b} f(t) dt$。求导时要注意这个负号。
3. 积分上限是函数时： 如果是 $int_{a}^{u(x)} f(t) dt$，那么对 $x$ 求导时，需要用到链式法则：$frac{d}{dx} int_{a}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) cdot u'(x)$。
4. 复杂的被积函数： 有些被积函数可能非常复杂，直接积分困难。这时更倾向于使用洛必达法则，并依赖微积分基本定理来处理积分的导数。
5. 极限不存在的情况： 如果洛必达法则应用后，新的极限仍然不存在，或者不满足洛必达法则的条件，那就需要考虑其他方法，比如泰勒展开。
总结一下计算步骤：
1. 仔细观察题目的结构： 明确极限和变限积分的对应关系。
2. 检查极限是否是 $[0/0]$ 或 $[infty/infty]$ 型：
如果是： 尝试使用洛必达法则。对分子和分母分别求导。关键是利用微积分基本定理将积分的导数替换为被积函数。
如果不是： 考虑直接计算积分（如果可能），或者用其他方法（如泰勒展开，极限定义等）。
3. 进行计算并检查结果： 求导过程要仔细，特别是涉及链式法则时。
遇到这类问题，最有效的学习方式就是多做练习。每次遇到一个新题目，就按照上面的思路去分析，尝试去应用微积分基本定理和洛必达法则。随着练习的深入，你就会对这类问题的处理更加得心应手。
网友意见
设原式为 。使用Stolz定理：
然后由一些三角变换可得：
所以再次使用Stolz定理：
由Lebesgue控制收敛定理，得
。
最后一步用到著名的Frullani 积分。
三角暴力预警！！！
长文预警！！！
因为其他答主都给出了简洁的做法，所以本菜鸡就反其道而行之，用最暴力的方法解题。下面是最最最暴力的一种做法，题主还有各位乎友们酌情食用。。。
预备公式
1.三角函数：
取 ，得
取 ，得
利用二倍角公式变形后有
2.数列求和
综合（5），（6）可得
3.积分
4.其他
一个前奏
综合（2）和（4）我们可以得到
也就是
同样的，利用二倍角公式也可得到
于是，由（10），（11）
即
高潮
其中
所以有
(根据（9）)其中
对于 ，仅需注意到
对于 ，由于
所以
由于
所以
于是
对 ，考虑
易知 （ ）
由Stolz定理，
类似的可得
于是
因而
END终章
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