机械臂如何实现笛卡尔空间中姿态的插值？

机械臂在笛卡尔空间中实现姿态插值是一个非常常见且重要的任务，它允许机械臂从一个已知姿态平滑地过渡到另一个已知姿态。这在轨迹规划、运动控制、模拟等领域至关重要。

我们将从基本概念出发，详细讲解机械臂在笛卡尔空间中姿态插值的实现方法。

1. 什么是姿态（Pose）？

在笛卡尔空间中，一个物体的姿态（Pose）通常由它的位置（Position）和方向（Orientation）组成。

位置 (Position): 由一个三维向量 $(mathbf{p} = [x, y, z])$ 表示，描述了物体在笛卡尔坐标系中的空间位置。
方向 (Orientation): 描述了物体相对于某个参考坐标系的旋转状态。在机器人领域，有多种方式表示方向：
旋转矩阵 (Rotation Matrix, $mathbf{R}$): 一个 $3 imes 3$ 的正交矩阵，其行列式为 1。它将一个坐标系的点映射到另一个坐标系下。
欧拉角 (Euler Angles): 用三个角度（例如：Roll, Pitch, Yaw）来描述绕三个坐标轴的连续旋转。然而，欧拉角存在万向锁（Gimbal Lock）问题，即在某些情况下自由度会丢失，导致插值不平滑或无法到达某些姿态。
四元数 (Quaternions): 一种四维复数，用四个实数 $(q_w, q_x, q_y, q_z)$ 表示。四元数是表示旋转的更稳健、更高效的方式，避免了万向锁问题，并且在球面插值时表现更好。

因此，一个完整的笛卡尔空间姿态可以用 $(mathbf{p}, mathbf{R})$ 或 $(mathbf{p}, mathbf{q})$ 来表示，其中 $mathbf{q}$ 是表示方向的四元数。

2. 为什么需要姿态插值？

平滑运动: 直接从一个姿态跳到另一个姿态会导致机械臂的运动非常生硬，甚至可能损坏机械臂或负载。插值能够生成平滑的轨迹，保证运动的连续性和安全性。
轨迹规划: 在进行路径规划时，我们通常会确定一系列的关键点（或称关键姿态）。为了让机械臂能够准确地跟随这些关键点，需要在它们之间进行插值，生成连续的运动指令。
动画和仿真: 在动画制作和仿真环境中，姿态插值是实现物体平滑动画的关键技术。

3. 笛卡尔空间姿态插值的挑战

直接对位置和方向分别进行插值可能会导致一些问题：

位置插值: 对于位置 $(mathbf{p})$，通常使用线性插值（Linear Interpolation, Lerp）或更高级的多项式插值来生成平滑的直线轨迹。
方向插值: 直接对表示方向的参数（如欧拉角）进行线性插值是不可取的。
欧拉角: 线性插值欧拉角可能会导致万向锁问题，或者在插值过程中经过不期望的中间方向。
旋转矩阵: 直接对旋转矩阵的元素进行线性插值也不会得到一个有效的旋转矩阵，因为插值后的矩阵可能不再是正交的，行列式也可能不再是 1。

因此，我们需要专门的方法来对方向进行平滑插值，最常用的方法是使用球面线性插值 (Spherical Linear Interpolation, Slerp)。

4. 姿态插值的方法

一个完整的姿态插值通常包含位置插值和方向插值两部分，它们可以独立进行，然后组合起来形成最终的姿态。

4.1 位置插值

假设我们有两个位置 $mathbf{p}_0$ 和 $mathbf{p}_1$。在时间段 $[0, T]$ 内，我们可以使用线性插值来生成中间位置 $mathbf{p}(t)$：

$$
mathbf{p}(t) = mathbf{p}_0 + frac{t}{T} (mathbf{p}_1 mathbf{p}_0)
$$

其中 $t$ 是当前时间，$T$ 是总插值时间。

更通用的，如果我们在参数 $s in [0, 1]$ 上进行插值：

$$
mathbf{p}(s) = (1s)mathbf{p}_0 + smathbf{p}_1
$$

这里的参数 $s$ 可以是时间占总时间的比例，或者其他表示进度的参数。

为了实现更平滑的运动，我们也可以使用更高级的多项式插值，例如三次样条插值，来生成更复杂的路径。但线性插值是最基础和常用的方法。

4.2 方向插值 (重点)

这里我们将重点介绍如何使用四元数进行方向插值，因为这是目前最主流和推荐的方法。

4.2.1 为什么使用四元数进行方向插值？

避免万向锁: 四元数没有万向锁问题。
球面插值: 四元数表示的是三维空间中的旋转，可以看作是单位球面上的点。对四元数进行球面插值（Slerp）能够沿着最短的球面路径进行插值，保证了插值过程的平滑性和方向上的连续性。

4.2.2 四元数基础回顾

一个四元数 $mathbf{q}$ 可以表示为 $q = w + xi + yj + zk$，通常写成向量形式 $mathbf{q} = [w, x, y, z]$。

表示旋转的四元数是单位四元数，即其范数 $|mathbf{q}| = sqrt{w^2 + x^2 + y^2 + z^2} = 1$。

两个四元数的乘法定义了旋转的复合。四元数的共轭 $mathbf{q}^ = w xi yj zk$ 与逆 $mathbf{q}^{1} = mathbf{q}^ / |mathbf{q}|^2$ 有关。对于单位四元数，$mathbf{q}^{1} = mathbf{q}^$。

将一个三维向量 $mathbf{v} = [x_v, y_v, z_v]$ 绕轴 $mathbf{u}$ (单位向量) 旋转 $ heta$ 度，对应的四元数表示为：
$mathbf{q} = cos( heta/2) + sin( heta/2) (u_x i + u_y j + u_z k)$
将向量 $mathbf{v}$ 表示为纯四元数 $mathbf{p}_v = [0, x_v, y_v, z_v]$。旋转后的向量 $mathbf{v}'$ 可以通过以下运算得到：
$mathbf{p}_{v'} = mathbf{q} mathbf{p}_v mathbf{q}^{1}$
$mathbf{p}_{v'}$ 的向量部分就是旋转后的向量 $mathbf{v}'$。

4.2.3 球面线性插值 (Slerp)

假设我们有两个单位四元数 $mathbf{q}_0$ 和 $mathbf{q}_1$，表示初始和目标方向。我们需要在参数 $s in [0, 1]$ 上进行插值，生成中间四元数 $mathbf{q}(s)$。

Slerp 的公式如下：

$$
mathbf{q}(s) = frac{sin((1s)Delta heta)}{sin(Delta heta)} mathbf{q}_0 + frac{sin(sDelta heta)}{sin(Delta heta)} mathbf{q}_1
$$

其中，$Delta heta$ 是两个四元数表示的旋转之间的角差。这个角差可以通过四元数的点积来计算：

$$
cos(Delta heta) = mathbf{q}_0 cdot mathbf{q}_1 = w_0 w_1 + x_0 x_1 + y_0 y_1 + z_0 z_1
$$

注意：为了得到最短的球面路径，我们需要确保 $Delta heta$ 在 $[0, pi]$ 范围内。如果 $cos(Delta heta)$ 为负，意味着两个四元数表示的旋转可以通过一个大于 $pi$ 的角度来实现，我们可以通过将 $mathbf{q}_1$ 变为其反对四元数 $(mathbf{q}_1)$ 来选择更短的路径，此时角差会变成 $pi Delta heta$。

具体步骤如下：

1. 计算点积: 计算 $mathbf{q}_0 cdot mathbf{q}_1$。
2. 处理极值: 如果点积接近 1，表示两个四元数非常接近，直接进行线性插值即可（或直接返回 $mathbf{q}_0$）。如果点积接近 1，表示两个四元数相差 180 度，需要特殊处理（例如，选择一个中间方向）。
3. 确定角度 $Delta heta$: 计算 $Delta heta = arccos(mathbf{q}_0 cdot mathbf{q}_1)$。
4. 处理短路径: 如果 $mathbf{q}_0 cdot mathbf{q}_1 < 0$，将 $mathbf{q}_1$ 替换为 $mathbf{q}_1$，并更新 $Delta heta = pi Delta heta$。
5. 计算插值系数: 计算插值系数 $alpha = frac{sin((1s)Delta heta)}{sin(Delta heta)}$ 和 $eta = frac{sin(sDelta heta)}{sin(Delta heta)}$。
6. 插值四元数: $mathbf{q}(s) = alpha mathbf{q}_0 + eta mathbf{q}_1$。
7. 归一化: 最后，将插值得到的四元数 $mathbf{q}(s)$ 归一化，以确保它仍然是一个单位四元数。

简化 Slerp 公式:

很多实现会将 $Delta heta$ 预先计算出来，并考虑了短路径的问题。一种常见的 Slerp 实现形式是：

令 $c = mathbf{q}_0 cdot mathbf{q}_1$。
如果 $c < 0$，则令 $mathbf{q}_1 = mathbf{q}_1$ 且 $c = c$。
令 $Delta heta = arccos(c)$。
如果 $sin(Delta heta) = 0$（即 $mathbf{q}_0 = mathbf{q}_1$ 或 $mathbf{q}_0 = mathbf{q}_1$），则直接返回 $mathbf{q}_0$ 或 $mathbf{q}_1$。

$$
mathbf{q}(s) = mathbf{q}_0 left( frac{sin((1s)Delta heta)}{sin(Delta heta)} ight) + mathbf{q}_1 left( frac{sin(sDelta heta)}{sin(Delta heta)} ight)
$$

或者，另一种常用的形式，使用角度 $ heta$ 直接计算：

$$
mathbf{q}(s) = mathbf{q}_0 cdot (mathbf{q}_0^{1} mathbf{q}_1)^{s}
$$
这里 $(mathbf{q}_0^{1} mathbf{q}_1)^{s}$ 表示将四元数 $mathbf{q}_0^{1} mathbf{q}_1$ 旋转角度的 $s$ 倍。

更通用的 Slerp 实现，它利用了四元数作为单位球面上的点这个性质，并且考虑了计算效率和数值稳定性：

```python
import numpy as np

def quaternion_slerp(q0, q1, t):
"""
Spherical linear interpolation between two quaternions.

Args:
q0 (np.ndarray): Start quaternion [w, x, y, z].
q1 (np.ndarray): End quaternion [w, x, y, z].
t (float): Interpolation parameter, 0.0 to 1.0.

Returns:
np.ndarray: Interpolated quaternion [w, x, y, z].
"""
Ensure quaternions are unit quaternions (optional, but good practice)
q0 = q0 / np.linalg.norm(q0)
q1 = q1 / np.linalg.norm(q1)

dot = np.dot(q0, q1)

If the dot product is negative, q0 and q1 are more than 180 degrees apart.
We can use the shorter path by negating q1.
if dot < 0.0:
q1 = q1
dot = dot

If quaternions are very close, use linear interpolation
if dot > 0.9995: Tolerance for floating point comparisons
result = q0 + t (q1 q0)
return result / np.linalg.norm(result)

Calculate the angle between the two quaternions
theta_0 = np.arccos(dot)
theta_t = theta_0 t

Calculate the Slerp coefficients
sin_theta_t = np.sin(theta_t)
sin_theta_0 = np.sin(theta_0)

s0 = np.sin(theta_0 theta_t) / sin_theta_0
s1 = sin_theta_t / sin_theta_0

Interpolate the quaternions
result = s0 q0 + s1 q1

return result / np.linalg.norm(result)

```

4.3 组合位置和方向插值

将位置插值和方向插值结合起来，就可以得到完整的姿态插值。

假设我们有两个姿态：
初始姿态: $(mathbf{p}_0, mathbf{q}_0)$
目标姿态: $(mathbf{p}_1, mathbf{q}_1)$

在参数 $s in [0, 1]$ 上进行插值：

$$
mathbf{p}(s) = (1s)mathbf{p}_0 + smathbf{p}_1
$$

$$
mathbf{q}(s) = ext{Slerp}(mathbf{q}_0, mathbf{q}_1, s)
$$

那么在插值过程中任何时刻的姿态都可以表示为 $(mathbf{p}(s), mathbf{q}(s))$。

5. 实际应用中的考虑

关键姿态的定义: 确定一系列关键姿态，这些姿态可以定义一个有意义的运动轨迹。
时间参数化: 如何将运动过程参数化。通常我们会设定一个总的运动时间 $T$，然后根据当前时间 $t$ 计算插值参数 $s = t/T$。如果需要速度或加速度控制，则需要更复杂的运动规划算法，例如多项式插值。
离散化: 机械臂的控制器通常以一定的频率（如 100 Hz 或 1000 Hz）执行指令。因此，我们需要将连续的姿态插值轨迹离散化为一系列的姿态指令。
雅可比矩阵和逆运动学: 姿态插值生成的是末端执行器的笛卡尔空间轨迹。要让机械臂实际执行这个轨迹，还需要将这些笛卡尔空间姿态转换为各关节的角度。这通常通过逆运动学（Inverse Kinematics, IK）来实现。在 IK 计算过程中，雅可比矩阵起着至关重要的作用。IK 的解算也需要注意平滑性和避免奇点。
欧拉角到四元数和四元数到欧拉角的转换: 在实际应用中，我们可能需要将欧拉角表示的姿态转换为四元数以进行 Slerp 插值，或者将插值后的四元数转换回欧拉角以供某些控制器使用。

5.1 欧拉角到四元数转换

一个绕 Z 轴旋转 $psi$ (Yaw)，然后绕 Y 轴旋转 $ heta$ (Pitch)，最后绕 X 轴旋转 $phi$ (Roll) 的顺序（ZYX convention）的欧拉角可以转换为四元数 $mathbf{q} = [w, x, y, z]$：

$phi' = phi/2$, $ heta' = heta/2$, $psi' = psi/2$
$w = cos(phi')cos( heta')cos(psi') + sin(phi')sin( heta')sin(psi')$
$x = sin(phi')cos( heta')cos(psi') cos(phi')sin( heta')sin(psi')$
$y = cos(phi')sin( heta')cos(psi') + sin(phi')cos( heta')sin(psi')$
$z = cos(phi')cos( heta')sin(psi') sin(phi')sin( heta')cos(psi')$

需要注意的是，欧拉角的顺序和定义方式有很多种，转换公式也会有所不同。

5.2 四元数到欧拉角转换

从四元数 $mathbf{q} = [w, x, y, z]$ 转换为欧拉角（假设为 ZYX convention）：

Roll ($phi$): $operatorname{atan2}(2(y z+w x), w^{2}x^{2}y^{2}+z^{2})$
Pitch ($ heta$): $operatorname{asin}(2(w yx z))$
Yaw ($psi$): $operatorname{atan2}(2(x z+w y), w^{2}+x^{2}y^{2}z^{2})$

6. 总结

机械臂在笛卡尔空间中实现姿态插值是一个多步骤的过程：

1. 表示姿态: 使用三维向量表示位置，使用单位四元数表示方向。
2. 位置插值: 对位置向量进行线性插值或其他平滑插值。
3. 方向插值: 对表示方向的单位四元数进行球面线性插值 (Slerp)，确保平滑的旋转过渡并避免万向锁。
4. 组合: 将插值后的位置和方向组合成新的姿态。
5. 逆运动学: 将笛卡尔空间的姿态轨迹转换为各关节的角度轨迹。

通过精心实现这些步骤，可以使机械臂实现平滑、精确且安全的运动。四元数 Slerp 是实现平滑方向插值的黄金标准。

之前理解错了题主的意思……

如果要把末端位置和方向矢量都进行规划，那么用四元数相关的一些方法是比较好的。现成方法很多，比如这篇文章“基于单位四元数机器人姿态插补算法”

https://www. google.com/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CCkQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.paper.edu.cn%2Fdownload%2FdownPaper%2F201303-190&ei=73UdU_q5O47zoATl04GYBQ&usg=AFQjCNEbSM7WJGaYrsOQ4YF2Qz8lv_jfnw&sig2=cXzqHyXBQXCnkcw2t7rtZw&bvm=bv.62578216,d.cGU

如果实在不想看论文，其实单独规划位置也是可以的。（有好几年没碰这个了，说错了的话，还请指出）先把位置和滚转用任何常见差值方法进行插值，然后把俯仰和偏航进行球面插值，最后组合在一起。甚至来说，俯仰和偏航单独插值都是可以的，只是轨迹会比较烂。