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问题

小数点后可以有无数位，为什么两个物体仍可以相互接触？

回答
这是一个非常有趣也深刻的问题，它触及了我们对“接触”的直观理解与数学、物理世界中“无限”概念之间的张力。

咱们从最日常的感受说起。我们摸桌子，摸墙壁，感觉它们是实实在在、牢固地挨在一起的。这种“接触”给我们的感觉是：它们之间没有缝隙，没有可以再分割的空间。

但是，一旦我们引入数学，特别是“小数点后可以有无数位”这个概念，事情就变得有点复杂了。

数学上的“无限”与现实的“接触”

数学中的小数，比如 $pi$（圆周率），是小数点后有无数不重复数字的无理数。这种“无限”性，在数学上是成立的，它意味着你永远找不到 $pi$ 的“最后一位”数字。

那么，如果两个物体真的在“接触”，它们的表面在数学模型上是不是就代表着两个点（或者更准确地说，点集）的“交集”？

如果从纯数学的角度来看，两个无限不循环小数代表的距离，例如0.999... 和 1.000...。在数学上，0.999... 是严格等于1的。也就是说，这两个数值上没有任何区别。如果我们将物体的“位置”用这些数值来描述，那么它们就处于同一个位置，自然是“接触”了，而且是“完全重叠”的接触。

但是，我们通常说的“接触”不是“重叠”。我们说两块积木接触，是指它们的边缘碰在一起，但仍然是两个独立的物体。

这里就出现了一个概念上的岔缝：

数学模型中的“接触”： 两个集合（代表物体表面）的交集不为空。
我们日常经验中的“接触”： 两个独立的物体，在它们最接近的边界处，相互施加了力的作用，并且没有明显的空隙。

为什么我们在现实世界中能“接触”？

即使我们认为物质是由极其微小的粒子（原子、电子等）组成的，但即使是这些粒子，它们之间也不是“实心实意”地一点缝隙都没有。原子的绝大部分空间都是空的，电子围绕原子核运动，更像是一种概率云，而不是在轨道上绕圈的微型行星。

那么，为什么我们会感觉物体之间是“接触”的呢？

1. 电磁力是关键： 我们感觉到的“接触”和“固体感”，主要来自于物质内部的电磁力。构成物体的原子和分子都有带电粒子（质子带正电，电子带负电）。当两个物体靠得很近时，它们表面的电子云会相互排斥。这种排斥力就是我们触摸物体时感受到的“硬”和“阻力”。这个排斥力非常强大，阻止了原子核之间的直接碰撞，也阻止了物体“穿透”彼此。

2. 能量势垒： 我们可以想象，这种电磁排斥力随着距离的减小而急剧增大，就像一个越来越陡峭的“能量势垒”。当两个物体试图进一步靠近时，需要克服巨大的能量才能让它们的原子核如此之近。所以，在日常尺度下，它们就表现为“接触”，因为再靠近需要付出“无限”的能量（在实际意义上）。

3. 宏观的近似： 在宏观层面，我们观察到的“接触”是一种非常精细的、由无数微观粒子之间的电磁相互作用累积起来的现象。虽然理论上，即使在“接触”的点上，如果将其无限放大，我们可能会看到粒子之间的“空隙”和“运动”，但这些空隙都太小了，小到在我们宏观的感知和力的作用下，它们被“填满”了。

为什么“无限小数”这个概念不直接导致“穿透”？

“小数点后无数位”这个概念，在数学上描述的是一个数值的精确度或连续性，而不是物理上“缝隙”的大小。

数学上的连续性： 数学上的实数线是连续的，它不像一个由离散的点组成的集合。任意两个不同的实数之间，总可以插入无数个其他的实数。这保证了我们可以在数学上描述“无限精细”的间隔。
物理上的“缝隙”： 即使在电子层面，它们也不是精确地处于某一个“小数点”对应的位置。电子的运动是概率性的，它们占据的是一个“轨道”或者“电子云”。我们感觉到的“接触”是这些电子云之间的相互作用。

所以，我们可以这样理解：

数学的视角： 如果我们将物体的表面看作是数学上的“集合”，接触就是这两个集合有交集。即使这些集合的边界在数学上是无限“复杂”的（比如用无限小数描述），但只要它们有交集，它们就“接触”了。
物理的视角： 实际的“接触”是由电磁力在微观层面阻止粒子进一步靠近而产生的宏观现象。尽管在放大到接近粒子尺度的过程中，我们可能会看到“空隙”，但这些空隙的尺度以及内部粒子的行为，使得宏观上我们体验到的是“不可穿透”的接触。

总结来说，

“小数点后可以有无数位”描述的是数学上的连续性和精度，它允许我们用无限精细的方式描述距离和位置。然而，我们日常生活中感受到的“接触”，更多是物理现象，是微观粒子（主要是电子）之间的电磁排斥力在宏观上的体现。这些力阻止了物体“真正”地相互穿透，即便是在最接近的边界处，我们体验到的也是这种强大的排斥力，而不是它们“消失”或“重叠”。

换句话说，数学上的无限精度并没有创造出可以被宏观力克服的“无限小缝隙”来让物体穿透。物体之间的“接触”是电磁力的强大作用，它在微观粒子层面就阻止了进一步的“渗透”。我们所说的“接触”是在宏观力学意义上的“边界相遇”并相互作用，而不是数学上“点集重叠”的抽象概念。

因此，这两个概念并不矛盾。数学允许我们描述无限精细的间隔，而物理定律（尤其是电磁力）则决定了在这些间隔的极限处，物体会表现出“接触”和“阻挡”的现象。

网友意见

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这个主题有意思，我来回答问题。

题主的这个观点我也有过。不但我有，许多人也有，连古希腊的人都有。这个观点的关键在于，它忽略了时间因素。

我们先来建立基本概念：来看下图：

从图1、图2和图3中看到，物体M1和M2之间的距离越来越接近，即： 。

按主题，我们会发现，物体间的距离是一个连续变化的数列，即：

我们来观察数列Mn，发现它有如下特征：

第一，它是单调递减数列，也即后项一定小于前项；

第二，它有最大值存在，这个最大值就是首项L1；

第三，它是有界数列。数列的每一项都大于零，零就是它们的下界。

根据数学分析中有关数列极限存在的定理：单调且有界的数列必有极限。由此可知必有：

。

也就是说，物体间的距离L的极限是零。

题主的疑问就出现在这里。

题主认为，物体相互接近的过程是可以无限地进行下去的。就如同Mn数列中的那些L项，它们的数量是无穷的。

那么问题出在哪里呢？

问题在于，我们仅仅考虑了空间因素，而没有考虑到时间因素。如果只是考虑空间因素，那么上述过程是无限的。但我们加入时间因素，并引入速度的概念，则上述过程就是有限的。

速度，它的定义就是距离或者位移的改变量对时间改变量之比。也即 。速度其实就是空间与时间的联系媒介。

设物体1的速度是V1，物体2的速度是V2，它们之间的最大距离是L1，则它们相遇的时间T是：

。

我们来推导一下距离与速度的关系式。从图1到图3，我们能看出有如下关系式成立：

，，。

我们发现，时间tn-1与Ln之间有了关联性。

也就是说：当t<T时，题主能观察到物体相互接近的现象；当t=T时，物体相遇；当t>T时，两物体之间的距离越来越大，它们逐渐远去。

我们很容易由Ln的表达式求出结果的：

当N趋于无穷大时Ln趋于零，则有：

注意到此时的tn-1其实就是T，于是我们就得到了 T=L1/(V1+V2) 这个结论。

在这里我们把时间与空间关联起来了。尽管距离的取值还是无穷小量，但在时间参与之后，距离的无穷小量连印迹都没有留下，系统中的参量都是有限的常态的。我们终于撇开了悖论。

总结一下：

讨论实物物体的运动时，要想到它处于时空坐标系中，不能把空间与时间割裂开来讨论。

若强制性地割裂开来讨论问题，例如仅仅只考虑空间，则会出现题主主题所论及的情况；如果仅仅只考虑时间，则会出现类似超光速的运行情况，或者永恒的静止不动。

现在回答题主的问题：

1.相向而行的两个物体，之间的距离可以由1缩短为0.01米，继续0.01………0.00000000001…，那最后是怎么变为0呢？这是否说明了数字的局限性。

回答：

物体间的距离可以无穷小，数字没有局限性。

请题主注意：要用极限的观点来看问题，而不要把自己绕进具体的数字形式中去。

2.世界是连续的吗？如果世界是连续的，如何想象两个物体间的距离怎么变成零的。

回答：

这个问题的内涵极深，需要几本书来解释。在这里还是就事论事，具体见我的回答。

3.小数点后可以有无数位，两个物体为什么可以相互接触？

见我的回答，把时间考虑进去，一切都是明朗的。

物体的相互接触，其实就是物体在时间和空间中的相互作用。

我们每天上班学习，举手投足之间总会碰见各种物件，这些接触都在日常生活中日复一日地反复出现，我们都习以为常了。这里既有空间位置的移动，也有时间上的安排。如果这些活动不考虑时间，我们没法想象会如何。

我们人类生活在由三维空间与时间维构成的时空中，只有时空才是本质的东西，是我们的本源。在时空中脱离了时间来讨论物体运动，或者脱离了物体运动来讨论时间，都毫无意义。

至此，题主的问题回答完毕。

==================

说实话，看到题主在写极小数值时如此费劲，有点难受。来给题主解两道题，让题主明白书写格式，并粗略地了解有关极限的最基础知识吧。

第一道题：我们设这两个物体是小钢球，它们的直径均为2.5mm。初始状态下，它们之间的外缘距离是1m。它们相向运动的速度分别是V1=1cm/s和V2=1.5cm/s。若忽视地面的摩檫力和空气阻力，求：

1.它们相互碰撞的时间；2.两者运动到间距为1微米时所用的时间，两者运动到间距为1纳米时所用的时间。

解：

当书写微小数值时，尽量采用数量级的方法书写，所用单位也尽量标准化（ISO标准）。

我们看下图：

解1：根据图4和图5，我们确定了碰撞时间T为：

也就是说，38秒后它们的PP将撞在一起。

解2：在上式的分子部分减去间距K，K分别等于1微米和1纳米，求解即得：

间距K为1微米：

间距K为1纳米：

我们看到，尽管两小球之间的距离已经如此之小，并且t1和t2与T的时间差值也如此之小（偏差已经到了小数点后第8位），但我们并没有看到有什么惊天动地的事情发生，更没有悖论存身之处，任何力量都无法阻止它们最终撞在一起。

这就是时间的作用，两小球似有情人终成眷属！

所以，在计算物体的位置变化时，一定要把时间因素考虑进去，一切都十分自然明了。这就是时空的作用。

第二道题：有关数列极限的定义

对于数列{Xn}，设存在一有限数a，对于任意给定的小正数ε，总有正整数N(ε)，当n>N时，有：|Xn-a|<ε都成立，则称数列{Xn}以a为极限，记为： 。

我们来细看这个定义：

所谓任意给定的小正数ε，预示着要多小就有多小的意思。我们不必象题主那样在小数点后添加N个零，直接用ε来表示就可以了。

当ε确定后，我们发现总能在数列中找到某个对应项，它的序列编号是n，满足|Xn-a|=ε。记下这个n，并把n换成正整数N。我们发现从此之后，对于所有的序号n>N，|Xn-a|<ε都成立。

由于ε具有任意性，并且对每一个不同的ε，都可以找到对应的N。于是量变引起了质变：数列落入了圈套中而不可自拔，于是a就成为数列{Xn}的极限了。

看个实例：我们设Xn=1/n，其中的n=1，2，3，……。看得出来，当n趋于无穷大时，数列{Xn}的极限就是0。

现在，我们让 ，我们来看看对应的N是多少？

因为： ，故有： 。

于是我们取n=1001，则有： 成立。

我们当然可以让ε取更小的值，并求出对应的N，并且可以无限地进行下去。我们看到，其实数列Xn的编号n是ε的函数。

正是因为ε要多小就有多小，并且是任意给定的，所以才有最后的结论，数列{Xn}以0为极限。

回过头来，我们再看图1到图3中长度L构成的数列 ，其中各项可不正是如此吗？

至于偏差书写，我们完全不必象题主那样用“0.01………0.00000000001…”来表述，直接使用ε就可以了。

注意：这个定义非常著名，它就是极限的柯西定义。有趣的是，这个定义的表述方法很象定理，并且还有人试图来证明。结果呢，反而证明了它的确是定义。

柯西数列极限定义是解决第二次数学危机的最关键一步。

不知道大家注意到没有？我们在推导过程中用到了自然数序列的一个特征，就是后项比前项大，并且相邻项的偏差是1。这个特征，在有关集合论的数学第三次大危机中扮演了一定的角色。

内容太多了，就此结束吧。

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