陶哲轩为什么用一个新公理代替了旧的幂集公理？
陶哲轩并不是用一个“新公理代替了旧的幂集公理”。严格来说，他是从与幂集公理相关但又不完全相同的角度出发，引入了新的概念和技术来处理集合论中一些棘手的问题，尤其是在“大基数”理论和一些集合论的特定应用中。这更多是一种扩展和深化，而不是简单的替换。
要详细解释这一点，我们需要先回顾一下旧的幂集公理，以及它在集合论中的地位，然后才能理解陶哲轩工作的切入点和意义。
旧的幂集公理（Power Set Axiom）
在标准的ZermeloFraenkel集合论（ZF或ZFC，其中C代表选择公理）中，幂集公理是一个至关重要的公理。它的表述是：
对于任意一个集合 A，存在一个集合 P，使得 P 中的所有元素都是 A 的子集。
用符号表示就是：
$forall A exists P forall x (x in P iff x subseteq A)$
这个公理保证了对于任何一个集合，我们都可以构造出包含它所有子集的集合。例如，如果 $A = {1, 2}$，那么它的幂集 $P(A)$ 就是 ${emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$。
幂集公理在集合论中扮演着核心角色，它使得我们可以构建出更复杂的集合，并且在逻辑和数学的许多分支中都有直接的应用。例如，在拓扑学中，空间的子集空间（幂集）是一个基本的研究对象；在计算机科学中，与语言相关的集合（如所有子串的集合）也体现了幂集的概念。
为什么会有“替换”的说法？或者说，陶哲轩的工作与幂集公理的“紧张关系”在哪里？
陶哲轩的工作并非是要推翻或取代幂集公理本身。ZFC集合论是目前数学的基石，绝大多数数学家都在这个框架下进行研究。陶哲轩也是如此。他的工作往往是在现有集合论框架内，利用非常规的、深刻的数学工具来解决问题。
他的工作之所以可能让你联想到“新的公理”或者“对旧公理的某种调整”，更可能与以下几个方面有关：
1. 构造性集合论与非构造性: 幂集公理在某些情况下会带来非常巨大的集合。例如，一个无限集合的幂集比原集合“大得多”（基数意义上）。在一些“强构造性”的数学分支中，比如直觉主义数学，数学对象必须是可构造的。而幂集公理提供的集合构造方式，在直觉主义者看来可能过于“非构造性”，或者说它允许存在的集合，其构造过程可能无法明确描述。虽然陶哲轩并非直觉主义者，但他对构造性数学方法和组合学有深入研究，并且在处理极端复杂数学对象时，对它们“可构造性”和“可计算性”的思考是深藏其中的。
2. 大基数理论的背景: 在现代集合论中，有一个分支叫做“大基数理论”。这个理论研究的是那些比我们日常使用的基数（如 $aleph_0, aleph_1$ 等）大得多的、具有特定性质的基数。大基数的存在通常需要引入比ZFC更强的公理，这些公理通常被认为是“可容忍的”（consistent with ZFC）。
一些大基数的定义就间接地与幂集公理有关。例如，某个大基数的定义可能会涉及到对某些“非常大”的集合的幂集进行某种限制或操作。虽然这不是直接修改幂集公理，而是基于它构建出更强大的概念。
3. 与“模型论”和“独立性”的联系: 数学中有时会探索不同集合论公理系统的相容性。比如，我们知道连续统假设（CH）与ZFC是独立的，也就是说，既不能从ZFC推导出CH，也不能从ZFC推导出¬CH。这表明存在ZFC相容但CH为真的模型，也存在ZFC相容但CH为假的模型。
陶哲轩的某些工作可能涉及到对集合论基础的某种“探索性”的理解，或者是在构建某些模型时，需要更精细的工具来处理集合的性质。虽然他不是在创造一套全新的公理体系来取代ZFC，但他在利用和拓展现有工具时，可能会遇到一些“边界情况”，从而发展出新的技术或视角。
4. “有限组合学”与“无限集合论”的桥梁: 陶哲轩在很多领域的贡献，在于他能够将深刻的分析和代数思想与高度的组合学技巧结合起来，并且还能在现代拓扑学、动力系统等领域中找到应用。他最著名的一些结果，比如关于“算术可分性”（arithmetic combinatorics）的工作，虽然不是直接处理集合论的公理，但其核心在于理解大规模、高度结构化的离散集合的性质。在这些研究中，如何“构造”或“描述”大量的离散对象，以及这些对象的“规模”和“结构”如何，是至关重要的。
陶哲轩如何“发展”了与幂集公理相关的思想？
与其说是他“用一个新公理代替了旧的幂集公理”，不如说他：
深度利用了幂集公理的含义： 在处理诸如数学物理中的一些问题时，研究者可能会遇到非常复杂、甚至难以用标准集合论语言完美描述的对象。陶哲轩擅长通过细致的分析、精巧的组合学方法来“驯服”这些复杂性。这其中，对“集合的集合”或者“集合的结构”的深刻理解是必不可少的，而这正是幂集公理所隐含的。
引入了新的工具和框架： 他最显著的贡献之一，是在算术可分性领域发展的许多技术，例如“畴理论”（category theory）中的某些视角、他推广的“维纳遍历定理”（Wiener’s ergodic theorem）的组合学类比，以及他在“傅里叶分析与组合学”交叉领域的工作。这些工具可以帮助我们更精细地研究集合的结构、分布和度量，从而在一定程度上“绕过”了直接处理极端庞大或抽象集合的困难，或者提供了对这些集合的更精确的描述。
推动了对“随机性”与“结构性”的理解： 在很多数学领域，我们不仅关心对象的性质，还关心它们的“普遍性”或“随机性”。陶哲轩的工作经常涉及在某种意义上“平均”或“典型”的行为。这可能让他以不同于传统集合论的方式来思考集合的存在性和性质。
总结一下：
陶哲轩并没有提出一套新的集合论公理来取代ZFC中的幂集公理。他的工作是在现有的数学框架内进行的。但他对集合论中的某些概念，特别是与集合的规模、结构以及可构造性相关的部分，有着非常深入和创新的理解。他的贡献在于发展了强有力的数学工具和视角，使得我们能够更有效地研究那些在表面上看起来与幂集公理的强大构造能力相关，但又极其复杂或难以直接处理的数学对象。
如果你听到“陶哲轩用一个新公理代替了旧的幂集公理”，那很可能是一种对他的工作方向的误解或过度简化。更准确的说法是，他通过发展新的数学工具和分析方法，深化了我们对集合论基本概念（包括幂集公理所蕴含的结构和规模）的理解，并在某些情况下提供了更精细、更具构造性的视角来处理数学中的核心问题。
要详细解释这一点，我们需要先回顾一下旧的幂集公理，以及它在集合论中的地位，然后才能理解陶哲轩工作的切入点和意义。
旧的幂集公理（Power Set Axiom）
在标准的ZermeloFraenkel集合论（ZF或ZFC，其中C代表选择公理）中，幂集公理是一个至关重要的公理。它的表述是：
对于任意一个集合 A，存在一个集合 P，使得 P 中的所有元素都是 A 的子集。
用符号表示就是：
$forall A exists P forall x (x in P iff x subseteq A)$
这个公理保证了对于任何一个集合，我们都可以构造出包含它所有子集的集合。例如，如果 $A = {1, 2}$，那么它的幂集 $P(A)$ 就是 ${emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$。
幂集公理在集合论中扮演着核心角色，它使得我们可以构建出更复杂的集合，并且在逻辑和数学的许多分支中都有直接的应用。例如，在拓扑学中，空间的子集空间（幂集）是一个基本的研究对象；在计算机科学中，与语言相关的集合（如所有子串的集合）也体现了幂集的概念。
为什么会有“替换”的说法？或者说，陶哲轩的工作与幂集公理的“紧张关系”在哪里？
陶哲轩的工作并非是要推翻或取代幂集公理本身。ZFC集合论是目前数学的基石，绝大多数数学家都在这个框架下进行研究。陶哲轩也是如此。他的工作往往是在现有集合论框架内，利用非常规的、深刻的数学工具来解决问题。
他的工作之所以可能让你联想到“新的公理”或者“对旧公理的某种调整”，更可能与以下几个方面有关：
1. 构造性集合论与非构造性: 幂集公理在某些情况下会带来非常巨大的集合。例如，一个无限集合的幂集比原集合“大得多”（基数意义上）。在一些“强构造性”的数学分支中，比如直觉主义数学，数学对象必须是可构造的。而幂集公理提供的集合构造方式，在直觉主义者看来可能过于“非构造性”，或者说它允许存在的集合，其构造过程可能无法明确描述。虽然陶哲轩并非直觉主义者，但他对构造性数学方法和组合学有深入研究，并且在处理极端复杂数学对象时，对它们“可构造性”和“可计算性”的思考是深藏其中的。
2. 大基数理论的背景: 在现代集合论中，有一个分支叫做“大基数理论”。这个理论研究的是那些比我们日常使用的基数（如 $aleph_0, aleph_1$ 等）大得多的、具有特定性质的基数。大基数的存在通常需要引入比ZFC更强的公理，这些公理通常被认为是“可容忍的”（consistent with ZFC）。
一些大基数的定义就间接地与幂集公理有关。例如，某个大基数的定义可能会涉及到对某些“非常大”的集合的幂集进行某种限制或操作。虽然这不是直接修改幂集公理，而是基于它构建出更强大的概念。
3. 与“模型论”和“独立性”的联系: 数学中有时会探索不同集合论公理系统的相容性。比如，我们知道连续统假设（CH）与ZFC是独立的，也就是说，既不能从ZFC推导出CH，也不能从ZFC推导出¬CH。这表明存在ZFC相容但CH为真的模型，也存在ZFC相容但CH为假的模型。
陶哲轩的某些工作可能涉及到对集合论基础的某种“探索性”的理解，或者是在构建某些模型时，需要更精细的工具来处理集合的性质。虽然他不是在创造一套全新的公理体系来取代ZFC，但他在利用和拓展现有工具时，可能会遇到一些“边界情况”，从而发展出新的技术或视角。
4. “有限组合学”与“无限集合论”的桥梁: 陶哲轩在很多领域的贡献，在于他能够将深刻的分析和代数思想与高度的组合学技巧结合起来，并且还能在现代拓扑学、动力系统等领域中找到应用。他最著名的一些结果，比如关于“算术可分性”（arithmetic combinatorics）的工作，虽然不是直接处理集合论的公理，但其核心在于理解大规模、高度结构化的离散集合的性质。在这些研究中，如何“构造”或“描述”大量的离散对象，以及这些对象的“规模”和“结构”如何，是至关重要的。
陶哲轩如何“发展”了与幂集公理相关的思想？
与其说是他“用一个新公理代替了旧的幂集公理”，不如说他：
深度利用了幂集公理的含义： 在处理诸如数学物理中的一些问题时，研究者可能会遇到非常复杂、甚至难以用标准集合论语言完美描述的对象。陶哲轩擅长通过细致的分析、精巧的组合学方法来“驯服”这些复杂性。这其中，对“集合的集合”或者“集合的结构”的深刻理解是必不可少的，而这正是幂集公理所隐含的。
引入了新的工具和框架： 他最显著的贡献之一，是在算术可分性领域发展的许多技术，例如“畴理论”（category theory）中的某些视角、他推广的“维纳遍历定理”（Wiener’s ergodic theorem）的组合学类比，以及他在“傅里叶分析与组合学”交叉领域的工作。这些工具可以帮助我们更精细地研究集合的结构、分布和度量，从而在一定程度上“绕过”了直接处理极端庞大或抽象集合的困难，或者提供了对这些集合的更精确的描述。
推动了对“随机性”与“结构性”的理解： 在很多数学领域，我们不仅关心对象的性质，还关心它们的“普遍性”或“随机性”。陶哲轩的工作经常涉及在某种意义上“平均”或“典型”的行为。这可能让他以不同于传统集合论的方式来思考集合的存在性和性质。
总结一下：
陶哲轩并没有提出一套新的集合论公理来取代ZFC中的幂集公理。他的工作是在现有的数学框架内进行的。但他对集合论中的某些概念，特别是与集合的规模、结构以及可构造性相关的部分，有着非常深入和创新的理解。他的贡献在于发展了强有力的数学工具和视角，使得我们能够更有效地研究那些在表面上看起来与幂集公理的强大构造能力相关，但又极其复杂或难以直接处理的数学对象。
如果你听到“陶哲轩用一个新公理代替了旧的幂集公理”，那很可能是一种对他的工作方向的误解或过度简化。更准确的说法是，他通过发展新的数学工具和分析方法，深化了我们对集合论基本概念（包括幂集公理所蕴含的结构和规模）的理解，并在某些情况下提供了更精细、更具构造性的视角来处理数学中的核心问题。
网友意见
这俩公理是等价的——如果我们承认了存在公理(存在一个集合)，并集公理，对集公理和分离模式公理。
新幂集公理推老幂集公理是trivial的。
存在公理+分离模式公理→Ф存在。
Ф存在+对集公理→{Ф}存在
Ф存在+{Ф}存在+对集公理→{Ф,{Ф}}存在
新幂集公理+{Ф,{Ф}}存在→老幂集公理(把像集取成{Ф,{Ф}})
老幂集公理推新幂集公理如下
X×Y存在(笛卡尔积)+老幂集公理→P=X×Y的幂集存在
P存在+分离模式公理→新幂集公理(用形式语言表达一下，不同的X对应的Y不同)
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