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问题

什么是多因子定价模型？APT（套利定价理论）、Fama-French三因子模型之间的关系是怎样的？

回答
好的，我们来深入聊聊多因子定价模型，特别是APT和FamaFrench三因子模型，以及它们之间的联系。我会尽量用一种更自然、更像是专业人士在交流的方式来阐述。

理解定价模型的核心：为什么我们需要模型？

首先，我们要明白，金融市场上的资产，无论是股票、债券还是其他什么，其价格都不是随意波动的。价格的变动，尤其是在风险和收益之间，是受到多种因素影响的。定价模型就是试图捕捉这些影响因素，并解释资产的预期回报率（或者说，我们应该期望从这项资产中获得多少回报）。

传统的资本资产定价模型（CAPM）是第一个广为接受的模型，它认为资产的预期回报率只与它的系统性风险（也叫市场风险，通常用Beta系数衡量）有关。简单来说，就是市场整体涨跌对这只股票的影响程度。但随着金融研究的深入，人们发现CAPM往往解释不了实际观察到的资产收益差异。有些股票，即使它们的Beta值很低，但依然能提供很高的回报；反之亦然。这说明，可能还有其他因素在影响资产的价格。

多因子定价模型：扩大视野

多因子定价模型正是在这个背景下诞生的。它不满足于单一的市场因子，而是认为资产的预期回报率是由多个宏观经济因子或微观经济因子共同决定的。这些因子代表了影响整个市场或特定资产组合的不同风险来源。如果一个资产暴露在某个因子下，那么它就应该因此获得相应的风险溢价（也就是额外的预期回报）。

可以把这些因子想象成驱动股票价格变动的不同的“风”。CAPM只考虑了“一股风”（市场风），而多因子模型则认为还有“其他风”（比如经济增长的风、通货膨胀的风、行业特色的风等等）。

APT（套利定价理论）：理论框架的奠基者

套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，简称APT）是多因子定价模型的一个非常重要的理论基石。它由Stephen Ross在1976年提出。APT最核心的贡献在于，它并没有像CAPM那样预设因子是什么，而是提供了一个更加一般化的理论框架。

APT的基本思想是：如果市场是有效的，那么不存在无风险套利的机会。也就是说，你可以通过构建一个“零风险”的投资组合，来赚取无风险的利润。APT认为，如果存在这样的无风险套利机会，理论上聪明的投资者会立即进行交易，直到套利机会消失。

基于这个思想，APT推导出一个结论：资产的预期回报率可以由一系列因子线性表示，并且这些因子与资产的协方差（也就是因子敏感度或因子暴露度）有关。

用数学公式来说，APT是这样描述的：

$E(R_i) = lambda_0 + eta_{i1} lambda_1 + eta_{i2} lambda_2 + ... + eta_{iN} lambda_N$

其中：
$E(R_i)$ 是资产 $i$ 的预期回报率。
$lambda_0$ 是无风险利率（通常是零因子下的预期回报）。
$eta_{ij}$ 是资产 $i$ 对因子 $j$ 的敏感度（或者称为因子暴露度），衡量资产价格对因子变动的反应程度。
$lambda_j$ 是因子 $j$ 的风险溢价，表示投资者因为承担因子 $j$ 所带来的风险而要求的回报。
$N$ 是因子的数量。

APT的精髓在于它的“不预设性”。APT本身并没有说这些因子具体是什么。它可以是宏观经济变量（如GDP增长率、通货膨胀率、利率变动），也可以是其他任何影响资产价格的因素。这为后续的研究提供了极大的灵活性。

APT的挑战：因子识别与实证检验

然而，APT的理论优势也带来了实证上的挑战：

1. 因子识别困难：APT没有指定因子是什么，这就意味着我们需要通过统计方法（如因子分析）来识别可能影响资产收益的因子。这本身就是一个复杂且主观的过程。
2. 实证检验的限制：由于因子数量和具体内容不确定，APT的实证检验变得更加困难。我们无法直接测试“APT理论”本身，只能测试在假设了某些因子后，模型是否能解释资产收益。

FamaFrench三因子模型：APT的成功应用与里程碑

正是为了克服APT在因子识别上的困难，Gene Fama和Kenneth French在1992年和1993年提出了著名的FamaFrench三因子模型，这可以说是APT理论的一个非常成功的实证应用。

Fama和French通过对大量股票数据的实证研究，发现有两个因子除了传统的市场因子之外，对解释股票收益的差异具有显著的解释力：

1. 市场因子 (MKT)：这与CAPM中的市场因子是类似的，代表了市场整体的超额收益（市场收益率减去无风险利率）。它衡量的是资产对系统性市场风险的暴露。
2. 市值因子 (SMB Small Minus Big)：这是指“市值小的股票组合的超额收益减去市值大的股票组合的超额收益”。Fama和French发现，市值较小的公司股票往往比市值较大的公司股票能提供更高的平均回报率，即使在控制了市场风险之后也是如此。这表明“小公司效应”是另一个重要的风险因素。他们认为，市值小的公司通常风险更高（例如流动性差、信息不对称等），所以投资者要求更高的回报。
3. 账面市值比因子 (HML High Minus Low)：这是指“账面市值比高的股票组合的超额收益减去账面市值比低的股票组合的超额收益”。Fama和French发现，账面市值比高的公司（即价值股）股票往往比账面市值比低的公司（即成长股）股票能提供更高的平均回报率。这表明“价值股效应”也是一个重要的风险因素。他们认为，高账面市值比的股票通常代表了财务困境或被市场低估的公司，其风险更高，因此需要更高的回报。

将这三个因子结合起来，FamaFrench三因子模型可以表示为：

$E(R_i) R_f = eta_{i,MKT} (E(R_{MKT}) R_f) + eta_{i,SMB} E(SMB) + eta_{i,HML} E(HML)$

或者，用超额收益的形式表示：

$R_i R_f = alpha_i + eta_{i,MKT} (R_{MKT} R_f) + eta_{i,SMB} SMB + eta_{i,HML} HML + epsilon_i$

其中：
$R_i$ 是资产 $i$ 的收益率。
$R_f$ 是无风险利率。
$R_{MKT}$ 是市场投资组合的收益率。
$R_i R_f$ 是资产 $i$ 的超额收益率。
$R_{MKT} R_f$ 是市场投资组合的超额收益率。
$SMB$ 是市值因子（小市值股票的平均超额收益减去大市值股票的平均超额收益）。
$HML$ 是账面市值比因子（高账面市值比股票的平均超额收益减去低账面市值比股票的平均超额收益）。
$eta_{i,MKT}$, $eta_{i,SMB}$, $eta_{i,HML}$ 分别是资产 $i$ 对市场因子、SMB因子和HML因子的敏感度。
$alpha_i$ 是模型未能解释的超额收益（残差项），在理论上，如果模型能完全解释收益，它应该为零。
$epsilon_i$ 是随机误差项。

APT与FamaFrench三因子模型的深层联系

现在，我们来看它们之间的关系。APT提供了一个理论上的框架，指出资产收益应该与多个因子相关联，并受这些因子风险的补偿。而FamaFrench三因子模型则是APT框架下的一个具体的实证模型。

你可以这样理解：

APT是蓝图，FamaFrench是其中一种建造方案。 APT告诉我们，资产价格应该反映多个风险因素，但它没有规定这些因素必须是什么。它是一个原则性的理论。
FamaFrench模型是根据数据找到的“具体风险因子”，来填充APT的框架。 Fama和French通过大量数据分析，发现了“市值”和“账面市值比”这两个因子，它们能够显著地解释股票收益的横截面差异。这些因子可以被认为是APT理论中提到的那些代表特定风险的因素。
FamaFrench模型是APT的实证例证。 它证明了多因子模型在解释股票收益方面比单因子CAPM更有效。许多研究人员认为，SMB和HML因子之所以能提供风险溢价，是因为它们代表了市场投资者无法完全分散的风险。例如，小公司可能面临更高的财务风险和流动性风险，价值股可能面临更高的经营风险或被市场忽视的风险。投资者因为承担这些风险，所以要求更高的回报。

后续发展：FamaFrench五因子模型等

APT的灵活性也意味着还有更多的因子可以被发现和纳入模型。Fama和French自己也在此基础上发展了五因子模型，加入了盈利能力因子（CMA Conservative Minus Aggressive）和投资因子（RMW Robust Minus Weak），进一步提升了模型的解释力。这些模型都继承了APT的精髓——资产收益是由多个因子暴露度与因子风险溢价的乘积之和来解释。

总结一下它们的关系：

1. 理论与实践： APT是一个理论框架，它解释了资产价格应如何反映多个风险因子。FamaFrench三因子模型是一个实证模型，它在APT框架下识别并使用了具体的因子（市场、市值、账面市值比）来解释股票收益。
2. 一般性与具体性： APT是一般性的，它不限定因子的具体类型。FamaFrench模型是具体性的，它提供了三个在实证中被证明有效的因子。
3. 启发与验证： APT为多因子模型的研究提供了理论基础和方向。FamaFrench模型是对APT理论的成功验证，并展示了如何通过实证方法来构建多因子模型。
4. 发展脉络： APT是先驱，其后出现了各种实证模型来验证和应用，FamaFrench模型是其中最著名和最有影响力的一个，并且其研究也激励了后续更多的因子模型的出现。

理解多因子定价模型，特别是APT和FamaFrench模型，对于我们理解资产定价的复杂性、评估投资组合的风险和收益，以及进行更有效的投资决策至关重要。它们揭示了金融市场并非只受单一“市场风险”驱动，而是由一系列更深层次的风险驱动，而投资者则会为承担这些风险而获得相应的补偿。

网友意见

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谢邀。

这个问题很有意思。这中间的区别更多的是历史遗留问题，并且来源于学术上的流派不同。

多因子资产定价模型只是对定价核(Pricing Kernel)的线性逼近，ICAPM，APT和Fama-French是三个最流行的分支。


先列个小提纲吧。心急的人可以跳过第1部分和第3部分。

  1. 定价核(Pricing Kernel)和边际消费效用增长率
  2. 多因子模型是定价核的线性逼近
  3. ICAPM
  4. APT
  5. Fama-French


1.定价核(Pricing Kernel)和边际消费效用增长率
在一个经济体里，投资者配置资产的目的是为了最终获得财富，而财富最后用于消费，消费产生效用(utitlity)。可以证明，对于任意的资产，总是满足下面的关系

即，在期的资产价格是的价格和红利之和的折现。由于下一期的价格和红利的数值都是不确定的，所以我们对其取期望。而这个用来折现的函数本身也是一个随机变量，一般称作stochastic discount factor(SDF)或者更流行地被称作定价核(Pricing Kernel)。
学术界流行的观点是，任何资产定价模型只是CCAPM(CCAPM 模型和 CAPM 模型的关系是什么？ - 金融学)的一个特例而已。在CCAPM中，定价核可以被写成一个关于边际消费效用增长率的关系式

其中是一个主观折现率，它的数值越大则下一期发生的事件在决策者的心中越重要。是边际消费效用。


2.多因子模型是定价核的线性逼近
在现实中，由于投资者的效用函数的具体形式是不确定的，所以我们很难直接计算定价核。在这个情况下，我们可以假设定价核可以被下面一个线性关系式逼近。

这时候我们可以证明资产收益的期望满足

其中是一个常数，和是两个维度的向量。就是我们常说的贝塔，它是资产收益对因子的敏感性，而是因子的数值。

3.ICAPM
最先得到多因子定价模型的应该属于Merton(1973a)的ICAPM(ICAPM 和 CAPM 的关系是什么？ - 金融工程学)，虽然Merton本人只是想要拓展已有的CAPM，但他最后得到的资产收益公式恰好就是一个多因子模型，如下

其中同CAPM一样是market portfolio的收益，而后面几项带的是Merton所定义的对冲项（hedge），它们被用来对冲经济环境的变化。这些能够用来刻画一个经济体的运行状态(经济增长衰退，信贷扩张收缩，等等)的变量被称作状态变量(state variable)。

自然而然地，在ICAPM中，选择的因子主要是宏观经济变量，因为它们能够刻画目前的经济状态或者能够预测未来的经济状况。从直观上很容易理解，宏观经济会影响到资产的收益状况，所以它们当然应该成为定价因子。

4.APT
Ross(1976)中文称作套利定价理论，即APT。APT首先承认可能存在不止一个定价因子，像CAPM那样的单因子模型在现实中不足以令人满意，这篇论文的一个重要贡献就是让大家开始系统地考虑多因子定价模型的可能性。

Ross假设资产收益满足下面三个等式(下面的每个等式都是关于矩阵和向量的等式，是一个对角正方矩阵)

注意到这里的没有取期望，而作为非系统风险用来解释不能被因子所解释的资产收益波动。剩下的两个条件类似于OLS中的要求，首先是非系统风险是独立于系统性风险的，其次非系统风险彼此之间不会相互影响，所以是一个对角矩阵。从实际操作上来说，APT很像是统计学上的PCA。在这样的情况下，非系统风险可以通过持有分散化投资的资产而消除掉。

紧接着，Ross证明了，为了保证市场上没有套利的可能性，一个足够分散的资产组合中的资产收益应该满足

这就跟第二部分里的多因子模型的一般形式长得一模一样了。

但是Ross的APT的理论价值要大于实际应用价值，因为Ross虽然证明了如果存在定价因子并且定价核是一个因子的线性函数，那么无套利条件就可以保证得到一个APT模型，但是Ross却不知道这些定价因子具体是什么。既然如此，又怎么检测APT到底有没有用，具体又怎么使用APT呢？学术界的对手当然不会放过这个机会。下面两篇论文的标题让我直接笑出了声:

Shanken(1982)

Dybvig, Ross(1985)

学术界对于APT的研究兴趣在八十年代一直很高涨，但是两方谁也难以说服谁，因为即使找到一个可以用来做定价的多因子组合，也很难证明这些因子就是对的，即使这些因子是对的，还需要证明定价核是这些因子的线性函数。难。

5. Fama-French
到了1993年，Fama和French采取了完全不同的方式来解释资产的收益。他们既没有假设什么理性投资者和关于人生的投资组合选择问题，也没有假设市场中不存在套利的机会和多因子。他们的论文简要来说就是，“别废话了，我们直接来run regression吧”。由于丢掉了理论的包袱，自然他们的模型产生的数据拟合结果比之前的CAPM和APT或者ICAPM都要好得多。

Fama-French起源于两个被大家发现的定价现象：

  1. 小市值的股票平均收益率更高
  2. 低市净率(P/B)的股票收益率更高(低市净率的一般被当作价值型股票，反之则为成长型股票)


之后Fama-French通过公司金融的数据把股票按照市值还有市净率的高低分隔成25个投资组合(市净率从高到低5档，市值从高到低5档)跑了回归，发现..显著。好的搞定。他们得到了下面的多因子模型

其中SMB = “small minus big”,即市值小的公司组成的投资组合回报与市值大的公司组成的投资组合回报之差；而HML = “high minus low”，是账面价值比较高(注意这是B/P比值，是市净率的倒数)的公司组成的投资组合回报与比值较低的公司投资组合回报之差。

由于Fama-French缺乏严谨的经济学假设，立马就受到了很多人的攻击。比如Fischer Black当年（1993）就写了一篇论文批判FF的论文只不过是data-mining罢了，这个批评直到今天仍然不绝于耳。遥想1993年Black的身体状况已经很差了，仍然要呕心沥血对这篇论文提出批评。

但是随后几年Fama和French一连发了好几篇论文，用数据证明了三因子模型在长期，不同的国家，都适用。至此FF-3 factor model一时间变得很受欢迎了。这有很多影响。一方面，实证金融学一下子就把做金融理论的同行打趴在地上，Fama-French不仅提供了结果，更提供了一整套研究的方法，用一些反对者的人来说,data-monkey都可以发现一个新的定价因子。一时间因子模型如雨后春笋般变得到处都是，学术界现在都有超过300个因子了。另一方面，多因子模型突然变成了一项可以学习的科技，你不需要一个经济学家，只需要一个能熟练操作统计软件的人替你不停地找因子就好了。Fama-French的三因子已经能够解释90%的资产个体收益差距了，剩下的因子再错也不至于产生太大的损失。相应地，quant equity公司也是成批次地涌现，一时间active portfolio management把passive portfolio management踩在了脚下。虽然最近几年学术界和业界都开始相应地做出调整，但是无法否认Fama-French的三因子模型是划时代的。

谁叫French懂得什么叫市场营销呢？(我绝对是在夸French) 在学术界的同行都不愿意分享自己的数据和代码的时候，你只需要点击一次鼠标，就可以直接下载French替你算好的结果
Kenneth R. French
你说引用量和影响力能不上去吗？


参考文献

  1. Black F. Beta and return[J]. The journal of portfolio management, 1993, 20(1): 8-18.
  2. Campbell J Y, Lo A W C, MacKinlay A C. The econometrics of financial markets[M]. Princeton, NJ: princeton University press, 1997.
  3. Cochrane J H. Asset Pricing:(Revised Edition)[M]. Princeton university press, 2009.
  4. Fama E F, French K R. Common risk factors in the returns on stocks and bonds[J]. Journal of financial economics, 1993, 33(1): 3-56.
  5. Merton R C. An intertemporal capital asset pricing model[J]. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 1973: 867-887.
  6. Ross S A. The arbitrage theory of capital asset pricing[J]. Journal of economic theory, 1976, 13(3): 341-360.


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