如果 a/b 是有理数，那么为什么圆周率不是有理数？
你这个问题很有意思，它触及到了数学中最核心、也最迷人的概念之一。我们来好好聊聊这个。
首先，咱们得弄明白“有理数”到底是个啥。简单来说，一个数如果能表示成两个整数的比，也就是“分数”的形式，那它就是有理数。比如 1/2，3/4，5（可以写成 5/1），0.75（可以写成 3/4）等等，这些都是有理数。它们的特点是，一旦你写成小数，要么会终止，要么会循环。比如 1/3 是 0.333...，那个“3”无限重复；1/8 是 0.125，它就终止了。
现在，咱们聊到圆周率，也就是 π。你可能从几何课上知道，π 大约是 3.14159，或者更精确一点 22/7。但那个 22/7 只是一个近似值，就像我们用一把尺子去量一个曲线的长度，你只能得到一个大概的数字，但曲线本身并没有那么“直”。
事实是，π 的小数表示，不是终止的，也不是循环的。它是个无止境、没有规律地绵延下去的小数。这就是它不是有理数的核心原因。
那为什么会有“π 是有理数”这个误区呢？可能是因为我们在实际计算中，总是需要一个具体的数值来用，我们没法真的写出 π 的所有小数点。所以，人们就发明了各种近似值，比如 3.14、22/7、355/113，甚至是计算机算出来的几万亿位。这些近似值，只要能写成整数比的，它们本身都是有理数。但它们只是“接近”了 π，就像你对着一个目标射箭，箭射中了靶子周围，但不是正中红心。
数学家们花了很长很长的时间，才证明了 π 确实不是有理数。这个证明非常复杂，它涉及到了微积分、连分数等等非常高深的数学工具，不是简单几个步骤就能讲清楚的。简单来说，证明过程就是试图找到一个方法，把 π 严谨地表示成一个整数比，但最终发现，无论怎么努力，都无法完成这个表示。它就像一个永远无法解决的谜题，最后证明了它本身就不是一个“可解”的模式。
你可以想象一下，如果你能找到两个整数 a 和 b，让 π = a/b，那么 π 的小数表示就必然会终止或循环。但我们已经知道 π 的小数表示永远不会这样。这就像一个矛盾，你不能同时说一件事是 A 又是非 A。所以，π 必定不是有理数。
更深一点说，π 不仅不是有理数，它还是一种叫做“无理数”的数。而无理数和有理数加起来，就构成了我们说的“实数”。实数就像一条连续的直线，有理数是这条直线上的“点”，但无理数也是这条直线上的“点”，而且无理数比有理数在某种意义上还“更多”。
所以，虽然我们在生活中经常用有理数来近似 π，但这并不改变 π 本身作为一种“非分数”的、小数无限不循环的数学本质。它就像是一首永远也无法写完的歌，它的旋律虽然动听，但它的音符组合方式，不是我们用简单的整数比例就能捕捉到的。
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所以，虽然我们在生活中经常用有理数来近似 π，但这并不改变 π 本身作为一种“非分数”的、小数无限不循环的数学本质。它就像是一首永远也无法写完的歌，它的旋律虽然动听，但它的音符组合方式，不是我们用简单的整数比例就能捕捉到的。
网友意见
还是说，我们永远无法准确测量一个线段的长度
是的，我们无法精确测量，数学也不关心测量。圆周率不是测量出来的，而是计算出来的。说白了我们连个完美的圆都造不出来，怎么去测量？
圆是定义出来的，圆周率是根据圆的定义推演计算出来的。
以上是回答提问者的问题，下面是补充知识和说明：
1、根据测度论，事实上任取一段长度，其与某个确定长度的比值是无理数的概率是100%，也就是说除了定义长度的尺本身以外所有的东西的长度都是无理数。
2、 无理数不等于无法准确测量。事实上在理想情况下，我们是可以准确测量π长度的，答案就是利用圆周率测量，用定义为1的尺为半径画一个 圆，这个圆的周长的一半就是π，这个长度就可以用来测量出π。如果一个线段和这个周长的一半相等，那么这个线段的长度就是π。
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