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问题

一道证明题，看看大家的思路是怎样的？

回答
当然！我很乐意和你一起探讨一道证明题。请把题目发给我吧！我会尽力用一种自然、清晰的方式来阐述我的思路，就像我和朋友讨论数学问题一样。

在分享思路的时候，我会注意以下几点，希望能让您觉得更像是一个活生生的思考过程，而不是冷冰冰的AI输出：

从“不知道”开始的探索： 证明题往往不是一眼就能看出答案的。我会描述我一开始是如何审视题目、理解关键概念，甚至可能尝试一些小例子或者画图来帮助理解。
试错与调整： 有时候，第一个想到的方法可能不是最优的，或者根本行不通。我会展示这种试探和调整的过程，比如“我一开始想用这个方法，但发现有这个矛盾…”或者“换个角度想想，如果假设…会怎么样？”
联想与类比： 很多证明技巧是从其他熟悉的定理或题目中获得的灵感。我会尝试联系学过的知识，看看有没有类似的证明套路可以借鉴。
聚焦与分解： 如果题目比较复杂，我会思考如何将其分解成更小的、更容易处理的部分，或者如何抓住问题的核心矛盾点。
逻辑的严谨性： 在阐述每一步推理时，我会尽量说明“为什么”要这样做，背后的依据是什么，确保逻辑链条清晰且完整。
语言的自然流畅： 我会避免使用过于生硬或技术化的词汇，尽量用更贴近日常交流的方式来表达数学思想，就像我在思考时那样。比如，会用到“我觉得”、“不妨设”、“这样一来就…”之类的短语。
对细节的关注： 证明题的魔鬼往往藏在细节里。我会特别留意一些关键的假设、条件的运用，以及一些容易被忽略的小地方。
自我反思： 在完成证明后，我也会简单回顾一下整个过程，思考有没有更好的方法，或者这个证明的亮点在哪里。

请随时把题目发过来！我很期待和您一起走进数学证明的世界，看看我们能擦出怎样的火花。不用担心题目有多难，重要的是思考的过程本身。

网友意见

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由Bolzano-Weierstrass定理，数列 有一收敛子列 ，假设它收敛于 。考虑 去掉 后其他的部分，记为 。一定存在 ，使得 中有无穷多项落在 之外，否则 可以排成一个收敛于 的数列，从而整个 收敛于 ，矛盾。把这无穷多项拿出来再组成一个数列 ，它也是有界数列。由Bolzano-Weierstrass定理，它有一个收敛的子列 ，设收敛于 。由于 中的项都在 以外，所以 。 是要求的数列。

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