时间序列数据上可以抽取哪些频域特征？
时间序列数据的频域分析，就像给一段音乐配上频谱图一样，能揭示数据背后隐藏的周期性规律和振荡模式。我们平时看时间序列图，关注的是“何时发生了什么”，而在频域，我们关注的是“什么周期性成分在什么时间强度下最显著”。这就像从乐谱的五线谱转换到音符的强度和频率分布图。
下面咱们就聊聊时间序列数据上能从频域里“淘”出哪些宝贝来，争取讲得透彻一些：
1. 功率谱密度 (Power Spectral Density, PSD)
这是频域分析的“主角”，告诉你能量在不同频率上的分布情况。想象一下，把一个信号（比如你的心跳记录）分解成一系列不同频率的正弦波叠加而成。PSD就是告诉你，每一频率的正弦波对整个信号“贡献”了多少能量。
怎么理解？
横轴是频率 (Hz 或 rad/s)，代表信号变化的快慢。低频代表缓慢的波动，高频代表快速的变化。
纵轴是功率密度，代表在该频率单位内的能量。值越高，说明这个频率成分越强。
如果某个频率点的PSD值很高，就说明这个频率的周期性成分在这个时间序列里非常明显。
有什么用？
周期性检测： 找到PSD图上的峰值，就能发现数据中存在的主要周期。比如，如果在一个股票价格时间序列中，20天周期的PSD峰值很高，说明股票价格很可能存在大约20天的波动规律。
噪声识别： 噪声通常分布在很高的频率上，PSD在这些高频区域会相对平缓或者有一个衰减的趋势。我们可以据此判断哪些高频成分是真实信号，哪些是噪声。
信号分解与重构： 知道了信号的频谱成分，我们可以选择保留某些频率范围，过滤掉其他频率，从而实现信号的平滑（低通滤波）或去除非周期性干扰（带通滤波）。
特征提取： PSD本身可以作为一种特征。比如，可以计算PSD在特定频段的能量总和、最高峰对应的频率、能量的重心频率等。
具体怎么算？
最常用的方法是巴特利特方法（Bartlett's method）和Welch方法（Welch's method）。
巴特利特方法： 把整个时间序列分成若干个不重叠的子段，分别计算每个子段的功率谱，然后取平均。这样做的好处是能降低方差，使结果更平滑，但代价是降低了频率分辨率（因为分段后每个段的长度变短了）。
Welch方法： 这是更常用、更鲁棒的方法。它和巴特利特方法类似，但允许子段之间有重叠。重叠可以进一步降低方差，而且在保持一定频率分辨率的同时提高估计的平滑度。你可以调整窗口函数（如汉宁窗、海明窗）、子段长度以及重叠比例来控制估计的质量。
2. 傅里叶变换 (Fourier Transform)
在聊PSD之前，得先提一下傅里叶变换。它本身就是将时间域的信号转换到频率域的“魔法”。对于有限长度的时间序列，我们通常用离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT)，而计算机计算时常用的是快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform, FFT)。
怎么理解？
DFT/FFT 会给出一个复数序列。每个复数代表一个特定频率的正弦波（实部和虚部可以看作是该频率正弦波的幅度和相位）。
复数的模（magnitude）反映了该频率成分的强度。
复数的辐角（argument）反映了该频率成分的相位（也就是它在时间轴上的起始位置）。
有什么用？
基础： 傅里叶变换是计算PSD的基础。PSD就是傅里叶变换结果的模的平方（并进行归一化处理）。
相位信息： 除了幅值信息，傅里叶变换还保留了相位信息。在某些高级应用中，比如信号的相干性分析、相干谱计算，相位信息至关重要。
特征提取方面：
主导频率： 直接从FFT结果的幅值中找到最大的峰值所对应的频率。
频率成分的能量分布： 可以计算不同频率分量的能量（模的平方）占总能量的比例。
峭度（Kurtosis）或偏度（Skewness）在频域的体现： 通过对FFT结果的幅值进行统计分析，可以得到一些描述频率分布形态的特征。
3. 短时傅里叶变换 (ShortTime Fourier Transform, STFT)
傅里叶变换能告诉你信号包含哪些频率成分，但它假设这些频率成分在整个时间段内是不变的（即“平稳”信号）。对于“非平稳”信号，比如一个声音信号，音调（频率）是会随时间变化的。这时，STFT就派上用场了。
怎么理解？
STFT 的思路是：把信号切成许多短的、有重叠的“小窗”，然后对每个小窗进行傅里叶变换。这样，我们就能得到一个时频表示 (TimeFrequency Representation)。通常用语谱图 (Spectrogram)来可视化STFT的结果。
语谱图的横轴是时间，纵轴是频率，颜色深浅代表在该时间点该频率上的能量强度。
通过观察语谱图，我们可以看到频率成分是如何随时间演变的。
有什么用？
分析非平稳信号： 识别随时间变化的周期性、瞬时频率变化、调制等现象。
特征提取：
瞬时频率： 在特定时间点，信号能量集中的频率。可以从语谱图上观察到频率的“轨迹”。
语谱图的能量集中度： 在某个时间点或某个频率段，能量是否非常集中，还是分散的。
频率的展宽： 在某个时间点，信号的频率成分是否很“窄”（集中在某个频率）或者很“宽”（分布在多个频率）。这可以看作是一种“频率噪声”的度量。
时域的“脊线”（ridge）： 语谱图中能量最集中的一条线，代表了信号的主导频率随时间的演化。
4. 小波变换 (Wavelet Transform)
虽然STFT能提供时频信息，但它存在一个“不确定性原理”的权衡：时间分辨率和频率分辨率是相互制约的。如果你想获得很高的频率分辨率，就需要一个很宽的时间窗口，这样时间分辨率就差了；反之亦然。小波变换可以克服这一缺点，它能够提供“多分辨率”的分析。
怎么理解？
小波变换是用一系列“小波基”（wavelet basis）来分解信号。这些小波基是具有局部化特性的，既在时间域是局部的，也在频率域是局部的。更关键的是，小波变换会使用不同尺度（scale）和不同位置（translation）的小波基。
尺度（Scale）： 尺度大对应低频成分（对应长而慢的波动），尺度小对应高频成分（对应短而快的波动）。
位置（Translation）： 对应信号在时间上的位置。
小波变换的好处在于，对于低频成分，它会使用宽的时间窗口（高频率分辨率，低时间分辨率）；对于高频成分，它会使用窄的时间窗口（低频率分辨率，高时间分辨率）。这就实现了“按需分配”分辨率。
有什么用？
精确捕捉瞬态信息： 对于信号中的突变、尖峰、断点等瞬态特征，小波变换能提供比STFT更精细的时间定位。
多分辨率分析： 可以同时观察信号在不同时间尺度上的规律。例如，长期的趋势（大尺度）和短期的波动（小尺度）可以并行分析。
去噪和信号增强： 通过选择合适的小波基和阈值，可以有效地去除信号中的噪声，同时保留信号的有用特征。
特征提取：
小波系数（Wavelet Coefficients）： 这些系数直接反映了信号在特定尺度（频率）和时间位置上的成分。
能量集中度： 计算不同尺度上的能量比例。
小波熵（Wavelet Entropy）： 度量小波系数的复杂度，可以用来描述信号的随机性或有序性。
相关尺度（Correlated Scale）： 在多尺度分析中，寻找不同尺度之间存在某种相关性的尺度，可能揭示更深层次的结构。
5. 自相关函数 (Autocorrelation Function, ACF) 和互相关函数 (CrossCorrelation Function, CCF)
虽然严格来说，ACF和CCF是在时间域计算的，但它们与频域分析有着密切的联系，并且常被用来发现周期性。根据维纳辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem），一个平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换。
怎么理解？
ACF： 度量一个信号与它自身的延迟版本的相似度。如果一个信号有明显的周期性，那么它的ACF在周期对应的延迟处就会出现峰值。
CCF： 度量两个信号之间的相似度，并随延迟时间变化。可以用来找出两个信号之间是否存在某种时间上的滞后关系。
有什么用？
周期性检测： ACF中的周期性峰值是寻找信号周期性的直接证据。
信号对齐： 通过找到CCF的最大值，可以确定两个信号在时间上的最佳对齐点。
特征提取：
ACF的峰值位置和大小： 描述了信号的周期性和周期成分的强度。
ACF衰减速率： 反映了信号的“记忆性”或平稳性。衰减越快，信号的记忆性越弱。
CCF的峰值位置： 描述了两个信号之间的相位差或时间延迟。
总结一下，从频域里能“淘”出什么宝贝？
周期与频率： 这是最直接的收获，了解数据“以什么节奏在跳动”。
能量分布： 知道哪些频率成分对数据贡献了最多的能量，哪些是次要的。
信号的平稳性： 通过PSD或ACF的形状可以间接判断信号是否平稳。
噪声特性： 识别高频噪声或者其他特定频率的干扰。
时变特性（非平稳信号）： 通过STFT或小波变换，看到频率成分如何随时间变化。
瞬态特征： 小波变换能更精确地捕捉信号中的突变或脉冲。
信号间的关系： 互相关函数可以揭示两个信号之间的滞后和同步性。
在实际应用中，选择哪种频域特征取决于你的具体任务和数据的性质。有时候，组合使用多种特征效果会更好。比如，先用ACF粗略判断周期，再用FFT精确定位主导频率，最后用STFT分析这些周期成分随时间的变化。希望这些分析能让你对时间序列的频域世界有更深的认识！
下面咱们就聊聊时间序列数据上能从频域里“淘”出哪些宝贝来，争取讲得透彻一些：
1. 功率谱密度 (Power Spectral Density, PSD)
这是频域分析的“主角”，告诉你能量在不同频率上的分布情况。想象一下，把一个信号（比如你的心跳记录）分解成一系列不同频率的正弦波叠加而成。PSD就是告诉你，每一频率的正弦波对整个信号“贡献”了多少能量。
怎么理解？
横轴是频率 (Hz 或 rad/s)，代表信号变化的快慢。低频代表缓慢的波动，高频代表快速的变化。
纵轴是功率密度，代表在该频率单位内的能量。值越高，说明这个频率成分越强。
如果某个频率点的PSD值很高，就说明这个频率的周期性成分在这个时间序列里非常明显。
有什么用？
周期性检测： 找到PSD图上的峰值，就能发现数据中存在的主要周期。比如，如果在一个股票价格时间序列中，20天周期的PSD峰值很高，说明股票价格很可能存在大约20天的波动规律。
噪声识别： 噪声通常分布在很高的频率上，PSD在这些高频区域会相对平缓或者有一个衰减的趋势。我们可以据此判断哪些高频成分是真实信号，哪些是噪声。
信号分解与重构： 知道了信号的频谱成分，我们可以选择保留某些频率范围，过滤掉其他频率，从而实现信号的平滑（低通滤波）或去除非周期性干扰（带通滤波）。
特征提取： PSD本身可以作为一种特征。比如，可以计算PSD在特定频段的能量总和、最高峰对应的频率、能量的重心频率等。
具体怎么算？
最常用的方法是巴特利特方法（Bartlett's method）和Welch方法（Welch's method）。
巴特利特方法： 把整个时间序列分成若干个不重叠的子段，分别计算每个子段的功率谱，然后取平均。这样做的好处是能降低方差，使结果更平滑，但代价是降低了频率分辨率（因为分段后每个段的长度变短了）。
Welch方法： 这是更常用、更鲁棒的方法。它和巴特利特方法类似，但允许子段之间有重叠。重叠可以进一步降低方差，而且在保持一定频率分辨率的同时提高估计的平滑度。你可以调整窗口函数（如汉宁窗、海明窗）、子段长度以及重叠比例来控制估计的质量。
2. 傅里叶变换 (Fourier Transform)
在聊PSD之前，得先提一下傅里叶变换。它本身就是将时间域的信号转换到频率域的“魔法”。对于有限长度的时间序列，我们通常用离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT)，而计算机计算时常用的是快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform, FFT)。
怎么理解？
DFT/FFT 会给出一个复数序列。每个复数代表一个特定频率的正弦波（实部和虚部可以看作是该频率正弦波的幅度和相位）。
复数的模（magnitude）反映了该频率成分的强度。
复数的辐角（argument）反映了该频率成分的相位（也就是它在时间轴上的起始位置）。
有什么用？
基础： 傅里叶变换是计算PSD的基础。PSD就是傅里叶变换结果的模的平方（并进行归一化处理）。
相位信息： 除了幅值信息，傅里叶变换还保留了相位信息。在某些高级应用中，比如信号的相干性分析、相干谱计算，相位信息至关重要。
特征提取方面：
主导频率： 直接从FFT结果的幅值中找到最大的峰值所对应的频率。
频率成分的能量分布： 可以计算不同频率分量的能量（模的平方）占总能量的比例。
峭度（Kurtosis）或偏度（Skewness）在频域的体现： 通过对FFT结果的幅值进行统计分析，可以得到一些描述频率分布形态的特征。
3. 短时傅里叶变换 (ShortTime Fourier Transform, STFT)
傅里叶变换能告诉你信号包含哪些频率成分，但它假设这些频率成分在整个时间段内是不变的（即“平稳”信号）。对于“非平稳”信号，比如一个声音信号，音调（频率）是会随时间变化的。这时，STFT就派上用场了。
怎么理解？
STFT 的思路是：把信号切成许多短的、有重叠的“小窗”，然后对每个小窗进行傅里叶变换。这样，我们就能得到一个时频表示 (TimeFrequency Representation)。通常用语谱图 (Spectrogram)来可视化STFT的结果。
语谱图的横轴是时间，纵轴是频率，颜色深浅代表在该时间点该频率上的能量强度。
通过观察语谱图，我们可以看到频率成分是如何随时间演变的。
有什么用？
分析非平稳信号： 识别随时间变化的周期性、瞬时频率变化、调制等现象。
特征提取：
瞬时频率： 在特定时间点，信号能量集中的频率。可以从语谱图上观察到频率的“轨迹”。
语谱图的能量集中度： 在某个时间点或某个频率段，能量是否非常集中，还是分散的。
频率的展宽： 在某个时间点，信号的频率成分是否很“窄”（集中在某个频率）或者很“宽”（分布在多个频率）。这可以看作是一种“频率噪声”的度量。
时域的“脊线”（ridge）： 语谱图中能量最集中的一条线，代表了信号的主导频率随时间的演化。
4. 小波变换 (Wavelet Transform)
虽然STFT能提供时频信息，但它存在一个“不确定性原理”的权衡：时间分辨率和频率分辨率是相互制约的。如果你想获得很高的频率分辨率，就需要一个很宽的时间窗口，这样时间分辨率就差了；反之亦然。小波变换可以克服这一缺点，它能够提供“多分辨率”的分析。
怎么理解？
小波变换是用一系列“小波基”（wavelet basis）来分解信号。这些小波基是具有局部化特性的，既在时间域是局部的，也在频率域是局部的。更关键的是，小波变换会使用不同尺度（scale）和不同位置（translation）的小波基。
尺度（Scale）： 尺度大对应低频成分（对应长而慢的波动），尺度小对应高频成分（对应短而快的波动）。
位置（Translation）： 对应信号在时间上的位置。
小波变换的好处在于，对于低频成分，它会使用宽的时间窗口（高频率分辨率，低时间分辨率）；对于高频成分，它会使用窄的时间窗口（低频率分辨率，高时间分辨率）。这就实现了“按需分配”分辨率。
有什么用？
精确捕捉瞬态信息： 对于信号中的突变、尖峰、断点等瞬态特征，小波变换能提供比STFT更精细的时间定位。
多分辨率分析： 可以同时观察信号在不同时间尺度上的规律。例如，长期的趋势（大尺度）和短期的波动（小尺度）可以并行分析。
去噪和信号增强： 通过选择合适的小波基和阈值，可以有效地去除信号中的噪声，同时保留信号的有用特征。
特征提取：
小波系数（Wavelet Coefficients）： 这些系数直接反映了信号在特定尺度（频率）和时间位置上的成分。
能量集中度： 计算不同尺度上的能量比例。
小波熵（Wavelet Entropy）： 度量小波系数的复杂度，可以用来描述信号的随机性或有序性。
相关尺度（Correlated Scale）： 在多尺度分析中，寻找不同尺度之间存在某种相关性的尺度，可能揭示更深层次的结构。
5. 自相关函数 (Autocorrelation Function, ACF) 和互相关函数 (CrossCorrelation Function, CCF)
虽然严格来说，ACF和CCF是在时间域计算的，但它们与频域分析有着密切的联系，并且常被用来发现周期性。根据维纳辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem），一个平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换。
怎么理解？
ACF： 度量一个信号与它自身的延迟版本的相似度。如果一个信号有明显的周期性，那么它的ACF在周期对应的延迟处就会出现峰值。
CCF： 度量两个信号之间的相似度，并随延迟时间变化。可以用来找出两个信号之间是否存在某种时间上的滞后关系。
有什么用？
周期性检测： ACF中的周期性峰值是寻找信号周期性的直接证据。
信号对齐： 通过找到CCF的最大值，可以确定两个信号在时间上的最佳对齐点。
特征提取：
ACF的峰值位置和大小： 描述了信号的周期性和周期成分的强度。
ACF衰减速率： 反映了信号的“记忆性”或平稳性。衰减越快，信号的记忆性越弱。
CCF的峰值位置： 描述了两个信号之间的相位差或时间延迟。
总结一下，从频域里能“淘”出什么宝贝？
周期与频率： 这是最直接的收获，了解数据“以什么节奏在跳动”。
能量分布： 知道哪些频率成分对数据贡献了最多的能量，哪些是次要的。
信号的平稳性： 通过PSD或ACF的形状可以间接判断信号是否平稳。
噪声特性： 识别高频噪声或者其他特定频率的干扰。
时变特性（非平稳信号）： 通过STFT或小波变换，看到频率成分如何随时间变化。
瞬态特征： 小波变换能更精确地捕捉信号中的突变或脉冲。
信号间的关系： 互相关函数可以揭示两个信号之间的滞后和同步性。
在实际应用中，选择哪种频域特征取决于你的具体任务和数据的性质。有时候，组合使用多种特征效果会更好。比如，先用ACF粗略判断周期，再用FFT精确定位主导频率，最后用STFT分析这些周期成分随时间的变化。希望这些分析能让你对时间序列的频域世界有更深的认识！
网友意见
第一种分类
第二种分类
统计域（Statistical Domain）、谱域（Spectral Domain）和时域（Temporal Domain）的角度出发，共容纳数十种特征提取方法：
- 基于统计域的时序特征包含：最大值（Maximum）、最小值（Minimum）、均值（Mean）、中位数（Median）、偏度（Skewness）、峰度（Kurtosis）、直方图（Histogram）、四分位距（Interquartile Range）、绝对误差均值（Mean Absolute Deviation）、绝对误差中位数（Median Absolute Deviation）、均方根（Root Mean Square）、标准差（Standard Deviation）、方差（Variance）、经验分布函数百分位数（Empirical Distribution Function Percentile Count）、经验分布函数斜率（ECDF Slope）等；
- 基于谱域的时序特征包含：快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）、傅里叶变换平均系数（FFT Mean Coefficient）、小波变换（Wavelet Transform）、小波绝对均值（Wavelet Absolute Mean）、小波标准差（Wavelet Standard Deviation）、小波方差（Wavelet Variance）、谱距离（Spectral Distance）、频谱基频（Spectral Fundamental Frequency）、频谱最大频率（Spectral Maximum Frequency）、频谱中频（Spectral Median Frequency）、频谱最大峰值（Spectral Maximum Peaks）等；
- 基于时域的时序特征包含：自相关（Autocorrelation）、质心（Centroid）、差分均值（Mean Differences）、差分绝对值均值（Mean Absolute Differences）、差分中位数（Median Differences）、差分绝对值中位数（Median Absolute Differences）、差分绝对值之和（Sum of Absolute Differences）、熵（Entropy）、波峰与波谷距离（Peak to Peak Distance）、曲线覆盖面积（Area Under the Curve）、最大峰值个数（The Number of Maximum Peaks）、最小峰值个数（The Number of Minimum Peaks）、跨零率（Zero Crossing Rate）等。
时序特征库 TSFEL
- 直观、快速部署和可重现性: 用于特征选择和定制的交互式用户界面
- 计算复杂度评估: 在提取特征之前估计计算量
- 综合文献: 每种特征提取方法都有详细的说明
- 单元测试: 我们为每个特性提供单元测试
- 容易扩展: 添加新功能很容易，我们鼓励您贡献您的自定义功能
从统计、时间、谱域上提供超过60种特征
统计类特征
- 经验分布函数ECDF
是统计学中一个与样本的经验测度有关的分布函数。该累积分布函数是在所有n个数据点上都跳跃1/n的阶跃函数。在这个取值处的值为所有观测样本中小于或者等于该取值的比例。
2. 经验分布函数百分位数
x, y = calc_ecdf(signal) x[y <= percentile].max() 谱域类特征
时域类特征
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
小波变换（wavelet transform，WT）是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。
其他时序特征库
FATS [2], CESIUM [3], TSFRESH [4] and HCTSA [5].
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