CCAPM 模型和 CAPM 模型的关系是什么？

资本资产定价模型（CAPM）是金融学领域一个非常核心且基础的模型，它为我们理解资产的风险和预期收益之间的关系提供了一个理论框架。而CCAPM（Consumptionbased CAPM），顾名思义，是在CAPM的基础上，将消费引入作为解释资产收益风险的变量，可以看作是CAPM的一个更深层次、更具经济解释力的扩展。理解它们之间的关系，需要我们从各自的出发点和核心逻辑入手。

CAPM 的核心思想与逻辑

让我们先回顾一下CAPM的本质。CAPM是由William Sharpe、John Lintner和Jan Mossin独立提出的，它的核心论点非常简洁：一项资产的预期收益率与其市场风险（Beta值）成正比。换句话说，投资者之所以愿意承担更高的风险（即更高的Beta值），是因为他们预期会获得更高的回报。

CAPM的逻辑可以这样理解：

1. 理性投资者与效用最大化： 假设投资者是理性的，他们追求财富的效用最大化。这意味着在给定风险水平下，他们希望获得尽可能高的收益；或者在给定收益水平下，他们希望承担尽可能低的风险。
2. 资产的风险来源： CAPM认为，投资者只关心资产对整体投资组合风险的贡献，而这种贡献是由资产与市场整体收益的相关性（即Beta）来衡量的。那些与市场整体走势高度一致的资产，其风险越高（Beta越大），反之亦然。
3. 市场组合的普适性： CAPM假设存在一个包含所有风险资产的市场组合。由于投资者可以自由投资于任何资产，并构建最优的投资组合，因此他们最终持有的将是某种形式的市场组合。所有投资者都将持有市场组合的某种放大或缩小的比例，并在此基础上配置无风险资产。
4. 无套利机会： 在市场均衡状态下，不存在套利机会。这意味着任何具有风险的资产，如果其预期收益低于其风险所要求的水平，将没有人愿意持有；反之，如果高于，则需求旺盛导致价格上升，收益下降，直到与风险匹配。

由此，CAPM推导出了著名的公式：

$E(R_i) = R_f + eta_i (E(R_m) R_f)$

其中：

$E(R_i)$ 是资产 i 的预期收益率。
$R_f$ 是无风险利率。
$eta_i$ 是资产 i 的市场Beta值，衡量其相对于市场整体的波动性。
$E(R_m)$ 是市场组合的预期收益率。
$(E(R_m) R_f)$ 是市场风险溢价。

CAPM 的局限性

尽管CAPM具有强大的解释力和简洁性，但其在实践中也面临一些挑战和批评：

市场组合的可观测性问题： “市场组合”理论上包含了世界上所有风险资产，包括股票、债券、房地产、人力资本等，这在实际中是无法完全观测和构建的。实践中通常用股票指数来代理市场组合，但这并不完美。
单因子模型： CAPM只关注了市场风险（Beta）这一个因子，而研究表明，其他因素，如市值（SMB）、价值（HML）等，也可能对股票收益率产生影响（如FamaFrench三因子模型）。
对投资者行为的假设： CAPM的推导依赖于一些较为严格的假设，例如投资者是完全理性的、信息对称等，这些在现实世界中并非完全成立。

CCAPM 的出现与逻辑

正是为了克服CAPM的部分局限，尤其是提供更坚实的经济学基础和解释力，CCAPM应运而生。CCAPM的核心思想是：一项资产的预期收益率，取决于其未来现金流（例如股息、公司利润）与整体经济消费水平的协方差。

CCAPM的出发点是跨期消费选择。投资者在不同时期之间进行消费和储蓄的决策，他们的效用取决于未来消费的水平。

1. 跨期效用最大化： 投资者追求的是终生消费的效用最大化。他们不仅关心当前消费，更关心未来消费的可能性。
2. 资产的风险来源（更根本）： 在CCAPM看来，风险的本质在于一项资产的回报能否在经济不好的时候（即消费者面临低消费水平时）提供支持。如果一项资产的回报在经济衰退时也跟着下降，那么持有它就意味着在最需要钱的时候你的财富也会缩水，这会给你带来更大的痛苦（负效用）。反之，如果一项资产能在经济衰退时依然保持稳健甚至上涨，那么它就能对冲经济下行的风险，成为一种有价值的资产。
3. 消费协方差的衡量： 因此，资产的风险不是简单地与市场收益的波动性有关，而是与它对消费者边际效用的影响有关。当经济不好时，消费者的边际效用很高（因为消费的稀缺性增加），此时如果资产回报也低，会加剧消费者的痛苦。反之，当经济好时，消费者的边际效用低，此时资产回报即使高，也无法带来同样的效用提升。所以，CCAPM关注的是资产回报与宏观经济状态（消费）的负协方差。

CCAPM 的基本形式通常表示为：

$E(R_i) = R_f + ext{Cov}(R_i, M) / E(M)$

其中：

$E(R_i)$ 是资产 i 的预期收益率。
$R_f$ 是无风险利率。
$M$ 是随机贴现因子 (Stochastic Discount Factor, SDF)，它代表了消费者对未来消费的边际效用。经济越差（消费水平低），边际效用越高，$M$ 就越大；经济越好（消费水平高），边际效用越低，$M$ 就越小。
$ ext{Cov}(R_i, M)$ 是资产 i 的回报与随机贴现因子之间的协方差。
$E(M)$ 是随机贴现因子的期望值。

从这个公式可以看出，如果一项资产的收益与 $M$ 正相关（即经济越差时，资产收益越低），那么 $ ext{Cov}(R_i, M)$ 就是负的，从而导致 $E(R_i)$ 降低。相反，如果一项资产能在经济差的时候提供更高的回报（与 $M$ 负相关，即 $R_i$ 与消费负相关），那么它就具有风险对冲的价值，其预期收益会因此提高。

CAPM 与 CCAPM 的联系：一种理论上的统一

CCAPM 并非完全否定 CAPM，而是在一个更基础的层面上对其进行了阐释和推广。事实上，CAPM可以被看作是CCAPM在特定假设下的一个特例。

具体来说，我们可以通过以下方式理解它们的关系：

1. 市场组合的消费解释： 在CAPM中，市场组合的预期超额收益是由其Beta来衡量的。CCAPM则进一步解释了为什么市场组合的收益率是重要的。市场组合的收益率通常与宏观经济状况高度相关，也就是说，它在很大程度上反映了整体经济的“健康状况”。因此，市场组合的超额收益可以被理解为投资者在承担经济下行风险（即消费下降风险）时所获得的补偿。
2. SDF 和市场组合的联系： 一个关键的理论联系在于，在许多模型中，随机贴现因子 (SDF) 可以被近似地表示为与市场组合回报率相关的函数。例如，如果SDF是一个线性的函数，或者在某些特定效用函数假设下，那么CCAPM的风险因子（即SDF的负协方差）可以与CAPM的市场因子（Beta）联系起来。特别是，如果我们将市场组合的收益率（$R_m$）看作是宏观经济状况的一个代理变量，那么资产 $i$ 的风险（即 $ ext{Cov}(R_i, M)$）就与资产 $i$ 的回报与经济状况的协方差有关，而这种协方差又可以通过资产 $i$ 的Beta值来捕捉。
3. 风险溢价的经济含义： CAPM给出了一个风险溢价的公式，即 $E(R_m) R_f$（市场风险溢价）。CCAPM则解释了这个溢价的来源：它是投资者在承担消费随市场回报波动的风险时所要求的补偿。当市场组合的回报在经济不好时也下降（即与M正相关），那么持有市场组合的投资者就会面临消费下降的风险，需要更高的预期回报来弥补。
4. 更普适的框架： CCAPM提供了一个更具经济学意义的框架，因为它直接从消费者效用和跨期选择的原理出发。它表明，驱动资产风险溢价的是资产与宏观经济状态（通常以消费或其相关变量如经济增长、通胀等来衡量）之间的相关性，而不是简单地与某个市场指数的相关性。这为解释其他资产定价模型（如FamaFrench因子模型中的其他因子）提供了理论基础，因为这些因子也可以被理解为代表了宏观经济风险的某些方面。

举个例子：

想象一下，你投资一家公司。这家公司生产的是奢侈品。在经济繁荣时，人们收入高，消费旺盛，你投资的公司可能回报很高。但一旦经济衰退，人们收入下降，消费能力减弱，奢侈品的需求会急剧萎缩，这家公司的回报也会大幅下降。这使得你的投资回报与经济的“坏日子”（消费水平低的时候）高度相关。根据CCAPM，这种资产会带来负的效用，因为它们在最需要财富的时候让你失望。因此，持有这种资产的投资者会要求一个更高的预期回报来补偿这种风险。

相比之下，如果投资一家生产必需品（如食品）的公司，即使经济不好，人们仍然需要购买食物，这家公司的回报可能就相对稳定，与经济衰退的负相关性较小。因此，它在CCAPM框架下的风险就较低。

总结来说：

CAPM 是一个经验性的、基于市场风险（Beta）的资产定价模型，它认为资产的预期收益与其市场敏感度成正比。
CCAPM 是一个更具理论基础的资产定价模型，它认为资产的预期收益与其对消费者跨期消费决策的影响相关，即与随机贴现因子 (SDF) 的协方差相关。而SDF本质上反映了消费者在不同经济状态下的边际效用，因此CCAPM关注的是资产回报与宏观经济状态（尤其是经济衰退时期）的相关性。

CAPM可以看作是CCAPM在特定（且可能不太现实）的假设下的一个表现形式，或者说，CCAPM为CAPM中的市场风险溢价提供了一个更深层次的经济解释。理解了CCAPM，我们就能更深刻地认识到，资产的风险不仅仅是其价格的波动性，更重要的是它在经济冷暖变化中的表现如何影响消费者的福利。

CCAPM(Consumption Capital Asset Pricing Model)晚于CAPM(Capital Asset Pricing Model)，它的设定更加的general(实在找不到好的中文词来传达这个意思），所以CAPM只不过是CCAPM的一个特例罢了。
(对理论讨论没兴趣的可以直接跳到关键公式那里）

CCAPM的模型设定

CCAPM的假设是一个Representative Agent(代理人）做出一个无限期（Infinite Horizon)的决定，目标是最大化自己的消费消费效用的折现。所以它的目标函数是

其中代表了代理人对时间的偏好是一个对效用折现的参数（类似于利率），而是这个代理人的消费的序列。

另外消费还应该满足下面一个动态过程(dynamics)

其中是你在第期持有的股票，而是你在第期持有的债券。所以相应的，是股票的收益（注意这是total return）并且是一个随机数，而是无风险收益是提前一期可知的，是劳动所得的工资收入。

可以看出来这是一个非常非常general的设定，你可以加入很多其它模型的特征来针对性地探讨某个变化对资产定价的影响。

投资者的目标是最大化一生的消费带来的效用，她必须动态的做出股票债券的买卖决定，从而获得投资收入用以消费，而消费越高她也就越开心。

在市场均衡条件下可以推导出下面这个公式

如果我们进一步假设消费的增长率和股票的收益率服从一个多元对数正态分布的并且效用函数是CRRA函数的话那么我们就可以得到下面的

关键公式
(事实上我们并不需要对消费增长率和股票收益率进行任何的模型假设，可以通过推导证明在目前的假设下Log-normal的相当于是对任意分布函数的一个二次逼近，具体可参考Romer Advanced Macroeconomics. p388)

其中,这就是传统意义上的CCAPM。

CAPM不过是CCAPM的一个特殊形式而已

1. 在CAPM的假设下可以认为市场上只有一种消费品就是Market Portfolio，因为它包含了所有投资品，而投资品是唯一在市场中产生额外收益的商品，所以代理人的消费的增长率等同于market portfolio的收益率,此时市场达到均衡。
   
2. 同时我们假设代理人对时间不敏感，同一个消费品目前消费和以后的某个时间消费对代理人没有区别，在这种情况下代理的人。(这里设置为1是为了使模型更靠近CAPM里的单期模型假设，事实上只要所有人的一致那么这个值不是1也行。)
   
3. 最后我们假设和不随时间变化，我们处在静态的世界里。

那么对于任意的资产关键公式可以重新写作

这个公式对于market portfolio当然也是成立的

将两个等式相除我们得到

这就是CAPM。

以上。

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