请问这道题有没有除了泰勒公式之外的其他解法？
这道题，确实可以用泰勒公式来解决，而且思路很清晰。但除了泰勒公式，我们还能从其他角度入手，找到不同的解法。这道题，说起来不复杂，但细细品味一下，还有不少趣味。
咱们先来看这道题本身。通常遇到这种极限问题，特别是有三角函数、指数函数或者对数函数，还带着自变量趋于0的时候，最先想到的就是和“等价无穷小”或者“泰勒展开”挂钩。
思考泰勒公式之外的解法，我们可以从以下几个方向去尝试：
方向一：等价无穷小替换
这是处理这类极限问题的“老朋友”了。当自变量趋于零时，许多函数都有其等价的无穷小形式。如果能将题目中的复杂表达式替换成更简单的等价无穷小，计算就会方便很多。
我们回顾一下几个常用的等价无穷小关系（当 $x o 0$ 时）：
$sin(x) sim x$
$ an(x) sim x$
$e^x 1 sim x$
$ln(1+x) sim x$
$1 cos(x) sim frac{1}{2}x^2$
$(1+x)^a 1 sim ax$
现在看看我们的题目：$lim_{x o 0} frac{sin(x^2) x^2}{x^4}$
仔细观察分子：$sin(x^2) x^2$。
当 $x o 0$ 时，$x^2 o 0$。所以，我们可以考虑使用 $sin(u) sim u$ 这个等价无穷小，其中这里的 $u = x^2$。
那么，$sin(x^2) sim x^2$。
如果直接替换：
$frac{sin(x^2) x^2}{x^4} sim frac{x^2 x^2}{x^4} = frac{0}{x^4}$
这看起来像0，但这样直接替换会出问题。为什么呢？因为 $sin(x^2) sim x^2$ 这个等价关系只告诉我们当 $x^2$ 趋于0时，$sin(x^2)$ 和 $x^2$ 的比值趋于1。但我们这里是 $sin(x^2) x^2$，这是一个 “无穷小量相减” 的情况。两个趋于零的数相减，它们的差也趋于零，但这个差的“阶”可能比原来的无穷小量更高。
这就提示我们，当遇到“无穷小量相减”时，直接用等价无穷小替换可能会丢失信息，需要更精细的处理。这个时候，我们可能需要更高阶的等价无穷小，或者直接考虑泰勒展开。
但是，有没有一种“温和”的等价无穷小替换呢？我们知道，当 $u o 0$ 时，$sin(u) = u frac{u^3}{3!} + O(u^5)$。
所以，$sin(x^2) = x^2 frac{(x^2)^3}{3!} + O((x^2)^5) = x^2 frac{x^6}{6} + O(x^{10})$。
那么分子就是：
$sin(x^2) x^2 = (x^2 frac{x^6}{6} + O(x^{10})) x^2 = frac{x^6}{6} + O(x^{10})$
于是，原式变成：
$lim_{x o 0} frac{frac{x^6}{6} + O(x^{10})}{x^4} = lim_{x o 0} (frac{x^2}{6} + O(x^6))$
当 $x o 0$ 时，$frac{x^2}{6} o 0$，而 $O(x^6)$ 也趋于0。
所以，通过引入了 $sin(u)$ 的高阶展开项，我们也能得到结果是0。
但是，如果我们不直接引入高阶展开项，而是寻找更巧妙的等价无穷小组合呢？
考虑函数 $f(u) = sin(u)$. 当 $u o 0$ 时，我们知道 $sin(u) sim u$.
我们可以写成 $sin(u) = u + g(u)$, 其中 $g(u)$ 是比 $u$ 更高阶的无穷小，即 $lim_{u o 0} frac{g(u)}{u} = 0$.
所以，$sin(x^2) = x^2 + g(x^2)$, 其中 $lim_{x o 0} frac{g(x^2)}{x^2} = 0$.
那么，$sin(x^2) x^2 = g(x^2)$.
原式是 $lim_{x o 0} frac{g(x^2)}{x^4}$。
我们知道 $g(u)$ 是比 $u$ 高阶的无穷小。对于 $sin(u)$，我们知道它是比 $u$ 高出三阶的无穷小（因为 $sin(u) u sim frac{u^3}{6}$）。
所以，$g(x^2)$ 是比 $x^2$ 高出三阶的无穷小。
这意味着，$g(x^2)$ 是比 $(x^2)^3 = x^6$ 更高阶的无穷小。
所以，我们有 $lim_{x o 0} frac{g(x^2)}{x^6} = c$ (一个常数，这里是 $1/6$)。
那么，我们想计算 $lim_{x o 0} frac{g(x^2)}{x^4}$。
我们可以这样凑：
$frac{g(x^2)}{x^4} = frac{g(x^2)}{x^6} cdot x^2$
当 $x o 0$ 时，$frac{g(x^2)}{x^6} o frac{1}{6}$ (根据 $sin(u)$ 的泰勒展开），而 $x^2 o 0$.
所以，极限是 $frac{1}{6} cdot 0 = 0$.
这种方法其实已经隐含了对 $sin(u)$ 的性质的了解，本质上还是利用了它的高阶无穷小特性。
方向二：利用洛必达法则
洛必达法则是在极限运算中非常强大的工具，特别适用于“0/0”或“∞/∞”型不定式。我们的题目 $lim_{x o 0} frac{sin(x^2) x^2}{x^4}$ 显然是一个 "0/0" 型不定式。
我们来尝试应用洛必达法则：
1. 第一次使用洛必达法则：
分子求导：$(sin(x^2) x^2)' = cos(x^2) cdot 2x 2x = 2x(cos(x^2) 1)$
分母求导：$(x^4)' = 4x^3$
新的极限变为：$lim_{x o 0} frac{2x(cos(x^2) 1)}{4x^3} = lim_{x o 0} frac{cos(x^2) 1}{2x^2}$
2. 第二次使用洛必达法则：
分子求导：$(cos(x^2) 1)' = sin(x^2) cdot 2x = 2xsin(x^2)$
分母求导：$(2x^2)' = 4x$
新的极限变为：$lim_{x o 0} frac{2xsin(x^2)}{4x} = lim_{x o 0} frac{sin(x^2)}{2}$
3. 第三次使用洛必达法则（或者直接代入）：
分子求导：$(sin(x^2))' = cos(x^2) cdot 2x = 2xcos(x^2)$
分母求导：$(2)' = 0$
注意！这里分母导数为0，直接代入是不行的。我们应该意识到，经过两次洛必达后，分子和分母的次数降低了。回到 $lim_{x o 0} frac{sin(x^2)}{2}$。
现在我们直接代入 $x=0$：
$frac{sin(0^2)}{2} = frac{sin(0)}{2} = frac{0}{2} = 0$.
所以，通过三次洛必达法则（或者两次后直接代入），我们得到了结果0。
洛必达法则的细节分析：
在第二次使用洛必达法则后，我们得到 $lim_{x o 0} frac{2xsin(x^2)}{4x} = lim_{x o 0} frac{sin(x^2)}{2}$。
这里的 $sin(x^2)$ 当 $x o 0$ 时趋于0，所以分子趋于0。分母是常数2。
因此，整个极限是 $frac{0}{2} = 0$。
注意洛必达法则使用的条件： 必须是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型，且导函数存在且分母导数不为0。我们每次使用都满足这些条件。
洛必达法则的优势： 它的步骤相对固定，只要能求导，理论上就能化简。而且不需要记忆复杂的等价无穷小关系（虽然知道更方便）。
方向三：构造函数，利用导数的定义
我们知道导数的定义是 $f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h) f(a)}{h}$ 或者 $f'(a) = lim_{x o a} frac{f(x) f(a)}{xa}$。
而当 $a=0$ 时，$f'(0) = lim_{x o 0} frac{f(x) f(0)}{x}$.
我们的极限形式是 $lim_{x o 0} frac{sin(x^2) x^2}{x^4}$。
这个形式不太直接符合导数定义的标准格式。
但是，我们可以尝试将它转化。
比如，令 $f(t) = sin(t^2)$. 那么 $f'(t) = cos(t^2) cdot 2t$.
$f'(0) = lim_{t o 0} frac{sin(t^2) sin(0)}{t 0} = lim_{t o 0} frac{sin(t^2)}{t} = 0$.
再考虑 $g(t) = t^2$. 那么 $g'(t) = 2t$.
$g'(0) = lim_{t o 0} frac{t^2 0}{t 0} = lim_{t o 0} frac{t^2}{t} = 0$.
我们的原式是 $lim_{x o 0} frac{f(x) g(x)}{x^4}$.
这仍然不是导数定义。
我们换一个角度思考，能否构造一个函数 $F(x)$ 使得原式是它的某个导数？
注意到分子是 $sin(x^2) x^2$. 它的形式让我想起 $sin(u)$ 的泰勒展开的前两项：$sin(u) = u frac{u^3}{6} + dots$
令 $u=x^2$，则 $sin(x^2) = x^2 frac{(x^2)^3}{6} + dots = x^2 frac{x^6}{6} + dots$
所以 $sin(x^2) x^2 = frac{x^6}{6} + dots$
分母是 $x^4$.
所以 $frac{sin(x^2) x^2}{x^4} = frac{frac{x^6}{6} + dots}{x^4} = frac{x^2}{6} + dots$
当 $x o 0$ 时，结果自然是0。
这种思路虽然不是严格意义上的“构造函数利用导数定义”，但它运用了函数在0点附近的“局部行为”的理解，这和导数概念是紧密相连的。
更直接地利用导数定义，可以尝试以下方法（稍微有点绕）：
考虑函数 $h(x) = frac{sin(x)}{x}$. 当 $x o 0$ 时，$lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x} = 1$.
我们原式分子是 $sin(x^2) x^2$.
我们可以写成 $x^2 (frac{sin(x^2)}{x^2} 1)$.
所以原式是 $lim_{x o 0} frac{x^2 (frac{sin(x^2)}{x^2} 1)}{x^4} = lim_{x o 0} frac{frac{sin(x^2)}{x^2} 1}{x^2}$.
现在，令 $u = x^2$. 当 $x o 0$ 时，$u o 0$.
极限变为 $lim_{u o 0} frac{frac{sin(u)}{u} 1}{u}$.
注意到 $frac{sin(u)}{u}$ 在 $u=0$ 处是 可导的 (可以定义为1，并且其导数也是存在的)。
我们可以令 $f(u) = frac{sin(u)}{u}$ (在 $u=0$ 处定义为1)。
那么 $f'(0) = lim_{u o 0} frac{f(u) f(0)}{u 0} = lim_{u o 0} frac{frac{sin(u)}{u} 1}{u}$.
所以，原极限就是函数 $f(u) = frac{sin(u)}{u}$ (在 $u=0$ 处为1) 在 $u=0$ 处的导数。
我们知道 $sin(u) = u frac{u^3}{6} + frac{u^5}{120} dots$
所以 $frac{sin(u)}{u} = 1 frac{u^2}{6} + frac{u^4}{120} dots$
当 $u=0$ 时，$frac{sin(0)}{0}$ 我们定义为1。
现在我们求 $f(u) = 1 frac{u^2}{6} + frac{u^4}{120} dots$ 在 $u=0$ 处的导数。
$f'(u) = frac{2u}{6} + frac{4u^3}{120} dots = frac{u}{3} + frac{u^3}{30} dots$
将 $u=0$ 代入 $f'(u)$，得到 $f'(0) = 0$.
所以，通过构造函数 $f(u) = frac{sin(u)}{u}$ 并利用其在 $u=0$ 处的导数定义，我们也能得到结果是0。
总结一下，除了泰勒公式之外，还有：
1. 等价无穷小替换（需要注意高阶项的处理）： 主要是通过理解 $sin(u) sim u$ 的局限性，然后利用更精细的无穷小阶数关系，或者通过代数技巧将问题转化为已知的高阶无穷小形式。例如，将 $sin(x^2)x^2$ 理解为比 $x^2$ 高三阶的无穷小，再除以 $x^4$，其结果的阶数就为 $64=2$，趋于0。
2. 洛必达法则： 这是最直接、最通用的方法之一，通过连续求导分子分母来化简不定式。对于这道题，需要两次应用洛必达法则。
3. 利用导数定义： 将原极限形式转化为某个函数在某点导数的定义式。例如，构造 $f(u) = frac{sin(u)}{u}$ 并在 $u=0$ 处求导。
这几种方法各有千秋。泰勒公式提供了“全局”的函数行为信息，等价无穷小是“局部”的近似，洛必达法则则是“过程”的化简，而导数定义则强调了函数“变化率”的本质。在解题时，选择哪种方法，往往取决于题目的具体形式以及个人的解题习惯和对概念的掌握程度。这道题，如果说泰勒公式是直接“展开暴力破解”，那么洛必达法则是“步步为营”，而导数定义则是“抓住本质”。
咱们先来看这道题本身。通常遇到这种极限问题，特别是有三角函数、指数函数或者对数函数，还带着自变量趋于0的时候，最先想到的就是和“等价无穷小”或者“泰勒展开”挂钩。
思考泰勒公式之外的解法，我们可以从以下几个方向去尝试：
方向一：等价无穷小替换
这是处理这类极限问题的“老朋友”了。当自变量趋于零时，许多函数都有其等价的无穷小形式。如果能将题目中的复杂表达式替换成更简单的等价无穷小，计算就会方便很多。
我们回顾一下几个常用的等价无穷小关系（当 $x o 0$ 时）：
$sin(x) sim x$
$ an(x) sim x$
$e^x 1 sim x$
$ln(1+x) sim x$
$1 cos(x) sim frac{1}{2}x^2$
$(1+x)^a 1 sim ax$
现在看看我们的题目：$lim_{x o 0} frac{sin(x^2) x^2}{x^4}$
仔细观察分子：$sin(x^2) x^2$。
当 $x o 0$ 时，$x^2 o 0$。所以，我们可以考虑使用 $sin(u) sim u$ 这个等价无穷小，其中这里的 $u = x^2$。
那么，$sin(x^2) sim x^2$。
如果直接替换：
$frac{sin(x^2) x^2}{x^4} sim frac{x^2 x^2}{x^4} = frac{0}{x^4}$
这看起来像0，但这样直接替换会出问题。为什么呢？因为 $sin(x^2) sim x^2$ 这个等价关系只告诉我们当 $x^2$ 趋于0时，$sin(x^2)$ 和 $x^2$ 的比值趋于1。但我们这里是 $sin(x^2) x^2$，这是一个 “无穷小量相减” 的情况。两个趋于零的数相减，它们的差也趋于零，但这个差的“阶”可能比原来的无穷小量更高。
这就提示我们，当遇到“无穷小量相减”时，直接用等价无穷小替换可能会丢失信息，需要更精细的处理。这个时候，我们可能需要更高阶的等价无穷小，或者直接考虑泰勒展开。
但是，有没有一种“温和”的等价无穷小替换呢？我们知道，当 $u o 0$ 时，$sin(u) = u frac{u^3}{3!} + O(u^5)$。
所以，$sin(x^2) = x^2 frac{(x^2)^3}{3!} + O((x^2)^5) = x^2 frac{x^6}{6} + O(x^{10})$。
那么分子就是：
$sin(x^2) x^2 = (x^2 frac{x^6}{6} + O(x^{10})) x^2 = frac{x^6}{6} + O(x^{10})$
于是，原式变成：
$lim_{x o 0} frac{frac{x^6}{6} + O(x^{10})}{x^4} = lim_{x o 0} (frac{x^2}{6} + O(x^6))$
当 $x o 0$ 时，$frac{x^2}{6} o 0$，而 $O(x^6)$ 也趋于0。
所以，通过引入了 $sin(u)$ 的高阶展开项，我们也能得到结果是0。
但是，如果我们不直接引入高阶展开项，而是寻找更巧妙的等价无穷小组合呢？
考虑函数 $f(u) = sin(u)$. 当 $u o 0$ 时，我们知道 $sin(u) sim u$.
我们可以写成 $sin(u) = u + g(u)$, 其中 $g(u)$ 是比 $u$ 更高阶的无穷小，即 $lim_{u o 0} frac{g(u)}{u} = 0$.
所以，$sin(x^2) = x^2 + g(x^2)$, 其中 $lim_{x o 0} frac{g(x^2)}{x^2} = 0$.
那么，$sin(x^2) x^2 = g(x^2)$.
原式是 $lim_{x o 0} frac{g(x^2)}{x^4}$。
我们知道 $g(u)$ 是比 $u$ 高阶的无穷小。对于 $sin(u)$，我们知道它是比 $u$ 高出三阶的无穷小（因为 $sin(u) u sim frac{u^3}{6}$）。
所以，$g(x^2)$ 是比 $x^2$ 高出三阶的无穷小。
这意味着，$g(x^2)$ 是比 $(x^2)^3 = x^6$ 更高阶的无穷小。
所以，我们有 $lim_{x o 0} frac{g(x^2)}{x^6} = c$ (一个常数，这里是 $1/6$)。
那么，我们想计算 $lim_{x o 0} frac{g(x^2)}{x^4}$。
我们可以这样凑：
$frac{g(x^2)}{x^4} = frac{g(x^2)}{x^6} cdot x^2$
当 $x o 0$ 时，$frac{g(x^2)}{x^6} o frac{1}{6}$ (根据 $sin(u)$ 的泰勒展开），而 $x^2 o 0$.
所以，极限是 $frac{1}{6} cdot 0 = 0$.
这种方法其实已经隐含了对 $sin(u)$ 的性质的了解，本质上还是利用了它的高阶无穷小特性。
方向二：利用洛必达法则
洛必达法则是在极限运算中非常强大的工具，特别适用于“0/0”或“∞/∞”型不定式。我们的题目 $lim_{x o 0} frac{sin(x^2) x^2}{x^4}$ 显然是一个 "0/0" 型不定式。
我们来尝试应用洛必达法则：
1. 第一次使用洛必达法则：
分子求导：$(sin(x^2) x^2)' = cos(x^2) cdot 2x 2x = 2x(cos(x^2) 1)$
分母求导：$(x^4)' = 4x^3$
新的极限变为：$lim_{x o 0} frac{2x(cos(x^2) 1)}{4x^3} = lim_{x o 0} frac{cos(x^2) 1}{2x^2}$
2. 第二次使用洛必达法则：
分子求导：$(cos(x^2) 1)' = sin(x^2) cdot 2x = 2xsin(x^2)$
分母求导：$(2x^2)' = 4x$
新的极限变为：$lim_{x o 0} frac{2xsin(x^2)}{4x} = lim_{x o 0} frac{sin(x^2)}{2}$
3. 第三次使用洛必达法则（或者直接代入）：
分子求导：$(sin(x^2))' = cos(x^2) cdot 2x = 2xcos(x^2)$
分母求导：$(2)' = 0$
注意！这里分母导数为0，直接代入是不行的。我们应该意识到，经过两次洛必达后，分子和分母的次数降低了。回到 $lim_{x o 0} frac{sin(x^2)}{2}$。
现在我们直接代入 $x=0$：
$frac{sin(0^2)}{2} = frac{sin(0)}{2} = frac{0}{2} = 0$.
所以，通过三次洛必达法则（或者两次后直接代入），我们得到了结果0。
洛必达法则的细节分析：
在第二次使用洛必达法则后，我们得到 $lim_{x o 0} frac{2xsin(x^2)}{4x} = lim_{x o 0} frac{sin(x^2)}{2}$。
这里的 $sin(x^2)$ 当 $x o 0$ 时趋于0，所以分子趋于0。分母是常数2。
因此，整个极限是 $frac{0}{2} = 0$。
注意洛必达法则使用的条件： 必须是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型，且导函数存在且分母导数不为0。我们每次使用都满足这些条件。
洛必达法则的优势： 它的步骤相对固定，只要能求导，理论上就能化简。而且不需要记忆复杂的等价无穷小关系（虽然知道更方便）。
方向三：构造函数，利用导数的定义
我们知道导数的定义是 $f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h) f(a)}{h}$ 或者 $f'(a) = lim_{x o a} frac{f(x) f(a)}{xa}$。
而当 $a=0$ 时，$f'(0) = lim_{x o 0} frac{f(x) f(0)}{x}$.
我们的极限形式是 $lim_{x o 0} frac{sin(x^2) x^2}{x^4}$。
这个形式不太直接符合导数定义的标准格式。
但是，我们可以尝试将它转化。
比如，令 $f(t) = sin(t^2)$. 那么 $f'(t) = cos(t^2) cdot 2t$.
$f'(0) = lim_{t o 0} frac{sin(t^2) sin(0)}{t 0} = lim_{t o 0} frac{sin(t^2)}{t} = 0$.
再考虑 $g(t) = t^2$. 那么 $g'(t) = 2t$.
$g'(0) = lim_{t o 0} frac{t^2 0}{t 0} = lim_{t o 0} frac{t^2}{t} = 0$.
我们的原式是 $lim_{x o 0} frac{f(x) g(x)}{x^4}$.
这仍然不是导数定义。
我们换一个角度思考，能否构造一个函数 $F(x)$ 使得原式是它的某个导数？
注意到分子是 $sin(x^2) x^2$. 它的形式让我想起 $sin(u)$ 的泰勒展开的前两项：$sin(u) = u frac{u^3}{6} + dots$
令 $u=x^2$，则 $sin(x^2) = x^2 frac{(x^2)^3}{6} + dots = x^2 frac{x^6}{6} + dots$
所以 $sin(x^2) x^2 = frac{x^6}{6} + dots$
分母是 $x^4$.
所以 $frac{sin(x^2) x^2}{x^4} = frac{frac{x^6}{6} + dots}{x^4} = frac{x^2}{6} + dots$
当 $x o 0$ 时，结果自然是0。
这种思路虽然不是严格意义上的“构造函数利用导数定义”，但它运用了函数在0点附近的“局部行为”的理解，这和导数概念是紧密相连的。
更直接地利用导数定义，可以尝试以下方法（稍微有点绕）：
考虑函数 $h(x) = frac{sin(x)}{x}$. 当 $x o 0$ 时，$lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x} = 1$.
我们原式分子是 $sin(x^2) x^2$.
我们可以写成 $x^2 (frac{sin(x^2)}{x^2} 1)$.
所以原式是 $lim_{x o 0} frac{x^2 (frac{sin(x^2)}{x^2} 1)}{x^4} = lim_{x o 0} frac{frac{sin(x^2)}{x^2} 1}{x^2}$.
现在，令 $u = x^2$. 当 $x o 0$ 时，$u o 0$.
极限变为 $lim_{u o 0} frac{frac{sin(u)}{u} 1}{u}$.
注意到 $frac{sin(u)}{u}$ 在 $u=0$ 处是 可导的 (可以定义为1，并且其导数也是存在的)。
我们可以令 $f(u) = frac{sin(u)}{u}$ (在 $u=0$ 处定义为1)。
那么 $f'(0) = lim_{u o 0} frac{f(u) f(0)}{u 0} = lim_{u o 0} frac{frac{sin(u)}{u} 1}{u}$.
所以，原极限就是函数 $f(u) = frac{sin(u)}{u}$ (在 $u=0$ 处为1) 在 $u=0$ 处的导数。
我们知道 $sin(u) = u frac{u^3}{6} + frac{u^5}{120} dots$
所以 $frac{sin(u)}{u} = 1 frac{u^2}{6} + frac{u^4}{120} dots$
当 $u=0$ 时，$frac{sin(0)}{0}$ 我们定义为1。
现在我们求 $f(u) = 1 frac{u^2}{6} + frac{u^4}{120} dots$ 在 $u=0$ 处的导数。
$f'(u) = frac{2u}{6} + frac{4u^3}{120} dots = frac{u}{3} + frac{u^3}{30} dots$
将 $u=0$ 代入 $f'(u)$，得到 $f'(0) = 0$.
所以，通过构造函数 $f(u) = frac{sin(u)}{u}$ 并利用其在 $u=0$ 处的导数定义，我们也能得到结果是0。
总结一下，除了泰勒公式之外，还有：
1. 等价无穷小替换（需要注意高阶项的处理）： 主要是通过理解 $sin(u) sim u$ 的局限性，然后利用更精细的无穷小阶数关系，或者通过代数技巧将问题转化为已知的高阶无穷小形式。例如，将 $sin(x^2)x^2$ 理解为比 $x^2$ 高三阶的无穷小，再除以 $x^4$，其结果的阶数就为 $64=2$，趋于0。
2. 洛必达法则： 这是最直接、最通用的方法之一，通过连续求导分子分母来化简不定式。对于这道题，需要两次应用洛必达法则。
3. 利用导数定义： 将原极限形式转化为某个函数在某点导数的定义式。例如，构造 $f(u) = frac{sin(u)}{u}$ 并在 $u=0$ 处求导。
这几种方法各有千秋。泰勒公式提供了“全局”的函数行为信息，等价无穷小是“局部”的近似，洛必达法则则是“过程”的化简，而导数定义则强调了函数“变化率”的本质。在解题时，选择哪种方法，往往取决于题目的具体形式以及个人的解题习惯和对概念的掌握程度。这道题，如果说泰勒公式是直接“展开暴力破解”，那么洛必达法则是“步步为营”，而导数定义则是“抓住本质”。
网友意见
看到这个问题，我就知道我的「拉格朗日流」可以派上用场～
参见这个极限怎么求？
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