百科问答小站 logo   百科问答小站
问题

平均多少个 [a, b] 间的随机数之和才大于 c？

回答
这个问题挺有意思的，咱们把它拆解开来好好捋一捋。你想知道，平均来说，我们需要从一个指定范围 [a, b] 里取出多少个随机数，才能让它们的总和首次超过一个目标值 c。

首先，咱们得明白“随机数”是怎么回事。通常我们说的随机数，指的是在一个给定的区间内，每个数被取到的可能性都是一样的，这就是所谓的“均匀分布”。比如，你要从 1 到 10 里随机取一个数，那么取到 1 的概率和取到 5 的概率，或者取到 10 的概率，都是一样的。

接着，我们关注的是“和”。当你反复从 [a, b] 这个区间里取数，并且把它们加起来，这个“和”本身也是一个不断变化的随机量。我们想知道的是，这个“和”什么时候会“大于” c。

“平均多少个”这个说法，实际上是在问一个期望值。你想知道的是，如果我们一遍又一遍地重复这个过程——从 [a, b] 取数累加，直到总和大于 c——那么在所有这些重复的过程中，平均来说，我们一共取了多少个数。

这里面有两个关键点是影响结果的：

1. 你取的数字的平均大小： 从 [a, b] 这个区间里随机取出的数的平均值是多少？这很容易算，就是区间两端数字的平均数，也就是 (a + b) / 2。这个平均值决定了你每增加一个数，你的总和平均会增加多少。
2. 你想要达到的目标值 c： 这个目标值越高，你自然需要累加更多的数才能达到。

咱们来举个例子，这样会更直观：

假设我们从 1 到 10 的区间里随机取数，也就是说 a=1，b=10。那么我们每取一个数的平均值就是 (1 + 10) / 2 = 5.5。

现在，假设我们的目标值 c 是 30。

如果每次取的数都恰好是平均值 5.5，那么要达到 30，我们需要 30 / 5.5 ≈ 5.45 个数。因为我们只能取整数个，所以可能需要 5 个或者 6 个数。

但问题在于，我们取的数不总是 5.5，有时会比 5.5 大，有时会比 5.5 小。这就是随机性的魅力所在。

那么，我们怎么“平均”地计算呢？

这背后其实涉及到一些概率统计的理论，尤其是“大数定律”和“中心极限定理”的一些思想。简单来说，随着你取到的随机数越来越多，它们的平均值会越来越接近我们计算出来的那个理论平均值 (a + b) / 2。

所以，一种非常直观的近似方法是：

我们用目标值 c 除以我们从 [a, b] 范围里取出的数的 平均值。

平均需要的个数 ≈ c / ( (a + b) / 2 )

或者更简洁地说：

平均需要的个数 ≈ 2 c / (a + b)

为什么这个近似是合理的呢？

因为我们关心的不是某一次取数具体会是多少，而是“平均”的情况。当我们累加很多很多个随机数的时候，它们的总和的平均增长速度，就趋近于你每次增加的数的平均值乘以你增加的次数。所以，如果你希望总和达到 c，那么你需要的次数，自然就是 c 除以每次平均能增加多少。

需要注意的几点：

这是个近似值： 尤其是在 c 相对于 (a+b)/2 比较小的时候，或者区间 [a, b] 本身比较窄的时候，这个近似可能就不那么精确了。因为随机数本身的波动在这个时候会显得比较突出。
“大于”的精确含义： 我们求的是“平均多少个”和“才大于 c”。这意味着我们会在总和刚刚超过 c 的那个瞬间停下来。
更精确的数学方法： 如果要进行更精确的计算，通常需要用到更复杂的概率分布模型，比如泊松过程或者一些马尔可夫链的分析，来考虑“第一次达到”的概率。但这通常会超出一般性的描述范围，而且结果也可能很难用一个简单的公式概括。

总结一下：

想要估算平均需要多少个从 [a, b] 区间里取出的随机数才能让它们的总和大于 c，最直观且常用的方法就是用目标值 c 除以这些随机数的平均值。而这些随机数的平均值，就是区间 [a, b] 的中点，也就是 (a + b) / 2。所以，大概就是 c 除以 (a+b)/2 这个数量级。

网友意见

user avatar

后来我意识到下面独立和的密度函数 表达式有更简单的推导方法。令 。则 是 的 重卷积。把括号打开，一共有 个卷积项。但是卷积是交换的，所以，最后只有 项，正好对应 的表达式。

下面是之前的回答。

本文在酱紫君的基础上做一点完善。目前只考虑 的情况。令 是第一次部分和超过 的时间。则，

。这和之前匿名用户的答案是一致的。之前还有提到用更新理论算Laplace逆变换的，应该也是可以的。形式上，有个不严谨方法是先把函数 写成 然后逐项求Laplace逆变换，和下面求Fourier逆变换的凑法是一样的。

对于 ，情况复杂，简单的来看如果 ， ，那么，


先考虑 时, 个独立的 上的均匀分布的随机变量 的独立和 的密度函数 。每个 上的均匀分布的特征函数为 。所以， 个均匀分布的独立和的密度函数为 。接下来，我们通过Fourier逆变换求 。注意到 是 的特征函数，其中 是 这一点的Dirac点测度。所以， 是 的 次卷积的特征函数。而 的 次卷积是 。接下来考虑 的Fourier逆变换。注意到 。如果我们把 想象成 ，那么我们发现 的Fourier变换就是 。然而，这应该在缓增广义函数 的意义下是成立的。然后，求 的 次卷积，得到 。最后，我们把 和 卷积在一起，就得到了 。

接下来，我们考虑一般的 ，令 ，则 是独立同分布的 上的均匀分布，他们的独立和 。所以， 的密度函数 满足 。所以， 。 的表达式有更简单更直接的推法， 的表达式有更简单更直接的推法


对于 ，

第一个等号的地方我们用到了 。那么， 。如果 ，这只是一个有限求和，所以可以任意换序，将其写成 。如果 ， 。上述求和绝对收敛，所以，我们先对 求和，得 。

类似的话题

本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等

© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有

服务条款
联系我们
关于我们
隐私政策
友情链接
知乎
百度问答
搜狐
新浪