一个10平方厘米的正方形和一个100平方厘米的正方形都由无数的点组成，那么为什么后者比前者大呢？
这问题问得很有意思，也很容易让人陷入一种思维的误区。我们都知道，正方形的大小是由它的边长决定的，而边长又直接关联着面积。你说一个10平方厘米的正方形和一个100平方厘米的正方形，面积不同，自然就大小不同了。但你提到了“无数的点组成”，这触及到了更本质的数学概念，也就是“集合”和“基数”。
我们来打个比方，想象一下我们手里有两堆沙子。一堆里面有10粒沙子，另一堆有100粒沙子。很明显，第二堆沙子比第一堆多。这就是我们通常理解的数量概念。
现在，我们把沙子换成更小的东西，比如非常非常小的颗粒。我们甚至可以想象它们小到肉眼几乎看不见，就像你说的“无数的点”。
对于数学上的点，它们是没有大小、没有形状的，只是一个在空间中的位置。一个正方形，无论多大，都可以被看作是无数个这样的点的集合。
为什么100平方厘米的正方形会比10平方厘米的正方形大呢？关键在于，“大”在这里指的是包含的“点”的数量，或者更准确地说，是这个点集所占据的空间范围。
让我们稍微深入一点。我们考虑一个一维的概念，比如一条线段。
一条长度为10厘米的线段，可以看作是由10厘米那么多个“点”紧密排列组成的。
一条长度为100厘米的线段，也可以看作是由100厘米那么多个“点”紧密排列组成的。
显而易见，100厘米的线段比10厘米的线段“包含”更多的点，因为它横跨的空间更广。
现在回到二维的正方形。
一个10平方厘米的正方形，我们可以想象它由边长为√10 厘米的正方形组成。你可以把它想象成在一张纸上画一个边长约为3.16厘米的正方形。这个正方形内部，包含着某种“密度”的点。
而一个100平方厘米的正方形，它的边长就是√100 厘米，也就是10厘米。你可以想象它是在同一张纸上画一个边长为10厘米的正方形。
问题就出在“密度”和“范围”上。
虽然两个正方形都由“无数的点”组成，但是100平方厘米的正方形的“点”所占有的空间范围更广。你可以把正方形想象成一个网格。
对于10平方厘米的正方形，我们可以想象它内部的“点”被“打包”在一个相对小的区域里。我们可以用一个边长为√10的网格来“覆盖”它。
对于100平方厘米的正方形，我们可以用一个边长为10的网格来“覆盖”它。
我们可以这样来理解：假设我们用某种单位“点”来衡量大小。
比如，在一个1平方厘米的区域里，我们假设能放置100个“单位点”。
那么，在10平方厘米的区域里，就能放置 10 100 = 1000 个“单位点”。
而在100平方厘米的区域里，就能放置 100 100 = 10000 个“单位点”。
当然，这里说的“单位点”是为了方便理解，实际的“点”是无穷小且没有间隔的。
真正区分它们大小的关键在于“面积”这个概念本身。 面积是一个测量值，它量化了二维图形在平面上占据的空间大小。而“无数的点”只是构成这个图形的基础元素，它们共同“填充”了由面积所定义的那个空间。
10平方厘米，意味着这个正方形所覆盖的二维平面区域的大小是10个基本单位平方。
100平方厘米，意味着这个正方形所覆盖的二维平面区域的大小是100个基本单位平方。
你可以把“点”看作是构成砖块的沙子，而面积就是用这些沙子堆砌起来的墙有多大。尽管两面墙都是由沙子组成的，但100平方厘米的墙就是比10平方厘米的墙大，因为它需要更多的沙子来堆砌，占据的空间也更多。
即使我们把单位“点”的数量想象成无限大，我们仍然可以用“密度”来区分。一个100平方厘米的正方形，如果我们以相同的“点密度”来填充，它自然会比10平方厘米的正方形包含更多的点。
核心在于，面积是直接衡量空间占有量的指标。点是构成这个空间的基本单位，但数量上存在差异是由于它们所占据的“空间尺度”不同。
想象一下，你有一箱积木，每块积木都是一个点。
一个10平方厘米的正方形，就像是用10单位的积木堆成的形状。
一个100平方厘米的正方形，就像是用100单位的积木堆成的形状。
即使我们说积木是无限小的，但你需要的“数量”是不同的。100单位的积木总会比10单位的积木多，从而堆砌出更大的形状。
所以，尽管两者都是由“无数点”组成的，但那个100平方厘米的正方形，因为它的“尺寸”（边长是10厘米，而10平方厘米的边长是√10厘米）更大，所以它在二维平面上占据的空间更大，因而包含的“点”也更多，也就更大。面积就是衡量这种“点”所覆盖空间大小的尺子。
我们来打个比方，想象一下我们手里有两堆沙子。一堆里面有10粒沙子，另一堆有100粒沙子。很明显，第二堆沙子比第一堆多。这就是我们通常理解的数量概念。
现在，我们把沙子换成更小的东西，比如非常非常小的颗粒。我们甚至可以想象它们小到肉眼几乎看不见，就像你说的“无数的点”。
对于数学上的点，它们是没有大小、没有形状的，只是一个在空间中的位置。一个正方形，无论多大，都可以被看作是无数个这样的点的集合。
为什么100平方厘米的正方形会比10平方厘米的正方形大呢？关键在于，“大”在这里指的是包含的“点”的数量，或者更准确地说，是这个点集所占据的空间范围。
让我们稍微深入一点。我们考虑一个一维的概念，比如一条线段。
一条长度为10厘米的线段，可以看作是由10厘米那么多个“点”紧密排列组成的。
一条长度为100厘米的线段，也可以看作是由100厘米那么多个“点”紧密排列组成的。
显而易见，100厘米的线段比10厘米的线段“包含”更多的点，因为它横跨的空间更广。
现在回到二维的正方形。
一个10平方厘米的正方形，我们可以想象它由边长为√10 厘米的正方形组成。你可以把它想象成在一张纸上画一个边长约为3.16厘米的正方形。这个正方形内部，包含着某种“密度”的点。
而一个100平方厘米的正方形，它的边长就是√100 厘米，也就是10厘米。你可以想象它是在同一张纸上画一个边长为10厘米的正方形。
问题就出在“密度”和“范围”上。
虽然两个正方形都由“无数的点”组成，但是100平方厘米的正方形的“点”所占有的空间范围更广。你可以把正方形想象成一个网格。
对于10平方厘米的正方形，我们可以想象它内部的“点”被“打包”在一个相对小的区域里。我们可以用一个边长为√10的网格来“覆盖”它。
对于100平方厘米的正方形，我们可以用一个边长为10的网格来“覆盖”它。
我们可以这样来理解：假设我们用某种单位“点”来衡量大小。
比如，在一个1平方厘米的区域里，我们假设能放置100个“单位点”。
那么，在10平方厘米的区域里，就能放置 10 100 = 1000 个“单位点”。
而在100平方厘米的区域里，就能放置 100 100 = 10000 个“单位点”。
当然，这里说的“单位点”是为了方便理解，实际的“点”是无穷小且没有间隔的。
真正区分它们大小的关键在于“面积”这个概念本身。 面积是一个测量值，它量化了二维图形在平面上占据的空间大小。而“无数的点”只是构成这个图形的基础元素，它们共同“填充”了由面积所定义的那个空间。
10平方厘米，意味着这个正方形所覆盖的二维平面区域的大小是10个基本单位平方。
100平方厘米，意味着这个正方形所覆盖的二维平面区域的大小是100个基本单位平方。
你可以把“点”看作是构成砖块的沙子，而面积就是用这些沙子堆砌起来的墙有多大。尽管两面墙都是由沙子组成的，但100平方厘米的墙就是比10平方厘米的墙大，因为它需要更多的沙子来堆砌，占据的空间也更多。
即使我们把单位“点”的数量想象成无限大，我们仍然可以用“密度”来区分。一个100平方厘米的正方形，如果我们以相同的“点密度”来填充，它自然会比10平方厘米的正方形包含更多的点。
核心在于，面积是直接衡量空间占有量的指标。点是构成这个空间的基本单位，但数量上存在差异是由于它们所占据的“空间尺度”不同。
想象一下，你有一箱积木，每块积木都是一个点。
一个10平方厘米的正方形，就像是用10单位的积木堆成的形状。
一个100平方厘米的正方形，就像是用100单位的积木堆成的形状。
即使我们说积木是无限小的，但你需要的“数量”是不同的。100单位的积木总会比10单位的积木多，从而堆砌出更大的形状。
所以，尽管两者都是由“无数点”组成的，但那个100平方厘米的正方形，因为它的“尺寸”（边长是10厘米，而10平方厘米的边长是√10厘米）更大，所以它在二维平面上占据的空间更大，因而包含的“点”也更多，也就更大。面积就是衡量这种“点”所覆盖空间大小的尺子。
网友意见
请定义“大”，即序关系。如果是指面积大小，无疑后者大。如果是指集合的“不等势”，二者一样大。
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