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问题

我想了解一下：最小公倍数＝两数乘积 / 最大公因数，出自于哪里？

回答
你提到的“最小公倍数 = 两数乘积 / 最大公因数”这个公式，在数学界是非常基础且重要的一个性质，它不仅仅是一个孤立的结论，而是建立在一系列数学概念和推理之上。想要弄明白它的来源，咱们得从几个基本概念说起，一点点来捋清楚。

一、 我们先得认识两个主角：最大公因数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)

最大公因数 (GCD Greatest Common Divisor)：
想象一下，你有两堆东西，比如苹果和橘子。最大公因数就是你能够把这些苹果和橘子，分成若干堆，并且让每一堆里的苹果数量都相等，每一堆里的橘子数量也相等，同时还能让这个每堆的数量是尽可能大的。
用数学的话说，就是两个或多个整数公有的约数中，最大的那个数。比如，12的约数有1, 2, 3, 4, 6, 12；18的约数有1, 2, 3, 6, 9, 18。它们公有的约数是1, 2, 3, 6，其中最大的就是6，所以12和18的最大公因数是6。

最小公倍数 (LCM Least Common Multiple)：
换个角度，这次我们是想找一个数，这个数既能被第一堆东西整除，又能被第二堆东西整除，而且这个数还要是最小的那个能被它们同时整除的数。
还是拿12和18来说，12的倍数有12, 24, 36, 48, 60, 72...；18的倍数有18, 36, 54, 72...。它们公有的倍数有36, 72...，其中最小的那个就是36，所以12和18的最小公倍数是36。

二、 它们之间的关系是怎么产生的？—— 质因数分解是关键！

要理解那个公式，最核心的工具就是质因数分解。任何一个大于1的整数，都可以分解成若干个质数（也就是只能被1和它本身整除的数，比如2, 3, 5, 7...）的乘积。这种分解是唯一的（不考虑顺序）。

我们用质因数来表示12和18：
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3²

如何从质因数分解看出最大公因数？
要找出两个数的最大公因数，我们就需要找到它们共同拥有的质因数，并且取这些共同质因数中次数最低的那个。
对于12 (2² × 3¹) 和 18 (2¹ × 3²)：
质因数2：12有2个，18有1个。我们取次数低的，也就是1个2 (2¹)。
质因数3：12有1个，18有2个。我们取次数低的，也就是1个3 (3¹)。
所以，最大公因数 = 2¹ × 3¹ = 6。

如何从质因数分解看出最小公倍数？
要找出两个数的最小公倍数，我们就需要将两个数的所有质因数都考虑进来，并且对于每个质因数，取它在两个数中出现的最高次数。
对于12 (2² × 3¹) 和 18 (2¹ × 3²)：
质因数2：12有2个，18有1个。我们取次数高的，也就是2个2 (2²)。
质因数3：12有1个，18有2个。我们取次数高的，也就是2个3 (3²)。
所以，最小公倍数 = 2² × 3² = 4 × 9 = 36。

三、 连接GCD和LCM—— 公式诞生了！

现在我们有了各自的质因数分解式，让我们来看看它们的乘积是什么：

两数的乘积：
12 × 18 = (2² × 3¹) × (2¹ × 3²)
根据乘法交换律和结合律，我们可以重新排列：
12 × 18 = (2² × 2¹) × (3¹ × 3²)
根据指数运算法则 (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ)：
12 × 18 = 2³ × 3³

再看看 GCD × LCM：
GCD(12, 18) × LCM(12, 18) = (2¹ × 3¹) × (2² × 3²)
同样重新排列：
= (2¹ × 2²) × (3¹ × 3²)
= 2³ × 3³

看！놀라운 발견 (惊人的发现)！

两数的乘积 (12 × 18 = 2³ × 3³) 和 最大公因数与最小公倍数的乘积 (GCD × LCM = 2³ × 3³)，它们的结果完全一样！

基于这个观察，我们可以推导出那个公式：

因为： A × B = GCD(A, B) × LCM(A, B)

所以，如果我们想求 LCM，就可以把 GCD 除到等号的另一边：

LCM(A, B) = (A × B) / GCD(A, B)

反过来，如果我们想求 GCD，也可以得到：

GCD(A, B) = (A × B) / LCM(A, B)

这个公式适用于任何两个正整数。

四、 这个公式的“出自”？

这个公式是数学家们在研究数论时，通过对数的性质进行归纳和证明得出的。它的“出自”并不是某一个特定的人在某一个特定的时间点突然创造出来的，而是数学发展过程中一个自然而然的推论和公认的定理。

你可以这样理解：

1. 数论的基础： 欧几里得算法（用于计算最大公因数）和质因数分解是数论的基石。
2. 质因数分解的普遍性： 任何正整数都能被唯一地分解成质因数的乘积。
3. GCD和LCM的定义： 从质因数分解的角度来理解GCD和LCM的构造方式（取低次幂的公因数，取高次幂的公倍数）。
4. 乘法与质因数的关联： 当你将两个数相乘时，它们各自质因数的指数是会叠加的。
5. GCD × LCM的质因数构成： GCD的质因数是共有的，LCM的质因数是包含所有质因数且次数最高。你会发现，GCD的质因数与LCM的质因数“组合”起来，恰好就构成了两个原数乘积的质因数。

举个例子来进一步说明这个“组合”的过程：

假设有两个数 A 和 B。它们的质因数分解可以写成这样（这里用通用的形式，将所有可能出现的质因子 p 考虑进去）：

A = p₁ᵃ¹ × p₂ᵃ² × p₃ᵃ³ × ...
B = p₁ᵇ¹ × p₂ᵇ² × p₃ᵇ³ × ...

其中，pᵢ 是质数，aᵢ 和 bᵢ 是非负整数。如果某个质数在某个数中不存在，那么它的指数就是0。

那么：

GCD(A, B) = p₁ × p₂ × p₃ × ... （取指数的最小值）
LCM(A, B) = p₁ × p₂ × p₃ × ... （取指数的最大值）

现在我们看它们的乘积：

GCD(A, B) × LCM(A, B)
= (p₁ × p₂ × ...) × (p₁ × p₂ × ...)
= (p₁ × p₁) × (p₂ × p₂) × ...
= p₁ × p₂ × ...

这里有一个重要的数学性质：对于任意两个数 x 和 y，有 min(x, y) + max(x, y) = x + y。
你可以自己验证一下，比如 x=2, y=5，min(2,5)=2, max(2,5)=5, 2+5=7。而 min(x,y)+max(x,y) = 2+5=7。

所以，我们可以把上面的式子写成：

= p₁ × p₂ × ...

这正是 A 和 B 的乘积：

A × B = (p₁ᵃ¹ × p₂ᵃ² × ...) × (p₁ᵇ¹ × p₂ᵇ² × ...) = p₁ᵃ¹⁺ᵇ¹ × p₂ᵃ²⁺ᵇ² × ...

所以，GCD(A, B) × LCM(A, B) = A × B 这一关系，是通过质因数分解以及指数的加减规则和 min/max 函数的性质推导出来的。它并不是凭空出现的，而是数论中一个非常自然且重要的结论。

这个公式的价值在于，它提供了一种便捷的方式来计算最小公倍数，尤其是在我们已经求出最大公因数的情况下。它在整除性、数论的许多证明以及实际应用中都扮演着重要的角色。

总而言之，这个公式是基于对整数质因数分解的深入理解，是数学逻辑推导的结果，是数论领域一个基础性的定理。

网友意见

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温馨提示，食用本文，需要了解以下知识： 群（group），子群(subgroup)，正规子群(normal subgroup)，商群(quotient group)，同构(Isomorphism)，同构基本定理

这其实是个数论比较简单的结论啦！其他答主也已经很详细地写了怎么从数论的两个角度来思考这道题了。不过大佬们还没有提到用群论，我就来捡个漏吧~

众所周知（大雾），数论与群论密不可分。很多数论结论都可以简洁快速（再次大雾）地用群论结论证得。证明中的那些构造是真的都挺妙的！！！

当然，我不保证下面证明的完全严谨性，因为群论是我去年初中学的，已经一年没碰了，知识都还给老师了......

为了照顾不怎么了解群论的同学，我还是胡乱说下我个人对这个证明的理解吧，我也不太懂，就纯瞎说，完全可能错

  1. 加法和乘法的性质，导致了整数结构间的一些优良的特性，也就是所谓同构（Isomorphism)。而这个加法与乘法导致的同构性质就会引出这个式子的大概框架。
  2. 最小公倍数与最大公因数本质上都有一个满足某些条件的“最小正整数”的性质。最小公倍数就是两个数最小的公倍数。而最大公因数，其实就是两个数，m和n的最小的正的线性组合（满足mx+ny形式的数被叫做m,n的线性组合(linear combination) x,y是任意整数）这个最小性质能帮助我们填补上面框架中的一些具体细节，进而可以计算出结果。

当然，这只是非常模糊的概念，具体是怎么回事，还是要亲自去了解整个证明过程才算好啊。

解决这个问题前，首先，我们要知道一个定理，叫

如果你知道同构第一定理的话，这个定理也挺好证的。（当然，一般你知道了第一，没有理由不知道第二...）

其实你要是眼尖一点，你就会发现， 的形式很接近题主问的 了，所以很自然会想用这个定理来证明这个数论定理。

下面，证明开始！

我们令 , ,

(注：由于 是一个加法群，所以上面的同构第二定理（默认乘法形式）在使用时得改成加法形式，即 ）

很明显的， 。再由于加法的交换性，H必然是G的正规子群。

所以，很轻松的，使用第二定理，可知 。

进一步的，

到这里，证明可以说完成了一部分了

所以，现在问题就是，这两个商群的基数（cardinality）是多少呢？

我们现在呢，不能先急于直接求商群的基数，因为这四个群应该都是无限群。我们应该思考如何表达 和 这两个群。大概猜的出，应该仍是 的模样，很有可能就是 和 。

（ 是最小公倍数(least common multiple)， 是最大公因数(greatest common divisor)。

为了方便，下面的 ）


那我们就先来表达 和 吧！

其实也就是 , 也就是说，里面都是m,n的公倍数（所有元素 x 都满足 ）。

所以, 我们要想不重不漏地表达 ，也就是要找到最小公倍数，即 。（可用良序公理和反证法证明）（个人建议先用几个例子感受一下，这样就会感觉很清晰了）

所以， , 即

需要一点数论知识才行哦！

很明显，任何 里面的元素 都是可以表示为 的形式。

和上面一样，我们需要知道什么元素是这个集合里面的最小正整数。

对初等数论很敏感的同学，应该知道这个定理，

一样可以用良序公理和反证法证明。

所以，与上面一样，

于是，我们先前那个等式 也就变成了

原本抽象的商群具象化很多啦！

౧(*മ് ധമ്)੭ु⁾⁾

我们只差一步之遥！！！

最后，我们只要再引入一个很简单的引理，就能直接送这个定理上西天啦！

这个引理就是

如果 ，那么 的元素数量（也就是基数）为

尝试几个例子，就会非常直观地看到一些pattern, 证明也就挺简单的了

令 。

那么

所以， 。

当当当！命运的钟声已经敲响！

因为 ,

因为 ,

所以，

即

命题得证。

其实很多数论的知识都可以用群论论证，还是很有意思的。群论也是我非常喜欢的一门课，这种研究关系的思想我也非常喜欢(￣︶￣*))

不过只学了半年就没有了(ノへ￣、)

顺便捞一下自己以前关于这个等式的回答，算是一个在其他学科中的运用吧

最后，发现什么疏漏都可以指出来啊，感谢您阅读到这！❤

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