请问2^2^2^2+3^3^3^3是否为素数呢？
这道题问得很有意思，它涉及到了非常大的数字，并且我们得判断它们是不是素数。咱们一层一层地来剥开它，看看里面藏着什么。
首先，我们来看第一个部分：$2^{2^{2^2}}$。
最里面的 $2^2$：这个很简单，等于 4。
接着是 $2^{2^2}$，也就是 $2^4$：这等于 16。
最后是 $2^{2^{2^2}}$，也就是 $2^{16}$：这是一个很大的数了。我们可以计算一下：
$2^{10} = 1024$（大约一千）
$2^{16} = 2^{10} imes 2^6 = 1024 imes 64$
$1024 imes 64 = (1000 + 24) imes 64 = 64000 + 24 imes 64$
$24 imes 64 = 24 imes (60 + 4) = 1440 + 96 = 1536$
所以，$2^{16} = 64000 + 1536 = 65536$。
第一个数字是 65536。
现在，我们来看第二个部分：$3^{3^{3^3}}$。
最里面的 $3^3$：这个等于 27。
接着是 $3^{3^3}$，也就是 $3^{27}$：这个数字就非常非常大了。
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
$3^{10} = (3^5)^2 = 243^2$，这个已经不小了。
$3^{27}$ 会是一个 astronomically large number。直接计算出来是不现实的，而且也需要非常专业的工具。
所以，我们要求的是 $65536 + 3^{3^{27}}$。
那么，怎么判断一个很大的数是不是素数呢？
素数，简单说，就是只能被 1 和它本身整除的正整数。例如，2, 3, 5, 7, 11 都是素数。
对于小的数字，我们可以尝试用小的素数（2, 3, 5, 7, 11, 13...）去除它。如果能被整除，那它就不是素数，而是合数。如果尝试了所有小于它平方根的素数都不能整除，那么它就是素数。
但是，对于像 $65536 + 3^{3^{27}}$ 这样巨大的数字，我们不可能用传统的方法去验证。 这里的数字 $3^{3^{27}}$ 实际上是天文数字，它有多少位我们都很难想象，更别说去试除它了。
这里需要用到一些数论的性质和技巧。
让我们再次审视这两个数字：
1. $2^{2^{2^2}} = 65536$。这是一个偶数。
2. $3^{3^{3^3}}$。我们来分析一下这个数的奇偶性。
$3$ 本身是一个奇数。
任何正整数次幂的奇数，结果仍然是奇数。
所以，$3^{3^3}$ 是奇数。
而 $3$ 的一个奇数次幂，$3^{3^{3^3}}$ 仍然是奇数。
现在，我们把这两个数加起来：
$65536$ (偶数) + $3^{3^{3^3}}$ (奇数)
偶数 + 奇数 = 奇数。
所以，我们的总数 $N = 65536 + 3^{3^{3^3}}$ 是一个奇数。
这就排除了它能被 2 整除的可能性。
接下来，我们再看看能不能用其他小的素数来试探。
我们先来考虑第三个素数：3。
要判断一个数是否能被 3 整除，有一个很常用的方法：看它的各位数字之和能不能被 3 整除。
$65536$ 的各位数字之和是 $6+5+5+3+6 = 25$。25 不能被 3 整除，所以 65536 不能被 3 整除。
对于 $3^{3^{3^3}}$：
$3^1 = 3$ (能被 3 整除)
$3^2 = 9$ (能被 3 整除)
$3^3 = 27$ (能被 3 整除)
事实上，只要指数是正整数，任何 $3^k$ 都可以被 3 整除。
$3^{3^3}$ 更是如此，它肯定是一个非常大的、能被 3 整除的数。
那么，我们将 $65536$ 和一个能被 3 整除的数相加，结果会怎样呢？
$N = 65536 + 3^{3^{3^3}}$
$N pmod{3} = (65536 pmod{3}) + (3^{3^{3^3}} pmod{3})$
$65536 pmod{3}$: $6+5+5+3+6 = 25$. $25 pmod{3} = 1$.
$3^{3^{3^3}} pmod{3} = 0$ (因为 $3^{3^{3^3}}$ 是 3 的倍数)
所以，$N pmod{3} = 1 + 0 = 1$。
这意味着，$N$ 不能被 3 整除。
再考虑第五个素数：5。
一个数能否被 5 整除，看它的个位数是否是 0 或 5。
$65536$ 的个位数是 6。
$3^{3^{3^3}}$ 是一个非常大的数。我们来分析它的个位数。
$3^1$ 的个位数是 3
$3^2$ 的个位数是 9
$3^3$ 的个位数是 7
$3^4$ 的个位数是 1
$3^5$ 的个位数是 3
你会发现，3 的幂的个位数是按照 3, 9, 7, 1 循环的。
这个循环的长度是 4。
要确定 $3^{3^{3^3}}$ 的个位数，我们需要知道 $3^{3^3}$ 除以 4 的余数。
$3^3 = 27$。
$3^{3^3} = 3^{27}$。
我们来看 $3^{27} pmod{4}$。
$3 pmod{4} = 1 pmod{4}$。
$3^{27} pmod{4} = (1)^{27} pmod{4} = 1 pmod{4} = 3 pmod{4}$。
所以，$3^{27}$ 除以 4 的余数是 3。
这意味着，$3^{3^{3^3}}$ 的个位数和 $3^3$ 的个位数一样，是 7。
现在我们回到加法：
$N = 65536$ (个位数是 6) + $3^{3^{3^3}}$ (个位数是 7)
$N$ 的个位数就是 $6+7$ 的个位数，也就是 13 的个位数，即 3。
因为 $N$ 的个位数是 3，它不能被 5 整除。
我们已经验证了：
$N$ 是奇数，不能被 2 整除。
$N$ 不能被 3 整除。
$N$ 不能被 5 整除。
那么，它还是素数吗？
问题在于，我们只进行了非常初步的试除。要证明一个非常大的数是素数（素性测试），或者证明它不是素数（找到一个因子），需要更高级的数学工具，比如：
MillerRabin 素性测试：这是一种概率性算法，可以非常快速地判断一个数是不是素数，但有一定的概率会误判（但这个概率可以做得非常小）。
AKS 素性测试：这是一个确定性的算法，可以准确地判断一个数是否为素数，但计算量相对较大。
寻找因子：如果能找到一个因子，那么它就不是素数。
对于 $65536 + 3^{3^{3^3}}$ 这个数字，它的规模实在是太大了。 $3^{3^{27}}$ 是一个包含超过 $10^{12}$ 位数字的数（粗略估计，$3^{27} approx 7.6 imes 10^{12}$，而 $log_{10}(3^{3^{27}}) = 3^{27} log_{10} 3 approx 7.6 imes 10^{12} imes 0.477 approx 3.6 imes 10^{12}$ 位）。
结论：
我们只能肯定地说，这个数字是奇数，并且不能被 3 或 5 整除。
至于它是否是素数，仅凭这些简单的分析是无法得出的。 确定这样一个巨大数字的素性，通常需要依赖专门的计算工具和高级的数论算法。在没有明确证据证明它能被某个更大的数整除之前，我们无法断定它不是素数。
而且，数学界有一个著名的猜想叫做“哥德巴赫猜想”，以及关于“埃尔米特卢卡斯数列”的素性问题。 像 $a^{b^{c^d}}$ 这样的形式，即使非常大，也并不意味着它就一定是合数。很多数字，即使看起来结构复杂，也可能是素数。
简单来说，我们现在知道它不是被 2、3、5 整除的合数，但它是不是素数，还需要更深入的数学检测。 除非有具体的计算结果（例如，某个数学家或计算机程序证明了它有一个因子，或者通过了严格的素性测试），否则我们只能说“尚不确定”。
在这种情况下，通常的理解是，除非找到一个因子，否则我们不会轻易断言它是合数。但证明它确实是素数，则是一个更艰巨的任务。
所以，$2^{2^{2^2}}+3^{3^{3^3}}$ 是否为素数，在没有进一步的计算或证明之前，是无法直接回答“是”或“否”的。 我们进行的分析，只是排除了几个最简单的可能性。
首先，我们来看第一个部分：$2^{2^{2^2}}$。
最里面的 $2^2$：这个很简单，等于 4。
接着是 $2^{2^2}$，也就是 $2^4$：这等于 16。
最后是 $2^{2^{2^2}}$，也就是 $2^{16}$：这是一个很大的数了。我们可以计算一下：
$2^{10} = 1024$（大约一千）
$2^{16} = 2^{10} imes 2^6 = 1024 imes 64$
$1024 imes 64 = (1000 + 24) imes 64 = 64000 + 24 imes 64$
$24 imes 64 = 24 imes (60 + 4) = 1440 + 96 = 1536$
所以，$2^{16} = 64000 + 1536 = 65536$。
第一个数字是 65536。
现在，我们来看第二个部分：$3^{3^{3^3}}$。
最里面的 $3^3$：这个等于 27。
接着是 $3^{3^3}$，也就是 $3^{27}$：这个数字就非常非常大了。
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
$3^{10} = (3^5)^2 = 243^2$，这个已经不小了。
$3^{27}$ 会是一个 astronomically large number。直接计算出来是不现实的，而且也需要非常专业的工具。
所以，我们要求的是 $65536 + 3^{3^{27}}$。
那么，怎么判断一个很大的数是不是素数呢？
素数，简单说，就是只能被 1 和它本身整除的正整数。例如，2, 3, 5, 7, 11 都是素数。
对于小的数字，我们可以尝试用小的素数（2, 3, 5, 7, 11, 13...）去除它。如果能被整除，那它就不是素数，而是合数。如果尝试了所有小于它平方根的素数都不能整除，那么它就是素数。
但是，对于像 $65536 + 3^{3^{27}}$ 这样巨大的数字，我们不可能用传统的方法去验证。 这里的数字 $3^{3^{27}}$ 实际上是天文数字，它有多少位我们都很难想象，更别说去试除它了。
这里需要用到一些数论的性质和技巧。
让我们再次审视这两个数字：
1. $2^{2^{2^2}} = 65536$。这是一个偶数。
2. $3^{3^{3^3}}$。我们来分析一下这个数的奇偶性。
$3$ 本身是一个奇数。
任何正整数次幂的奇数，结果仍然是奇数。
所以，$3^{3^3}$ 是奇数。
而 $3$ 的一个奇数次幂，$3^{3^{3^3}}$ 仍然是奇数。
现在，我们把这两个数加起来：
$65536$ (偶数) + $3^{3^{3^3}}$ (奇数)
偶数 + 奇数 = 奇数。
所以，我们的总数 $N = 65536 + 3^{3^{3^3}}$ 是一个奇数。
这就排除了它能被 2 整除的可能性。
接下来，我们再看看能不能用其他小的素数来试探。
我们先来考虑第三个素数：3。
要判断一个数是否能被 3 整除，有一个很常用的方法：看它的各位数字之和能不能被 3 整除。
$65536$ 的各位数字之和是 $6+5+5+3+6 = 25$。25 不能被 3 整除，所以 65536 不能被 3 整除。
对于 $3^{3^{3^3}}$：
$3^1 = 3$ (能被 3 整除)
$3^2 = 9$ (能被 3 整除)
$3^3 = 27$ (能被 3 整除)
事实上，只要指数是正整数，任何 $3^k$ 都可以被 3 整除。
$3^{3^3}$ 更是如此，它肯定是一个非常大的、能被 3 整除的数。
那么，我们将 $65536$ 和一个能被 3 整除的数相加，结果会怎样呢？
$N = 65536 + 3^{3^{3^3}}$
$N pmod{3} = (65536 pmod{3}) + (3^{3^{3^3}} pmod{3})$
$65536 pmod{3}$: $6+5+5+3+6 = 25$. $25 pmod{3} = 1$.
$3^{3^{3^3}} pmod{3} = 0$ (因为 $3^{3^{3^3}}$ 是 3 的倍数)
所以，$N pmod{3} = 1 + 0 = 1$。
这意味着，$N$ 不能被 3 整除。
再考虑第五个素数：5。
一个数能否被 5 整除，看它的个位数是否是 0 或 5。
$65536$ 的个位数是 6。
$3^{3^{3^3}}$ 是一个非常大的数。我们来分析它的个位数。
$3^1$ 的个位数是 3
$3^2$ 的个位数是 9
$3^3$ 的个位数是 7
$3^4$ 的个位数是 1
$3^5$ 的个位数是 3
你会发现，3 的幂的个位数是按照 3, 9, 7, 1 循环的。
这个循环的长度是 4。
要确定 $3^{3^{3^3}}$ 的个位数，我们需要知道 $3^{3^3}$ 除以 4 的余数。
$3^3 = 27$。
$3^{3^3} = 3^{27}$。
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$3 pmod{4} = 1 pmod{4}$。
$3^{27} pmod{4} = (1)^{27} pmod{4} = 1 pmod{4} = 3 pmod{4}$。
所以，$3^{27}$ 除以 4 的余数是 3。
这意味着，$3^{3^{3^3}}$ 的个位数和 $3^3$ 的个位数一样，是 7。
现在我们回到加法：
$N = 65536$ (个位数是 6) + $3^{3^{3^3}}$ (个位数是 7)
$N$ 的个位数就是 $6+7$ 的个位数，也就是 13 的个位数，即 3。
因为 $N$ 的个位数是 3，它不能被 5 整除。
我们已经验证了：
$N$ 是奇数，不能被 2 整除。
$N$ 不能被 3 整除。
$N$ 不能被 5 整除。
那么，它还是素数吗？
问题在于，我们只进行了非常初步的试除。要证明一个非常大的数是素数（素性测试），或者证明它不是素数（找到一个因子），需要更高级的数学工具，比如：
MillerRabin 素性测试：这是一种概率性算法，可以非常快速地判断一个数是不是素数，但有一定的概率会误判（但这个概率可以做得非常小）。
AKS 素性测试：这是一个确定性的算法，可以准确地判断一个数是否为素数，但计算量相对较大。
寻找因子：如果能找到一个因子，那么它就不是素数。
对于 $65536 + 3^{3^{3^3}}$ 这个数字，它的规模实在是太大了。 $3^{3^{27}}$ 是一个包含超过 $10^{12}$ 位数字的数（粗略估计，$3^{27} approx 7.6 imes 10^{12}$，而 $log_{10}(3^{3^{27}}) = 3^{27} log_{10} 3 approx 7.6 imes 10^{12} imes 0.477 approx 3.6 imes 10^{12}$ 位）。
结论：
我们只能肯定地说，这个数字是奇数，并且不能被 3 或 5 整除。
至于它是否是素数，仅凭这些简单的分析是无法得出的。 确定这样一个巨大数字的素性，通常需要依赖专门的计算工具和高级的数论算法。在没有明确证据证明它能被某个更大的数整除之前，我们无法断定它不是素数。
而且，数学界有一个著名的猜想叫做“哥德巴赫猜想”，以及关于“埃尔米特卢卡斯数列”的素性问题。 像 $a^{b^{c^d}}$ 这样的形式，即使非常大，也并不意味着它就一定是合数。很多数字，即使看起来结构复杂，也可能是素数。
简单来说，我们现在知道它不是被 2、3、5 整除的合数，但它是不是素数，还需要更深入的数学检测。 除非有具体的计算结果（例如，某个数学家或计算机程序证明了它有一个因子，或者通过了严格的素性测试），否则我们只能说“尚不确定”。
在这种情况下，通常的理解是，除非找到一个因子，否则我们不会轻易断言它是合数。但证明它确实是素数，则是一个更艰巨的任务。
所以，$2^{2^{2^2}}+3^{3^{3^3}}$ 是否为素数，在没有进一步的计算或证明之前，是无法直接回答“是”或“否”的。 我们进行的分析，只是排除了几个最简单的可能性。
网友意见
写知乎这么久以来第一次更新自己的回答，因为今天中午刚睡醒就收到了 @行而知之 的信息，他告诉我他找到了 的一个质因数 惊讶之余我立马翻身起来借助 SageMath 加以验证：
故 确实为 的质因数，所以 不是素数！
为了找到超级大数 的一个质因数，@行而知之 借助计算机搜索了将近一个月的时间，这份执着与坚持令人钦佩，在此向 @行而知之 致敬！希望他再接再厉能够把
的质因数也找到.
以目前的数学理论和计算能力应该还没有人能回答你这个问题！
估计你是发现
都是素数，然后才想知道 是否也为素数. 如果 也是素数，估计你还会进一步想知道
是否也为素数. 其实这一问题和历史上著名的 Cantor 猜想 有异曲同工之妙！
设 ，当 时，. 集合论的创始人 Cantor 猜测：当 时， 均为素数. 容易验证
都是素数，但要判断
是素数却非常困难. 而
不要说判断是否为素数，就是将其计算出来都十分困难，因为这个数的位数为
同样可以计算 的位数大约为
虽然 要远小于 Cantor 猜想 中的
但却远远大于目前已知的最大素数
因为 才 位. 故以目前的数学理论和计算机的计算能力，我们根本无法判断 是否为素数，而对于更大的
是否为素数那就更加不得而知了！
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