哥德尔不完备定理动摇了数学的基础吗？
要理解哥德尔定理的影响，我们得先回到那个时代，了解当时的数学家们在想什么。
理想的数学王国：希尔伯特计划的辉煌与破灭
在20世纪初，数学正经历着一个前所未有的辉煌时期。逻辑学家和数学家们致力于为数学建立一个坚实、完备、无矛盾的基础。其中，德国数学家大卫·希尔伯特提出的“希尔伯特计划”尤为引人注目。他的目标是：
1. 形式化（Formalization）： 将数学的各个分支，如算术、分析等，用一套精确的公理和逻辑规则（即形式系统）来表达。这就像给数学建立一套官方的“语言”和“语法”，确保每个人都能理解和使用。
2. 完备性（Completeness）： 证明这个形式系统是完备的。这意味着对于该系统所能描述的任何数学命题，我们都能在系统中证明它是真或假。换句话说，系统中蕴含着所有可能的数学真理，而且我们总有办法找到证明。
3. 一致性（Consistency）： 证明这个形式系统是无矛盾的。也就是说，系统内部不会出现“P同时为真又为假”这样的荒谬情况。一旦系统产生了矛盾，它就失去了存在的意义。
4. 可判定性（Decidability）： 找到一个算法，能够确定任何给定的数学命题在该形式系统中是否可证。这就像拥有一台“数学真理机器”，输入一个命题，它就能告诉你这个命题是否在数学的王国里得到“官方认可”。
希尔伯特及其追随者们相信，通过这样的方式，数学将成为一个完全客观、理性、绝对可靠的知识体系，它的真理是毋庸置疑的，并且可以通过机械化的方法来发现。这是一种对数学能力的极度自信，一种建立一个“完美”知识宇宙的雄心。
哥德尔的“炸弹”：1931年的两篇论文
就在希尔伯特计划如火如荼地进行之际，一位年轻的奥地利逻辑学家库尔特·哥德尔在1931年发表了两篇划时代的论文，他的工作如同在数学的“完美王国”中投下了一颗颗“逻辑炸弹”。
第一不完备定理：
哥德尔定理的核心在于“自我指涉”和“编码”。他发现，可以将数学命题和证明的过程本身，用数字来表示，就像我们给字母和单词赋予ASCII码一样。这个过程叫做“哥德尔编码”。
通过这种编码，他构建了一个特殊的数学命题，我们可以称之为“G”。这个命题G，用通俗的话来说，表达的是：“这个命题在当前这个形式系统中是不可证明的。”
现在，让我们来分析一下这个命题G的含义：
假设G是真的： 如果G是真的，那么它所陈述的内容——“G在这个形式系统中是不可证明的”——就必须是真的。这意味着，我们确实无法在当前系统中找到G的证明。那么，G就是一个真命题，但却是不可证明的。
假设G是假的： 如果G是假的，那么它的否定——“G在这个形式系统中是可证明的”——就必须是真的。也就是说，我们可以找到G的证明。但如果G的证明存在，那么G本身就应该为真（因为我们假设系统是可靠的，任何可证明的命题都是真的）。这就产生了矛盾：G既是真的（因为可证明）又为假（我们最初的假设）。
因此，无论我们假设G为真还是为假，都会导致一个结论：如果这个形式系统是一致的，那么必然存在一个真命题，但在这个系统中却是不可证明的。
这就是哥德尔第一不完备定理：任何足够强大的、能够包含基本算术（即自然数理论）并且一致的形式系统，都存在一个在该系统内真，但不可在该系统内证明的命题。
第二不完备定理：
哥德尔的第二不完备定理则更为直接地打击了希尔伯特计划的第二个目标——一致性证明。哥德尔证明了：任何一个如第一定理所述的、包含基本算术且一致的形式系统，都无法在该系统内部证明其自身的一致性。
也就是说，如果我们想证明一个数学系统（比如包含算术的公理系统）是不会产生矛盾的，我们就不能仅仅依赖这个系统内部的工具和规则。我们需要一个“更高级”的、更强大、也可能更难以理解的系统来为它提供担保。
哥德尔定理“动摇”了数学的基础吗？
现在回到最初的问题：哥德尔定理是否动摇了数学的基础？
我认为，“动摇”这个词可能不足以完全涵盖其影响的深度和广度。更准确地说，哥德尔定理：
1. 终结了“完全性”的幻想： 希尔伯特计划中最雄心勃勃的目标之一，即找到一个完备的形式系统，能够囊括所有数学真理并允许我们证明它们，被哥德尔彻底否定了。它告诉我们，无论我们设计出多么精巧、多么强大的公理系统，总会有我们无法触及的真理，或者存在着无法在其内部解决的问题。数学的知识疆域，比我们想象的要更辽阔，也更神秘。
2. 挑战了“内在证明”的绝对权威： 第二不完备定理意味着，我们无法仅仅依靠一套数学规则来保证这套规则本身是绝对可靠、无懈可击的。数学的根基，在某种意义上，总是建立在一些我们“接受”但无法绝对证明的前提之上。这并非说数学不可靠，而是说其可靠性并非来自一个封闭、自足的证明链条。
3. 揭示了形式系统的内在局限性： 哥德尔定理并非说数学是错误的或者不可靠。相反，它通过对数学形式化过程的深刻分析，揭示了任何足够强大的形式系统都必然存在的内在局限性。这是一种对“知识的边界”的认识，就像物理学发现光速是极限一样，哥德尔揭示了数学形式化方法的极限。
4. 促使了数学哲学和逻辑学的深化： 哥德尔的工作极大地推动了数理逻辑、计算理论和数学哲学的发展。它引发了关于“什么是数学真理？”“证明的本质是什么？”“数学知识的来源和基础是什么？”等问题的更深入思考。逻辑学家们开始研究不同层级的形式系统，以及如何在不同系统中进行证明。
误解与澄清：
需要澄清的是，哥德尔定理并没有：
否定数学的有效性： 数学仍然是我们理解世界最强大的工具之一。我们日常使用和依赖的数学，其一致性在实践中得到了充分的验证。哥德尔定理讨论的是形式系统的理论上的完备性和一致性证明。
证明数学是矛盾的： 相反，定理的前提就是系统是一致的（无矛盾的），在此基础上才推导出存在不可证明的真理。
否定所有形式系统： 哥德尔定理是对“足够强大”的形式系统的陈述。对于简单到不能表达算术的系统，它可能不适用。
哥德尔定理对数学家和我们思维的影响：
哥德尔定理带来的不是绝望，而是一种更清醒、更深刻的认知。它让我们明白：
数学的创造性： 既然总有不可证明的真理，那么发现和证明这些真理就依赖于数学家的创造力、直觉和想象力，而不仅仅是机械的应用规则。
知识的开放性： 数学并非一个封闭的、已被完全探索的领域。总有新的定理、新的发现等待着我们去探索，而这些探索往往需要走出现有系统的界限。
谦逊与敬畏： 哥德尔定理教会我们对知识的边界保持一份谦逊和敬畏。我们拥有的知识体系，无论多么强大，总有其不可逾越的藩篱。
从这个意义上说，哥德尔不完备定理不是“动摇”了数学的基础，而是“重塑”了我们对数学基础的理解，揭示了其深刻的、非机械化的、并且在某种程度上是开放的本质。它将数学从一个看起来像由纯粹逻辑搭建的、绝对封闭的完美大厦，转变成了一个更加生动、更富于探索精神、也更具哲学深度的知识体系。
网友意见
1.就算哥德尔没有证明不完备性定理或是没有不完备性定理，日常使用的数学也有不一致的可能性（一个数学家Edward Nelson致力于证明比皮亚诺算术PA还要弱的原始递归算术PRA是不一致的）；
2.事实上日常使用的数学在很长一段时间里（甚至现在，物理中使用的数学）是不一致的（例如牛顿、莱布尼茨时期的微积分，贝克莱主教有著名的批判“无穷小的幽灵”，直到柯西、魏尔开特拉斯将微积分严格化；后来A. Robinson给出了有无穷小的实数模型，创立了非标准分析；Graham Priest曾经尝试用paraconsistent logic重构牛顿时期的微积分）；
3.实际上的数学很难说是一个形式系统（虽然现在大多数数学家都承认公理集合论ZFC是数学的基础，但是绝大部分数学家都说不出zfc的公理是什么。而早在有数理逻辑2000年之前按就有了数学；而且数学家们也从来不受单一的一个形式系统的束缚，例如格罗滕迪克引入他的超出了zfc的“Grothendieck Universe”）；
4.哥德尔定理的前提本身就是理论的一致性（第一定理证明的是：如果一个形式系统是一致的并且包含算术，那么存在一个语句它既不能被证明也不能被证否（第一不完备性定理的证明可以不依赖于自指）；哥德尔第二定理证明的是，如果一个形式系统是一致的并且包含算术，那么它不能证明自身的一致性）（第二不完备性定理比第一不完备性定理更强，因此实际上要求更多）；
5.而一致性证明本身也不能保证理论的一致性，只要想到不一致的理论本来就能够证明自身的一致性，而第二不完备性定理实际上告诉我们的是：如何一个包含算术的形式系统能证明它的一致性，它却是不一致的；
6.第二不完备性定理还告诉我们，像“皮亚诺算术+“皮亚诺算术不一致””（ ）或是 这样的理论是有模型/一致的（如果PA和ZFC本身是一致的话），这是因为表征可证性的谓词 只是半可表征的，也就是如果有系统T可证 （ ）就一定有 ，其中 为 的编码，可是 不一定就有 ，事实上第一不完备性定理证明的也就是这个。与之对比，令 为表征了x编码的证明序列证明了y编码的公式的谓词，那么x编码的证明序列确实证明了y编码的公式 当且仅当 。之所以Bew只是半可表征的是因为有非标准自然数，即在这个系统自身看来它可以证明自身的一致性，可是在“外面”的我们看来它并没有作出这个证明，因为编码这个“证明”的可能是一个非标准自然数。
6.Gentzen通过超穷归纳证明了皮亚诺算术PA的一致性，稍微具体一点来说是这样：
一般有了切割消去（cut-elimination，指系统中所有的证明都可以不需要用到cut rule，cut rule指如果有 和 就能够推导出 ）就会有子公式性质（subformula property），就是说推导出结论所用的前提都只是结论的子公式，这也意味着矛盾是不可推导的（因为形如 这样的公式没有任何子公式）；古德斯坦定理可以与“没有一个无穷下降的序数小于 （ 为满足 的序数中最小的一个，也就是说 ）的原始递归序列”联系起来（因为证明了PA本身不能证明这条）
一个定理：如果有一个PA加上 -规则（即 可推导出“ ”； 可推导出“ ”，注意这是一个无限长度的证明）的一个height为 的带 次cut规则的推导；那么就有PA加上 -规则的一个height为 的只带有 次cut规则的推导。因而可以想见：就会有一个height为 的n次 次方的推导没有cut。因而可以通过对到 的归纳证明一致性
Turing证明了Turing's Completeness Theorem. If ϕ is a true Π1 sentence in the language（哥德尔用来表达一致性的语句就等价于一个Pi_1语句） of arithmetic, then there is an ordinal notation a such that |a|=ω+1 and Ta proves ϕ.
Feferman等批评过Godel对一致性语句的formulation并提出了一些其它的formulation，其中一些病态的“一致性语句”可以被证明，区分什么是“自然的”一致性语句也成为了一个话题。
在比皮亚诺算术弱的鲁滨逊算术Q中，哥德尔一致性语句Con_Q并不表达Q的一致性（因为Q太弱），但是在PA中，Con_Q可以被看成表达了Q的一致性。
一个小练习：说明第二不完备性定理并不意味着一个系统的一致性只能在比它更强的系统中才能证明（考虑 ）。
7.数学家们随时可以修改系统，就如历史实践上，所谓的“数学危机”实际上并没有对数学造成任何影响，1895-1930年这段时间数学分支活跃层出不穷：勒贝格积分、积分方程和谱理论、类域论、“意大利”代数几何学、代数拓扑学（庞加莱、布劳威尔、Lefschetz、H. Hopf）、群的线性表示（Frobenius、Burnside、I.Schur）、紧李群及其表示的结构（E.嘉当、H.外尔）、哈代-李特伍德的“圆法”、丢番图逼近与丢番图方程（A.图埃、西格尔、A.韦伊）。1940年以来的数学的进展要比从泰勒斯到1940年的全部成就还大。这也可能可以部分说明了为何这么容易就可以让矛盾消失（加几条限制）的原因[1]；
8.有不一致而不“琐屑”（Trivial）（也就是说虽然它们是不一致的（可以同时证明 ），但并不会将一切都证明出来（而在通常的经典逻辑中，有爆炸律（explosion）：矛盾可以推出一切（对所有 ， ）））的演算/系统（虽然要牺牲或改变一部分结论），在这个意义上说，矛盾也不至于让系统全然丧失一切价值，甚至矛盾也是有价值的。例如，哲学上的dialecticism；人工智能当数据中有错误数据或新的数据与原有的数据发生冲突时，我们不想让它产生爆炸式的结果（我们每个人本身的信念系统也几乎是一定有矛盾的）；在paraconsistent mathematics里，我们可以有一致又完备又包含算术的系统。
「一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。 在莱茵河畔， 一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。 在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛， 突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。」
哥德尔证明了数学是不可穷尽的：无论你有多么聪明，你也不可能穷尽数学。我认为哥德尔证明的不是别的，他证明的正是数学就是自由的冒险，自由的心性的冒险。
哥德尔证明了没有一个单一的形式系统可以判定所有的数学命题，可是这并不意味着有“原则上”不可证的数学命题（想想 和 的区别），当希尔伯特说出“我们必须知道，我们终将知道”（Wir müssen wissen, wir werden wissen.）时，它激励了我们，并且仍将激励我们。
参考
- ^ 狄奥多涅，数学的建筑，胡作玄 译，大连理工大学出版社，2009
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