Weierstrass 逼近定理对任意的完备正交系成立吗？

Weierstrass 逼近定理是一个非常重要的数学定理，它主要讨论了在某个函数空间中，多项式函数的“致密性”。更具体地说，它告诉我们，在一个闭区间上，任何连续函数都可以被多项式函数“任意逼近”。

但是，当您问“Weierstrass 逼近定理对任意的完备正交系成立吗？”的时候，您可能是在将两个不同的概念混淆了，或者是在尝试将一个定理的适用范围推广到一个不属于它的范畴。让我来详细解释一下原因。

首先，我们来梳理一下 Weierstrass 逼近定理本身。

Weierstrass 逼近定理（Weierstrass Approximation Theorem）的核心内容是：

> 在实数轴上的任意闭区间 $[a, b]$ 上，所有连续函数的集合 $C[a, b]$ 是一个实数向量空间。如果在这个空间中引入了所谓的“范数”（一种衡量函数“大小”的方式），并且我们考虑的是由多项式函数组成的子集 $P[a, b]$，那么 $P[a, b]$ 在 $C[a, b]$ 中是“稠密的”。

这里的“稠密”意味着，对于 $C[a, b]$ 中的任何一个连续函数 $f$，以及任何一个你设定的精度 $epsilon > 0$，总能找到一个多项式函数 $p$ 使得对于区间 $[a, b]$ 上的所有 $x$， $|f(x) p(x)| < epsilon$。换句话说，你可以用一个多项式函数把任何连续函数“逼近”到任意的精度。

Weierstrass 逼近定理的“根基”在哪里？

这个定理的证明通常依赖于“构造性”的方法，最著名的是使用 उपायों （Mollifier）或者 Bernstein 多项式。这些方法都直接利用了多项式的代数结构和连续函数的性质。

Bernstein 多项式方法： 这是最直接证明 Weierstrass 定理的方法之一。它构造了一系列被称为 Bernstein 多项式的特殊多项式序列，这些序列能够逐点收敛于任意连续函数。这个构造过程深深植根于概率论（二项式分布）和多项式的性质。

उपायों （Mollifier）方法： 这种方法通常用于更一般的逼近问题，特别是处理更广泛的函数空间。它使用一个光滑函数（ उपायों），当它与一个函数卷积（一种积分运算）时，可以产生一个更光滑的函数，并且逼近原函数。这个方法也需要函数是连续的，并且卷积操作对多项式函数是有效的。

接下来，我们谈谈“完备正交系”。

“完备正交系”是另外一个重要的数学概念，主要出现在函数空间理论和傅里叶分析等领域。

正交系： 在一个带有内积的向量空间（例如，函数空间 $L^2[a, b]$，内积定义为 $langle f, g angle = int_a^b f(x) g(x) dx$）中，一组函数 ${e_n}_{n=1}^infty$ 被称为正交系，如果它们相互之间是正交的，即 $langle e_n, e_m angle = 0$ 对于 $n eq m$。通常，我们还会要求这些函数是标准正交系，即 $langle e_n, e_n angle = 1$。一个经典的例子是 $[0, 2pi]$ 上的三角函数系 ${1, cos(nx), sin(nx)}_{n=1}^infty$。

完备性： 一个正交系 ${e_n}$ 在一个函数空间中（例如 $L^2[a, b]$）被称为完备的，如果任何在该空间中的函数都可以表示为这个正交系函数的线性组合的极限。换句话说，对于空间中的任何函数 $f$，存在一组系数 $c_n$ 使得 $f = sum_{n=1}^infty c_n e_n$（这里的收敛是指在所定义的范数意义下的收敛）。

现在，我们来回答您的核心问题：Weierstrass 逼近定理对任意的完备正交系成立吗？

答案是：不成立，而且这两个概念是针对不同问题的。

原因如下：

1. 概念层面不匹配：
Weierstrass 逼近定理 讨论的是：在连续函数空间 $C[a, b]$ 中，多项式函数的子集是否稠密。它关注的是一个特定的函数子集（多项式）能否逼近所有的连续函数。
完备正交系 讨论的是：在某个函数空间（通常是 $L^2$ 空间）中，一个由特定函数组成的“基底”能否表示空间中的所有函数。它关注的是一个“完备的表示系统”是否存在。

2. 逼近的对象和方式不同：
Weierstrass 定理的逼近对象是任意的连续函数，并且逼近的工具是多项式函数。逼近的方式是逐点误差有界 $|f(x) p(x)| < epsilon$。
完备正交系则是在一个函数空间（如 $L^2$）中，通过线性组合来表示函数，其收敛性通常是在 $L^2$ 范数意义下 ($|f S_N|_2 o 0$)，而不是逐点收敛。

3. 多项式与正交系的关系：
多项式函数本身构成了一个函数空间，并且这个空间在 $C[a, b]$ 中是稠密的。
许多完备正交系（例如三角函数系，Legendre 多项式系）并不都是由多项式组成的。即使是 Legendre 多项式系，虽然它们都是多项式，但它们构成的是 $L^2[1, 1]$ 的一个完备正交系，其“逼近”的意义和 Weierstrass 定理的意义不同。Legendre 多项式在 $L^2[1, 1]$ 中是稠密的，这与 Weierstrass 定理的精神有些类似，但 Weierstrass 定理特别强调的是“任意多项式”能够逼近连续函数。

举个例子来加深理解：

考虑 $[0, 1]$ 区间上的连续函数。

Weierstrass 定理告诉我们： 你可以找到一个（甚至无数个）多项式函数 $p(x)$，使得 $p(x)$ 在 $[0, 1]$ 上非常接近任何你指定的连续函数 $f(x)$，比如 $|f(x) p(x)| < 0.001$ 对所有 $x in [0, 1]$ 都成立。

现在考虑一个完备正交系： 例如，在 $L^2[0, 1]$ 中，我们可以考虑由函数 $phi_n(x) = sqrt{2n+1} P_n(x)$ 构成的 Legendre 多项式系（其中 $P_n(x)$ 是 Legendre 多项式）。这个系是完备正交的。
它的“完备性”意味着任何 $L^2[0, 1]$ 中的函数 $f$ 都可以表示为 $sum c_n phi_n(x)$ 的 $L^2$ 范数收敛。
它不是在讨论用这些函数去“逼近”连续函数到任意精度的方式，也不是说它们本身就是“多项式逼近”。Legendre 多项式虽然都是多项式，但 Weierstrass 定理的重点是“任意多项式”的能力，而完备正交系的关注点在于一组特定的函数作为“基”的表示能力。

总结来说：

Weierstrass 逼近定理关注的是多项式这个特定函数族在连续函数空间中的稠密性，它的核心是构造性的逼近。而“完备正交系”是在函数空间中讨论一组函数的线性组合的完备性，通常是在 $L^2$ 范数意义下的收敛，它们是两个不同层面的数学概念，解决的是不同类型的问题。

所以，Weierstrass 逼近定理并不是对任意的完备正交系成立的，因为它们探讨的是完全不同的数学性质。我们可以说，多项式函数族在连续函数空间中构成了这样的一个“完备逼近系统”，但它不是关于“任意”完备正交系的普遍陈述。

其实仔细看一下三角多项式的正交逼近和L2逼近就会发现，这两个其实完全是两码事。比如说，如果在 上 ，那么L2意义下的逼近是部分和 ，这实际上是L2意义下的最佳逼近，但是一般不是对连续函数的一致逼近，真的需要一致逼近的话我们需要考虑其他的线性组合，比如Cesaro平均。甚至这个部分和都未必是逐点收敛到f的。

因此，如果按照原问题，如果我们有一列完备正交系 ，那么要看一致逼近的话，一定不能考虑 ，而要去考虑 上的逼近，这个时候是不是正交其实不重要。所以这么想这个问题就没啥意思了……

但是还是回答一下吧，顺便科普一下Stone-Weierstrass逼近定理：

设X是紧Hausdorff空间，A是X上实函数的子代数，那么A在一致范数下稠密当且仅当A分离X中的点（任意x,y存在A中的f使得f(x)不等于f(y)）并且在每个点上非零（任意x存在A中f使得f(x)非零）。

因此，如果要看一个 是不是稠密的，一般分离点、非零是容易验证的，只需要看这是不是一个代数就够了，也就是对乘法封闭。比如三角函数张成的确实是代数，勒让德多项式也没问题，其他的恐怕未必，自己验证吧。