柯西黎曼条件为什么这么神奇?
我们不妨从几个层面来理解它的不凡：
1. 两个实函数，一个复函数，柯西黎曼条件是连接的桥梁
首先，我们知道一个复变函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中 $z = x + iy$ 是复数，$x$ 和 $y$ 是实数，$u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 是两个实变函数。从直观上看，我们是在一个二维平面（由 $x$ 和 $y$ 定义）上的函数 $u$ 和 $v$ 的组合。
然而，复数 $z$ 的乘法和加法有着独特的性质。当我们将这两个二维平面上的函数 $u$ 和 $v$ 放在一起，并通过复数运算联系起来时，它们之间就产生了一种非常特殊且严格的关联。柯西黎曼条件，即：
$frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}$
$frac{partial u}{partial y} = frac{partial v}{partial x}$
就是这种关联的精确数学表述。你可以把它想象成一个看不见的纽带，将 $u$ 和 $v$ 的局部行为紧密地捆绑在一起。如果这两个条件满足了，那么 $f(z)$ 这个复变函数就拥有了“可导”这一极其重要的性质。
2. 可导性的“超级”要求：不仅仅是局部线性近似
在实变函数中，可导意味着函数在某一点的局部可以用一条直线（切线）来近似。这个近似的“好坏”程度体现在导数的值上。
而在复变函数中，可导性的要求要苛刻得多。它意味着函数在某一点的局部不仅可以用一个“线性映射”来近似，而且这个线性映射还必须是“相似变换”——也就是保持角度不变，并且可以进行缩放。更进一步说，它要求函数在局部上具有“等角性”。
想想看，如果我们是在一个二维平面上进行操作，一个局部线性近似可能是在每个方向上进行不同的拉伸和旋转。但是，如果一个函数在复平面上是可导的，那么它对局部区域的变换就不仅仅是拉伸和旋转，而是一种“保角”的变换。这意味着，无论你在这个局部区域画出两条相交的曲线，函数 $f(z)$ 在变换后，这两条曲线的夹角依然保持不变！这在几何上是一种非常特殊的性质。
柯西黎曼条件，正是精确地捕捉了这种“保角性”的数学本质。它们是保证函数在复变意义下可导的充要条件，而复变可导就蕴含了这种保角性。
3. 从局部性质到全局“美妙”的飞跃
柯西黎曼条件之所以神奇，很大程度上是因为它们将局部的微分性质（偏导数满足特定关系）提升到了全局的解析性质。
如果一个复变函数在某个区域内处处满足柯西黎曼条件（并且其偏导数连续），那么这个函数就被称为“解析函数”或“全纯函数”。解析函数是复变函数论的基石，它们拥有诸多极其优美的性质，例如：
无穷次可微性： 如果一个复变函数在某一点可导，那么它在该点就可以无穷次地求导。这与实变函数完全不同，实变函数可能只能可导一次。
泰勒展开： 任何一个解析函数都可以用一个幂级数（泰勒级数）来表示，而且这个幂级数的收敛半径可以很大。这意味着解析函数在局部上是“光滑”且可以用“多项式”来近似的。
积分性质（柯西积分定理）： 对于一个闭合路径上的解析函数，其积分往往等于零，或者可以用路径上的函数值来计算（柯西积分公式）。这使得复变函数的积分计算变得异常方便和强大。
解析延拓： 一个函数如果在一个区域内是解析的，那么它就“唯一地”决定了它在更大区域内的性质。
柯西黎曼条件就像一把钥匙，打开了通往这些强大而优美性质的大门。它们是从微观的局部信息（偏导数的关系）推导出宏观的全局行为的关键。如果没有它们，复变函数论可能会变得异常复杂，甚至无法建立起如此系统和深刻的理论体系。
4. 与向量场和守恒律的深刻联系（物理直觉）
神奇之处还在于，柯西黎曼条件可以被赋予丰富的几何和物理直觉。
我们可以将 $u$ 和 $v$ 看作一个二维向量场 $(u, v)$ 的分量。那么柯西黎曼条件就可以转化为：
$ abla u cdot abla v = 0$：这意味着向量场 $ abla u$（梯度）和 $ abla v$ 互相垂直。换句话说，$u$ 的等值线族和 $v$ 的等值线族在交点处是互相垂直的。这正是保角性的几何体现。
$ ext{div}(u, v) = 0$ 且 $ ext{div}(v, u) = 0$ （稍作变形）。或者更常见的，将复变函数 $f(z)$ 的导数 $f'(z)$ 看作一个二维向量场。那么当 $f(z)$ 是解析函数时，这个向量场具有一些特殊的性质。
在物理学中，柯西黎曼条件与流体力学中的势流（无旋无散场）、电磁学中的某些场方程、以及调和函数等都有着深刻的联系。例如，如果 $u$ 是一个电势，那么 $v$ 常常代表电流的流动方向（或者与它有密切关系），而柯西黎曼条件保证了电场和磁场（或电势梯度和电流密度）之间的某些基本关系，例如无旋和无散的性质。
这种从纯粹的数学抽象（柯西黎曼条件）能够直接映射到物理世界的规律，并解释现象，无疑是它“神奇”的重要来源之一。
总结一下，柯西黎曼条件的“神奇”体现在：
简洁性与深刻性： 仅凭四个偏导数之间的简单等式，就揭示了复变函数“可导”这一核心属性的内在要求。
几何意义： 直接关联到函数的局部“保角性”，即保持角度不变的几何变换。
理论基石： 是定义解析函数，进而构建整个复变函数论体系的关键。它串联起了可微性、泰勒展开、积分性质等一系列优美结论。
物理联系： 在物理学中，它对应着守恒律、势流等基本物理规律，具有丰富的物理直觉。
可以说，柯西黎曼条件是数学上的一颗璀璨明珠，它用最经济、最有力的方式，为我们展现了复数世界比实数世界更为丰富和规律的内在运作机制。它不仅仅是一组方程，更是通往更高层数学和物理洞察的一扇窗户。
网友意见
Well, real-valued analytic functions are just as rigid as their complex-valued counterparts. The true question is why complex smooth (or complex differentiable) functions are automatically complex analytic, whilst real smooth (or real differentiable) functions need not be real analytic.
As Qiaochu says, one answer is elliptic regularity: complex differentiable functions obey a non-trivial equation (the Cauchy-Riemann equation) which implies a integral representation (the Cauchy integral formula) which then implies analyticity (Taylor expansion of the Cauchy kernel); the ellipticity of the Cauchy-Riemann equation is what gives the analyticity of its fundamental solution, the Cauchy kernel. Real differentiable functions obey no such equation.
Another approach is via Cauchy's theorem. In both the real and complex setting, differentiability implies that the integral over a closed (or more precisely, exact) contour is zero. But in the real case this conclusion has trivial content because all closed contours are degenerate in one (topological) dimension. In the complex case we have non-trivial closed contours, and this makes all the difference.
EDIT: Actually, the above two answers are basically equivalent; the latter is basically the integral form of the former (Morera's theorem). Also, to be truly nitpicky, "differentiable" should be "continuously differentiable" in the above discussion.
其问题是
Why do functions in complex analysis behave so well? (as opposed to functions in real analysis)
Complex analytic functions show rigid behavior while real-valued smooth functions are flexible. Why is this the case?
跟题主的问题有些不同，但可以一看.
引自mathoverflow，请读者务必点进去看……因为回答者是User Terry Tao
http:// mathoverflow.net/questi ons/3819/why-do-functions-in-complex-analysis-behave-so-well-as-opposed-to-functions-in说一下自己的看法。
首先，一个函数满足一个微分方程这件事情其实挺不平凡的，以一维为例，随便写一个二阶的微分方程，比如说
，解出来一定是光滑的。所以个人感觉，一个微分方程蕴含很多信息这件事情其实挺常见的对吧。
然后，关于elliptic differential operator的regularity，说实话这件事情其实挺复杂的，可以从Sobolev空间的先验估计去看，这个需要一些细致的计算太不直观了，或者从pseudo differential operator的parametrix来看， 这个看法稍微直观一点，但是关于PDO是什么这件事情还是需要一些预备知识的，比如Fourier analysis，还有看parametrix也可以从functional calculus来看，还有PDO的formal development，当然还有最关键的，Sobolev space的embedding theorem……总之……一言难尽……
但是，说回来holomorphic这件事情，个人感觉还是从Cauchy integral来看更好，因为CR方程不仅仅说的是光滑，还有解析，光滑和解析差的太多太多了，仅仅光滑是不会导出全纯函数的那么多好性质的。而解析的话归根结底是因为CR方程的integral kernel是解析的，大概就这样。
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