为什么我们可以用平面取一点来证明概率为零事件能发生？
这个问题很有意思，它触及了概率论中一个非常根本的、有点反直觉的结论：概率为零的事件，在某些情况下是可以发生的。 而我们常说的“平面取一点”就是一个非常直观的例子。
咱们不绕圈子，直接说重点。为什么“平面取一点”能说明概率为零的事件能发生？
首先，咱们得明白一个基本概念：概率。在咱们这里，咱们说的概率，通常是指“几何概率”。就像你往一块靶子上扔飞镖，飞镖落在哪个区域的可能性，就跟那个区域的面积占总靶子面积的比例有关。面积越大，落在里面的概率就越大。
现在，想象咱们有一个边长为 1 米的正方形，就像一张标准的A4纸那么大。我们要在上面“随便”地取一个点。什么叫“随便”呢？就是要均匀地，也就是这个正方形的任何一个位置，被取到的可能性都一样大。
这个正方形一共有多少个点呢？ 哎，这就有点像是在问，一条线段上有多少个点一样。无数个。咱们可以把这个正方形想象成一个二维的平面，上面布满了密密麻麻的点。
现在，假设我们想证明一个“非常不可能”的事情会发生：我们取到的点恰好是这个正方形的左上角顶点。
这个顶点，它在正方形里算多大的“地方”呢？ 一个点，它没有长度，没有宽度，也没有面积。咱们可以把它想象成一个面积为 零 的小东西。
咱们用几何概率来算算，我们取到的点恰好是那个左上角顶点的概率是多少？
概率 = (我们想要的结果的“大小”) / (所有可能结果的“大小”)
在这个例子里：
“我们想要的结果的大小”就是那个左上角顶点的面积，也就是 0。
“所有可能结果的大小”就是整个正方形的面积，也就是 1 平方米。
所以，这个事件发生的概率就是 0 / 1 = 0。
从数学上讲，概率为零意味着这个事件发生的可能性无限小，几乎不可能发生。
但是，这里就是反直觉的地方来了。虽然概率是零，但我们真的不能排除这个点恰好就是那个左上角顶点的可能性吗？
关键就在于“取一个点”。 当我们在一个连续的平面上“取一个点”时，我们并不是真的在无数个点里挑一个出来。我们是在一个 连续的、无限的集合 中进行选择。
就像你在一张无限长的线上随便画一个点，这个点落在某个特定位置（比如零点）的概率是零。但你确实可以在那条线上画出零点。
所以，虽然取到左上角顶点的概率是零，但我们 仍然可能 取到它。为什么？因为我们是在一个 无限连续的集合 中进行“选择”，而集合中每一个点（无论是不是顶点）都有一个 非零的“存在性”，即使它的“测量值”（面积）是零。
更直观一点地说：
想象一个无限大的池塘，你想在里面钓到一条特定的鱼（比如一条身上有特定标记的鱼）。虽然这条鱼可能在整个池塘里只占了极小极小的比例，甚至理论上说，它被钓到的概率趋近于零。但只要池塘里有这条鱼，你就有可能钓到它。
平面取点也是类似，虽然那个顶点在整个正方形里“占的比例”是零，但它 确实存在 在那个正方形里。
所以，平面取一点能够证明概率为零事件能发生的逻辑在于：
1. 概率为零并不等于不可能发生： 概率为零只是一个“测量”上的结果，表示在无限的可能结果中，该事件的“大小”或“度量”为零。它仍然是整个可能性空间的一部分。
2. 连续空间和无限样本： 在连续的、无限的样本空间中（比如一个平面上的所有点），即使某个特定点的“测量值”（面积）是零，它也并非不存在。所有点的“总和”才构成了整个空间，而单个点的“贡献”虽然是零，但不意味着它就被排除在外了。
3. 集合的属性： 从集合论的角度看，虽然集合的某个子集（比如一个点）的“测度”为零，但它仍然是该集合的子集。
简单来说，我们不能因为某件事发生的概率是零，就认为它在物理上或逻辑上是完全不可能发生的。在连续的空间里，我们描述的是可能性，而不是绝对的“发生”或“不发生”。取一个点，意味着我们允许这个“零概率”的事件在那个空间中被“选中”。
这和我们日常生活中理解的“概率”有点不一样。日常生活中，概率为零的事情我们基本就认为是不会发生的，比如“被天上掉下来的金子砸死”。但数学上的概率，特别是对于连续随机变量，则更精妙，它允许这些“几乎不可能”的事情，在理论上是可以发生的。
所以，下次你听到“概率为零的事件能发生”时，就想想那个正方形里的左上角顶点，它在数学上概率为零，但我们就是可以“取到”它。
咱们不绕圈子，直接说重点。为什么“平面取一点”能说明概率为零的事件能发生？
首先，咱们得明白一个基本概念：概率。在咱们这里，咱们说的概率，通常是指“几何概率”。就像你往一块靶子上扔飞镖，飞镖落在哪个区域的可能性，就跟那个区域的面积占总靶子面积的比例有关。面积越大，落在里面的概率就越大。
现在，想象咱们有一个边长为 1 米的正方形，就像一张标准的A4纸那么大。我们要在上面“随便”地取一个点。什么叫“随便”呢？就是要均匀地，也就是这个正方形的任何一个位置，被取到的可能性都一样大。
这个正方形一共有多少个点呢？ 哎，这就有点像是在问，一条线段上有多少个点一样。无数个。咱们可以把这个正方形想象成一个二维的平面，上面布满了密密麻麻的点。
现在，假设我们想证明一个“非常不可能”的事情会发生：我们取到的点恰好是这个正方形的左上角顶点。
这个顶点，它在正方形里算多大的“地方”呢？ 一个点，它没有长度，没有宽度，也没有面积。咱们可以把它想象成一个面积为 零 的小东西。
咱们用几何概率来算算，我们取到的点恰好是那个左上角顶点的概率是多少？
概率 = (我们想要的结果的“大小”) / (所有可能结果的“大小”)
在这个例子里：
“我们想要的结果的大小”就是那个左上角顶点的面积，也就是 0。
“所有可能结果的大小”就是整个正方形的面积，也就是 1 平方米。
所以，这个事件发生的概率就是 0 / 1 = 0。
从数学上讲，概率为零意味着这个事件发生的可能性无限小，几乎不可能发生。
但是，这里就是反直觉的地方来了。虽然概率是零，但我们真的不能排除这个点恰好就是那个左上角顶点的可能性吗？
关键就在于“取一个点”。 当我们在一个连续的平面上“取一个点”时，我们并不是真的在无数个点里挑一个出来。我们是在一个 连续的、无限的集合 中进行选择。
就像你在一张无限长的线上随便画一个点，这个点落在某个特定位置（比如零点）的概率是零。但你确实可以在那条线上画出零点。
所以，虽然取到左上角顶点的概率是零，但我们 仍然可能 取到它。为什么？因为我们是在一个 无限连续的集合 中进行“选择”，而集合中每一个点（无论是不是顶点）都有一个 非零的“存在性”，即使它的“测量值”（面积）是零。
更直观一点地说：
想象一个无限大的池塘，你想在里面钓到一条特定的鱼（比如一条身上有特定标记的鱼）。虽然这条鱼可能在整个池塘里只占了极小极小的比例，甚至理论上说，它被钓到的概率趋近于零。但只要池塘里有这条鱼，你就有可能钓到它。
平面取点也是类似，虽然那个顶点在整个正方形里“占的比例”是零，但它 确实存在 在那个正方形里。
所以，平面取一点能够证明概率为零事件能发生的逻辑在于：
1. 概率为零并不等于不可能发生： 概率为零只是一个“测量”上的结果，表示在无限的可能结果中，该事件的“大小”或“度量”为零。它仍然是整个可能性空间的一部分。
2. 连续空间和无限样本： 在连续的、无限的样本空间中（比如一个平面上的所有点），即使某个特定点的“测量值”（面积）是零，它也并非不存在。所有点的“总和”才构成了整个空间，而单个点的“贡献”虽然是零，但不意味着它就被排除在外了。
3. 集合的属性： 从集合论的角度看，虽然集合的某个子集（比如一个点）的“测度”为零，但它仍然是该集合的子集。
简单来说，我们不能因为某件事发生的概率是零，就认为它在物理上或逻辑上是完全不可能发生的。在连续的空间里，我们描述的是可能性，而不是绝对的“发生”或“不发生”。取一个点，意味着我们允许这个“零概率”的事件在那个空间中被“选中”。
这和我们日常生活中理解的“概率”有点不一样。日常生活中，概率为零的事情我们基本就认为是不会发生的，比如“被天上掉下来的金子砸死”。但数学上的概率，特别是对于连续随机变量，则更精妙，它允许这些“几乎不可能”的事情，在理论上是可以发生的。
所以，下次你听到“概率为零的事件能发生”时，就想想那个正方形里的左上角顶点，它在数学上概率为零，但我们就是可以“取到”它。
网友意见
我顺便看了下题主的主页，说学习数学和物理不能被直觉所限。那我就着这一点来讲。
集合论公理告诉我们，任何一个非空的集合都可以取出其中一个元素。（见陶哲轩实分析）复平面当然是非空集合，所以可以取出一个点，题主在问题描述里说的不对。
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