一个每天都会变的六位数密码，每天一次输入机会，输入正确能得到500万，请问多少天能得到它？
首先，我们得掰开揉碎了算一算这笔账。
密码有多“变”？
这里有个关键点：“六位数密码，每天都会变”。“六位数”很好理解，就是从000000到999999这100万个组合。但“每天都会变”就有点模糊了。
情况一：每天随机生成一个全新的六位数。
如果密码是每天随机、无规律地从000000到999999这100万个数字里选一个，那这就变成了一个概率游戏。
总的可能性： 10的6次方，也就是1,000,000种。
每天的一次机会： 相当于你每天都在一次性购买一张彩票。
理论上的期望值： 理论上来说，你需要平均尝试100万次才能遇到那个正确的密码。因为你每天只有一次机会，所以理论上你需要 100万天 才能“大概率”猜中。
不过，这只是理论上的平均值。运气这东西，谁也说不准。可能你第一天就撞上了，也可能运气差到爆，连续尝试很多年都碰不到。这就像买彩票，买一张中大奖的概率很低，但总有人会中。
情况二：密码的“变”是有一定规律的，但我们不知道。
如果密码的“变”不是完全随机的，而是遵循某种我们不知道的规则（比如，前一天密码的某个数字加一，然后循环，或者某种复杂的算法），那情况就完全不一样了。
如果规律简单可循： 比如，密码每天就是从000001、000002、000003... 这样递增，那你就只需要 6个数字 (000001到000006) 就可以连续猜中6天，然后你就知道规律了。这样的话，你最多只需要 7天 (前6天试完，第七天就可以确定规律并猜中) 就能拿到钱（当然，这也取决于你能不能在猜到6天内发现规律）。
如果规律复杂且隐藏： 如果规律非常复杂，甚至需要你进行大量的试错、观察、分析才能摸索出来，那这就变成了一个“密码破解”的问题，而不仅仅是“运气”问题。这种情况下，天数就很难说了，可能需要几天，也可能需要几年，甚至如果规律太难，可能根本破解不了。
回到问题的本源：通常理解下的“每天都会变的六位数密码”
在大多数类似的游戏或谜题设定中，当提到“每天都会变”且没有其他提示时，通常是指 随机且无规律 的变化。也就是说，每一次变动都是一个全新的、独立的六位数。
所以，我们最可能面对的情况是 情况一：每天随机生成一个全新的六位数。
那么，我需要多少天才能得到那500万？
正如前面所说，这本质上是一个概率问题。
平均来说： 你需要 100万天。
换算成年： 100万天 ÷ 365天/年 ≈ 2739.7年。
嗯，这个数字听起来有点让人泄气，对吧？2700多年！这已经远超了一个人的生命长度了。
那还有希望吗？
有！绝对有！虽然理论平均值是100万天，但这只是平均值。
极小的可能性： 你可能在 第1天 就猜中了。概率是 1/1,000,000。
也可能在第10天，第100天，第1000天就猜中。 随着你尝试的天数越多，累积猜中的概率就会越高。
有没有办法“提高”猜中的几率？
在“每天一次机会，密码随机”这个规则下，你个人的“努力”能做的不多，因为你无法影响密码的生成。你的“努力”体现在 坚持尝试。
耐心是关键： 这考验的是你的耐心和对概率的理解。如果你认为自己运气爆棚，可能下一秒就中了，那你就每天都去试试。但如果你清楚这是一个长期的概率游戏，你就需要做好长期“投资”的准备。
资金的“增值”： 别忘了，你每次成功的奖励是500万。即使你投入了大量的“天数”，一旦成功，回报是巨大的。这就像是买一份可能不会中但一旦中了就回报丰厚的彩票。
总结一下，我们能给出多少天？
最诚实的回答是：
理论平均值： 100万天（约2740年）。
实际情况： 无法精确预测，从 1天（极小概率）到 100万天 甚至更长（理论上），都有可能。
这个游戏玩的是一个极低的概率，但是回报极高。如果你真的有机会参与，并且有的是时间和耐心，那么每天去尝试一次，就是你唯一能做的。至于需要多少天才能成功，这完全取决于那天你的运气是否站在你这一边！
网友意见
1000000/365≈2739年
现在出门左转中国体彩，花两块钱输入七位数密码，正确的话可以得到八百万人民币。
这不就是彩票吗？
TL;DR：如果理解为“每天都会变”指的是每一天的密码都会和昨天不一样，那么期望天数是 天。如果没有这个限制，期望天数是 天。
原答案：
需要注意的是题目中说是“每天都会变”的六位数密码，所以（除了第一天之外）每天密码可能的数量是去掉了前一天数字后的 而非 。
我们可以考虑三种不同的输入策略：
① 每天都输入同一个数字。
② 每天都随机输入一个数字。
③ 除第一天外每天都随机输入一个和昨天不同的数字。
显然，第一天无论怎样输入，正确的概率都是 。从第二天开始概率就有所不同了：
① 每天都输入同一个数字的话，从第二天开始正确的概率是 。
② 每天都随机输入一个数字，从第二天开始正确的概率是 。
③ 每天都随机输入一个和昨天不同的数字，从第二天开始正确的概率是 。
显然 ，所以每天盯着一个数选是最优的策略（虽然差距和随机选相比非常小）。
设第一次输入正确的概率是 ，第二次及以后输入正确的概率是 ，由期望的定义可得：
变换一下可以得到：
两式相减得：
代入 和 得 。所以期望天数为 （不考虑闰年）。
如果相邻两天的正确密码是可以相同的，那么无论是每天输入同一个数字还是随机一个数字，每天正确的概率都是 。公式是
用与之前同样的错位相减法可得 。
如果哪里算错了欢迎在评论区指正。
这种题目是这样的，很多人会回答期望值，其实并不贴切，理论上你第一天就可能中奖，也可能永远无法中奖。
举个例子，抛硬币，得到正面的概率是50%，然而，你抛2次就一定能得到正面吗？肯定不是，3次、4次…呢？
10%暴击率，你攻击10次就一定有1次暴击吗？肯定不是。
这类题目更有意义的答案是，我需要抛多少次，才能确保一定能得到一次正面，所谓“一定”，理论上不可能100%，通常我们可以取95%，当然你也可以取99%，都可以。
于是，与其说期望抛2次得到正面；就不如说：你抛5次，则将超过95%的可能将得到1次正面。
同样的道理，回到题目，你说100万天的期望值，其实根本不能保证到时候可以中奖，更贴切的回答是：
你通过300万天（手机测算估计，大致这样吧）的尝试，你中奖的概率将不低于95%，
以上，供参考。
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