如图，请问二次函数的一般公式是如何推导出来的？
好的，咱们一起来聊聊二次函数的一般公式，也就是 $y = ax^2 + bx + c$ 这个形式，是怎么来的。这玩意儿在数学里可太重要了，像是抛物线、很多物理现象，比如物体抛出去的轨迹，都离不开它。
咱们先从最简单的二次函数开始
你肯定见过 $y = x^2$ 这个函数吧？它的图像是个开口向上的抛物线，顶点在原点 $(0,0)$。这个函数就长这样：
当 $x=0$ 时，$y=0$
当 $x=1$ 时，$y=1$
当 $x=1$ 时，$y=1$
当 $x=2$ 时，$y=4$
当 $x=2$ 时，$y=4$
你看，输入相同的数的正负值，输出都是一样的，所以图像是关于y轴对称的。
那如果形状或者位置有点变化呢？
我们先考虑形状的变化。如果我把 $y = x^2$ 稍微“压扁”或者“拉伸”一下，比如变成 $y = 2x^2$ 或者 $y = frac{1}{2}x^2$ 呢？
$y = 2x^2$：
当 $x=1$ 时，$y=2$
当 $x=2$ 时，$y=8$
这时候，x相同时，y值都比 $y=x^2$ 大了。图像看起来就像是被“挤”得更瘦了。
$y = frac{1}{2}x^2$：
当 $x=1$ 时，$y=frac{1}{2}$
当 $x=2$ 时，$y=2$
这时候，y值都比 $y=x^2$ 小了。图像看起来就像是被“压”得更宽了。
所以，前面这个 $a$ 的作用，就是控制抛物线的“胖瘦”程度，还有开口方向。
如果 $a > 0$，抛物线开口向上。
如果 $a < 0$，抛物线开口向下（比如 $y = x^2$）。
$|a|$ 越大，抛物线越“瘦”；$|a|$ 越小，抛物线越“宽”。
接下来，我们考虑移动位置
如果我想让 $y = x^2$ 的顶点不再是 $(0,0)$，而是移动到其他地方，比如 $(h, k)$ 呢？
我们知道，如果把一个函数图像向右平移 $h$ 个单位，那么原来的 $x$ 就变成了 $(xh)$。向左平移 $h$ 个单位，就是 $(x+h)$。向上平移 $k$ 个单位，就是 $y$ 加上 $k$。
所以，如果我想把 $y = x^2$ 的顶点移动到 $(h, k)$，并且保持开口方向和形状不变，最直接的想法就是替换 $x$ 和 $y$：
将 $y$ 变成 $(yk)$
将 $x$ 变成 $(xh)$
代入 $y = x^2$ 中，就得到：
$(yk) = (xh)^2$
整理一下，把 $k$ 移到右边，我们就得到了 顶点式：
$y = (xh)^2 + k$
这个形式很好用，我们一眼就能看出抛物线的顶点是 $(h, k)$。
现在，把形状和位置都考虑进去
我们知道，前面那个 $a$ 控制形状，而 $(xh)^2 + k$ 控制位置。所以，把它们结合起来，就可以得到更一般一点的形式：
$y = a(xh)^2 + k$
这个形式已经很强大了，基本上包含了所有二次函数，只不过是以“顶点式”的形式展现。
最后一步：展开成一般形式
很多时候，我们看到的二次函数不是顶点式，而是 $y = ax^2 + bx + c$ 这种形式。怎么从顶点式得到它呢？很简单，就是把 $y = a(xh)^2 + k$ 展开。
1. 展开 $(xh)^2$:
$(xh)^2 = x^2 2hx + h^2$
2. 乘以 $a$:
$a(xh)^2 = a(x^2 2hx + h^2) = ax^2 2ahx + ah^2$
3. 加上 $k$:
$y = ax^2 2ahx + ah^2 + k$
现在，我们来对比一下 $y = ax^2 + bx + c$ 这个一般形式。
我们可以看到，$ax^2$ 和 $ax^2$ 对应。
中间这一项 $2ahx$ 对应着 $bx$。这就意味着，$b = 2ah$。
最后这一项 $ah^2 + k$ 对应着 $c$。这就意味着，$c = ah^2 + k$。
所以，我们通过展开顶点式 $y = a(xh)^2 + k$，自然而然就得到了 $y = ax^2 + bx + c$ 这个一般形式。
总结一下推导过程：
1. 基础： 从最简单的 $y = x^2$ 开始，了解二次函数的基本形状。
2. 形状调整： 引入系数 $a$，让它控制抛物线的开口方向和“胖瘦”。
3. 位置调整（顶点式）： 通过把 $x$ 替换成 $(xh)$ 和 $y$ 替换成 $(yk)$，实现抛物线顶点的平移，得到 $y = a(xh)^2 + k$。
4. 形式转换（一般式）： 将顶点式展开，整理成 $y = ax^2 + bx + c$ 的形式，其中 $b = 2ah$，$c = ah^2 + k$。
你看，这个推导过程其实就是一步一步地增加函数的复杂性，从最简单的形状，到控制形状，再到控制位置，最后把这些元素组合起来，并通过代数运算，得到了我们最常见的一般形式。这个过程也展示了数学中如何通过变换和组合来构建更复杂的模型。
咱们先从最简单的二次函数开始
你肯定见过 $y = x^2$ 这个函数吧？它的图像是个开口向上的抛物线，顶点在原点 $(0,0)$。这个函数就长这样：
当 $x=0$ 时，$y=0$
当 $x=1$ 时，$y=1$
当 $x=1$ 时，$y=1$
当 $x=2$ 时，$y=4$
当 $x=2$ 时，$y=4$
你看，输入相同的数的正负值，输出都是一样的，所以图像是关于y轴对称的。
那如果形状或者位置有点变化呢？
我们先考虑形状的变化。如果我把 $y = x^2$ 稍微“压扁”或者“拉伸”一下，比如变成 $y = 2x^2$ 或者 $y = frac{1}{2}x^2$ 呢？
$y = 2x^2$：
当 $x=1$ 时，$y=2$
当 $x=2$ 时，$y=8$
这时候，x相同时，y值都比 $y=x^2$ 大了。图像看起来就像是被“挤”得更瘦了。
$y = frac{1}{2}x^2$：
当 $x=1$ 时，$y=frac{1}{2}$
当 $x=2$ 时，$y=2$
这时候，y值都比 $y=x^2$ 小了。图像看起来就像是被“压”得更宽了。
所以，前面这个 $a$ 的作用，就是控制抛物线的“胖瘦”程度，还有开口方向。
如果 $a > 0$，抛物线开口向上。
如果 $a < 0$，抛物线开口向下（比如 $y = x^2$）。
$|a|$ 越大，抛物线越“瘦”；$|a|$ 越小，抛物线越“宽”。
接下来，我们考虑移动位置
如果我想让 $y = x^2$ 的顶点不再是 $(0,0)$，而是移动到其他地方，比如 $(h, k)$ 呢？
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所以，如果我想把 $y = x^2$ 的顶点移动到 $(h, k)$，并且保持开口方向和形状不变，最直接的想法就是替换 $x$ 和 $y$：
将 $y$ 变成 $(yk)$
将 $x$ 变成 $(xh)$
代入 $y = x^2$ 中，就得到：
$(yk) = (xh)^2$
整理一下，把 $k$ 移到右边，我们就得到了 顶点式：
$y = (xh)^2 + k$
这个形式很好用，我们一眼就能看出抛物线的顶点是 $(h, k)$。
现在，把形状和位置都考虑进去
我们知道，前面那个 $a$ 控制形状，而 $(xh)^2 + k$ 控制位置。所以，把它们结合起来，就可以得到更一般一点的形式：
$y = a(xh)^2 + k$
这个形式已经很强大了，基本上包含了所有二次函数，只不过是以“顶点式”的形式展现。
最后一步：展开成一般形式
很多时候，我们看到的二次函数不是顶点式，而是 $y = ax^2 + bx + c$ 这种形式。怎么从顶点式得到它呢？很简单，就是把 $y = a(xh)^2 + k$ 展开。
1. 展开 $(xh)^2$:
$(xh)^2 = x^2 2hx + h^2$
2. 乘以 $a$:
$a(xh)^2 = a(x^2 2hx + h^2) = ax^2 2ahx + ah^2$
3. 加上 $k$:
$y = ax^2 2ahx + ah^2 + k$
现在，我们来对比一下 $y = ax^2 + bx + c$ 这个一般形式。
我们可以看到，$ax^2$ 和 $ax^2$ 对应。
中间这一项 $2ahx$ 对应着 $bx$。这就意味着，$b = 2ah$。
最后这一项 $ah^2 + k$ 对应着 $c$。这就意味着，$c = ah^2 + k$。
所以，我们通过展开顶点式 $y = a(xh)^2 + k$，自然而然就得到了 $y = ax^2 + bx + c$ 这个一般形式。
总结一下推导过程：
1. 基础： 从最简单的 $y = x^2$ 开始，了解二次函数的基本形状。
2. 形状调整： 引入系数 $a$，让它控制抛物线的开口方向和“胖瘦”。
3. 位置调整（顶点式）： 通过把 $x$ 替换成 $(xh)$ 和 $y$ 替换成 $(yk)$，实现抛物线顶点的平移，得到 $y = a(xh)^2 + k$。
4. 形式转换（一般式）： 将顶点式展开，整理成 $y = ax^2 + bx + c$ 的形式，其中 $b = 2ah$，$c = ah^2 + k$。
你看，这个推导过程其实就是一步一步地增加函数的复杂性，从最简单的形状，到控制形状，再到控制位置，最后把这些元素组合起来，并通过代数运算，得到了我们最常见的一般形式。这个过程也展示了数学中如何通过变换和组合来构建更复杂的模型。
网友意见
我不是很明白你在干什么，一般式推导顶点式直接配方就完事了
而且你的正确结果也是错误的
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