Learning To Rank的pair wise方法如何得到全局排序结果呢？
Pairwise learningtorank (LTR) 方法的核心在于学习一个能够区分查询相关文档对顺序的评分模型。虽然它直接处理的是文档对之间的相对顺序，但通过一系列巧妙的设计和步骤，最终可以推导出整个搜索结果列表的全局排序。下面我将详细阐述这一过程，尽量还原真实的人工讲解风格。
理解Pairwise LTR的基石：文档对的相对顺序
咱们先从最根本的说起。Pairwise LTR不是直接告诉你一个文档对“A比B好”，而是告诉你“在某个查询下，文档A比文档B更相关”或者“文档B比文档A更相关”。它关注的是成对的比较，而不是一个绝对的分数。
想象一下，我们有一个查询 Q 和两个文档 D1 和 D2。我们有一个标注人员（或者系统根据历史点击等生成的信息），告诉我们：“对于查询 Q，D1 比 D2 更相关”。这就是一个pairwise label。
Pairwise LTR模型的目标就是学习一个函数 f(Q, D)，它能够为查询 Q 和文档 D 生成一个分数。这个分数本身不一定有直接的物理意义，但关键在于：
如果 D1 比 D2 更相关，那么 f(Q, D1) > f(Q, D2)。
反之亦然。
模型的目标函数（loss function）就是为了最小化那些预测结果与真实标签不一致的文档对。例如，如果真实标签是 D1 > D2，但模型预测 f(Q, D1) < f(Q, D2)，那么模型就会受到惩罚。
如何从“对”到“全局”？关键在于传递性
那么问题来了，有了这个 pairwise 的能力，我们怎么得到一个完整的列表排序呢？这就依赖于一个非常重要的概念：传递性 (Transitivity)。
在多数情况下，如果文档 A 比文档 B 更相关，文档 B 比文档 C 更相关，那么我们自然会期望文档 A 也比文档 C 更相关。虽然现实世界不总是这么完美，但大多数 LTR 模型都会建立在这种“近乎传递性”的假设上。
有了这个基础，Pairwise LTR得到全局排序的过程可以概括为以下几个关键步骤：
1. 训练模型：从大量的文档对中学习排序函数
数据准备： 我们需要大量的查询文档对。每个查询都对应着一个文档列表，而这些文档列表是由人工标注者根据相关性排序的（例如，非常相关、相关、不相关）。
生成训练样本： 从这些标注好的列表里，我们提取出所有的文档对。如果一个查询 Q 对应的列表是 D1 (高相关), D2 (中相关), D3 (低相关)，那么我们可以生成以下训练对：
(Q, D1, D2) D1 比 D2 更相关
(Q, D1, D3) D1 比 D3 更相关
(Q, D2, D3) D2 比 D3 更相关
通常，我们还会考虑一些“不相关”的情况，比如 (Q, D1, D_unrelated)。
模型选择： 常用的 Pairwise LTR 模型包括 RankSVM、RankNet、LambdaRank、LambdaMART 等。它们都采用了不同的方法来学习那个排序函数 f(Q, D)。
RankSVM 试图找到一个超平面，使得所有正例对（D1 > D2）的得分差大于一个间隔（margin），而负例对（D2 > D1）的得分差小于负间隔。
RankNet 则使用神经网络来直接学习预测文档对的概率 P(D1 > D2)。它通过最小化交叉熵损失来实现。
LambdaRank/LambdaMART 则更进一步，它们在 RankNet 的基础上，直接针对排序评估指标（如 NDCG, MAP）的损失进行优化，通过计算“lambda”值（损失函数对模型输出得分的梯度）来指导模型参数更新。这使得模型更加关注排名靠前的文档。
模型训练： 使用前面生成的文档对数据和选择好的模型，进行参数训练。模型的目标就是学会一个函数 f，使得对于任何一个查询 Q 和两个文档 D_i, D_j，当 D_i 在真实排序中比 D_j 靠前时，模型预测的 f(Q, D_i) > f(Q, D_j)。
2. 推理阶段：为查询的所有候选文档打分
当一个新用户输入一个查询 Q_new 时，搜索系统会召回一个相关的文档集合（可能是几百到几千篇文档）。
应用排序函数： 将这个查询 Q_new 和召回的每一个候选文档 D_k，都输入到训练好的排序函数 f 中。
生成单文档分数： 对于每一个文档 D_k，我们都能得到一个分数 S_k = f(Q_new, D_k)。
3. 全局排序：根据分数进行排序
现在，我们有了查询 Q_new 下所有候选文档 D_1, D_2, ..., D_N 的分数 S_1, S_2, ..., S_N。
排序列表生成： 我们直接将这些文档按照它们的分数从高到低进行排序。分数最高的文档排在最前面，分数次之的排在后面，以此类推。
这就是最终的全局排序结果列表。
举个例子帮助理解
假设我们训练了一个 Pairwise LTR 模型，它学会了为查询“机器学习”和文档生成分数。现在用户输入“机器学习”。
召回了以下文档：
D_A: “入门机器学习教程”
D_B: “深度学习最新进展”
D_C: “统计学基础概念”
D_D: “机器学习算法综述”
模型为它们打分：
f(Q="机器学习", D_A) = 0.95
f(Q="机器学习", D_B) = 0.70
f(Q="机器学习", D_C) = 0.20
f(Q="机器学习", D_D) = 0.85
将这些分数从高到低排序：
0.95 (D_A) > 0.85 (D_D) > 0.70 (D_B) > 0.20 (D_C)
于是，最终的全局排序结果就是：D_A, D_D, D_B, D_C。
为什么Pairwise模型可以得到全局排序？
得分的单调性保证： Pairwise LTR的核心就是通过学习一个评分函数，使其能够反映文档对之间的相对相关性。当模型训练到一定程度时，它学习到的函数 f(Q, D) 的输出值就隐式地编码了文档 D 对于查询 Q 的“相关性强度”。
传递性的力量： 尽管模型直接比较的是对，但它学习到的得分函数具有高度的单调性。如果模型被训练得很好，那么对于任意的 D_i 和 D_j，如果真实情况是 D_i > D_j，那么模型会倾向于输出 f(Q, D_i) > f(Q, D_j)。这种分数上的差异，一旦积累起来，就会自然而然地将所有文档按照它们在真实排序中的位置“映射”到一个分数区间上。
间接的全局优化： 虽然训练时是针对成对的比较，但很多 Pairwise 算法（如 LambdaMART）在计算损失梯度时，会考虑排名靠前文档的重要性。这意味着模型在优化过程中，间接关注了全局排序的质量，特别是那些对用户可见度更高的排名位置。
总结一下
Pairwise LTR方法通过学习一个能够区分文档对顺序的评分函数，它并不直接输出一个绝对的相关性得分，而是输出一个相对的“排名潜力”得分。在推理阶段，将这个函数应用于一个查询下的所有候选文档，就可以得到每个文档的“潜力得分”。最后，将这些得分进行简单地降序排列，就得到了最终的全局排序结果。它的有效性，很大程度上依赖于模型能够准确捕捉文档对之间的相对偏好，并将这种偏好“传递”到整个文档集合中。
理解Pairwise LTR的基石：文档对的相对顺序
咱们先从最根本的说起。Pairwise LTR不是直接告诉你一个文档对“A比B好”，而是告诉你“在某个查询下，文档A比文档B更相关”或者“文档B比文档A更相关”。它关注的是成对的比较，而不是一个绝对的分数。
想象一下，我们有一个查询 Q 和两个文档 D1 和 D2。我们有一个标注人员（或者系统根据历史点击等生成的信息），告诉我们：“对于查询 Q，D1 比 D2 更相关”。这就是一个pairwise label。
Pairwise LTR模型的目标就是学习一个函数 f(Q, D)，它能够为查询 Q 和文档 D 生成一个分数。这个分数本身不一定有直接的物理意义，但关键在于：
如果 D1 比 D2 更相关，那么 f(Q, D1) > f(Q, D2)。
反之亦然。
模型的目标函数（loss function）就是为了最小化那些预测结果与真实标签不一致的文档对。例如，如果真实标签是 D1 > D2，但模型预测 f(Q, D1) < f(Q, D2)，那么模型就会受到惩罚。
如何从“对”到“全局”？关键在于传递性
那么问题来了，有了这个 pairwise 的能力，我们怎么得到一个完整的列表排序呢？这就依赖于一个非常重要的概念：传递性 (Transitivity)。
在多数情况下，如果文档 A 比文档 B 更相关，文档 B 比文档 C 更相关，那么我们自然会期望文档 A 也比文档 C 更相关。虽然现实世界不总是这么完美，但大多数 LTR 模型都会建立在这种“近乎传递性”的假设上。
有了这个基础，Pairwise LTR得到全局排序的过程可以概括为以下几个关键步骤：
1. 训练模型：从大量的文档对中学习排序函数
数据准备： 我们需要大量的查询文档对。每个查询都对应着一个文档列表，而这些文档列表是由人工标注者根据相关性排序的（例如，非常相关、相关、不相关）。
生成训练样本： 从这些标注好的列表里，我们提取出所有的文档对。如果一个查询 Q 对应的列表是 D1 (高相关), D2 (中相关), D3 (低相关)，那么我们可以生成以下训练对：
(Q, D1, D2) D1 比 D2 更相关
(Q, D1, D3) D1 比 D3 更相关
(Q, D2, D3) D2 比 D3 更相关
通常，我们还会考虑一些“不相关”的情况，比如 (Q, D1, D_unrelated)。
模型选择： 常用的 Pairwise LTR 模型包括 RankSVM、RankNet、LambdaRank、LambdaMART 等。它们都采用了不同的方法来学习那个排序函数 f(Q, D)。
RankSVM 试图找到一个超平面，使得所有正例对（D1 > D2）的得分差大于一个间隔（margin），而负例对（D2 > D1）的得分差小于负间隔。
RankNet 则使用神经网络来直接学习预测文档对的概率 P(D1 > D2)。它通过最小化交叉熵损失来实现。
LambdaRank/LambdaMART 则更进一步，它们在 RankNet 的基础上，直接针对排序评估指标（如 NDCG, MAP）的损失进行优化，通过计算“lambda”值（损失函数对模型输出得分的梯度）来指导模型参数更新。这使得模型更加关注排名靠前的文档。
模型训练： 使用前面生成的文档对数据和选择好的模型，进行参数训练。模型的目标就是学会一个函数 f，使得对于任何一个查询 Q 和两个文档 D_i, D_j，当 D_i 在真实排序中比 D_j 靠前时，模型预测的 f(Q, D_i) > f(Q, D_j)。
2. 推理阶段：为查询的所有候选文档打分
当一个新用户输入一个查询 Q_new 时，搜索系统会召回一个相关的文档集合（可能是几百到几千篇文档）。
应用排序函数： 将这个查询 Q_new 和召回的每一个候选文档 D_k，都输入到训练好的排序函数 f 中。
生成单文档分数： 对于每一个文档 D_k，我们都能得到一个分数 S_k = f(Q_new, D_k)。
3. 全局排序：根据分数进行排序
现在，我们有了查询 Q_new 下所有候选文档 D_1, D_2, ..., D_N 的分数 S_1, S_2, ..., S_N。
排序列表生成： 我们直接将这些文档按照它们的分数从高到低进行排序。分数最高的文档排在最前面，分数次之的排在后面，以此类推。
这就是最终的全局排序结果列表。
举个例子帮助理解
假设我们训练了一个 Pairwise LTR 模型，它学会了为查询“机器学习”和文档生成分数。现在用户输入“机器学习”。
召回了以下文档：
D_A: “入门机器学习教程”
D_B: “深度学习最新进展”
D_C: “统计学基础概念”
D_D: “机器学习算法综述”
模型为它们打分：
f(Q="机器学习", D_A) = 0.95
f(Q="机器学习", D_B) = 0.70
f(Q="机器学习", D_C) = 0.20
f(Q="机器学习", D_D) = 0.85
将这些分数从高到低排序：
0.95 (D_A) > 0.85 (D_D) > 0.70 (D_B) > 0.20 (D_C)
于是，最终的全局排序结果就是：D_A, D_D, D_B, D_C。
为什么Pairwise模型可以得到全局排序？
得分的单调性保证： Pairwise LTR的核心就是通过学习一个评分函数，使其能够反映文档对之间的相对相关性。当模型训练到一定程度时，它学习到的函数 f(Q, D) 的输出值就隐式地编码了文档 D 对于查询 Q 的“相关性强度”。
传递性的力量： 尽管模型直接比较的是对，但它学习到的得分函数具有高度的单调性。如果模型被训练得很好，那么对于任意的 D_i 和 D_j，如果真实情况是 D_i > D_j，那么模型会倾向于输出 f(Q, D_i) > f(Q, D_j)。这种分数上的差异，一旦积累起来，就会自然而然地将所有文档按照它们在真实排序中的位置“映射”到一个分数区间上。
间接的全局优化： 虽然训练时是针对成对的比较，但很多 Pairwise 算法（如 LambdaMART）在计算损失梯度时，会考虑排名靠前文档的重要性。这意味着模型在优化过程中，间接关注了全局排序的质量，特别是那些对用户可见度更高的排名位置。
总结一下
Pairwise LTR方法通过学习一个能够区分文档对顺序的评分函数，它并不直接输出一个绝对的相关性得分，而是输出一个相对的“排名潜力”得分。在推理阶段，将这个函数应用于一个查询下的所有候选文档，就可以得到每个文档的“潜力得分”。最后，将这些得分进行简单地降序排列，就得到了最终的全局排序结果。它的有效性，很大程度上依赖于模型能够准确捕捉文档对之间的相对偏好，并将这种偏好“传递”到整个文档集合中。
网友意见
pairwise learning to rank 的方法可以分为两大类。
第一类是诸如ranknet这类方法，它们通过一些特殊的设计让模型依靠“样本对”的信息来学习得到每个样本的score。所以得到这类方法最后的全局排序结果很简单，就是用所有样本的score来排序即可。
另一类方法是基于优先函数的方法。这类方法的整个过程分为两个阶段，第一阶段是用机器学习模型来学习两个样本之间的优先关系，例如f(x1, x2)=1表示样本x1优先于x2（x1应该排在x2前面），f(x1, x2)=-1表示样本x2优先于x1（x1应该排在x2后面）。从题主的问题来看，可能问的是“当我们已经训练出了优先函数f之后，如何对所有样本进行排序，并且使该排序在最大程度上与f的结果一致”。这个问题在学界被称为Rank Aggregation（排列聚合）。
Rank Aggregation问题之所以存在是因为优先函数f是被训练出来的，它无法保证一定满足传递率这种对排序非常重要的性质。回想一下实数排序算法，它们其实依赖的是比较符（如小于符号）满足传递率。Rank Aggregation在1997年的“Learning to order things”这篇文章中已经被证明是NP困难的。因此后续的研究主要在针对性设计一些高效算法来寻找较优解，而不是最优解。
关于各种方法，我之前一篇文中有详细介绍，题主可以参考。
这里还是简单介绍一些。
“Learning to order things”这篇文章中的方法因为稍微复杂，所以不列举了，直接看那篇文章。
其它一些后续的方法一般比较“经验”，基本没太多理论的东西。例如，假设我们有x1，x2，...，xn个待排序样本。有些方法会用每个样本的supporter来作为它最后的ranking score。样本xi的suppoter的计算如下：
而另一些方法会把上面的f(x1, x2)的输出改为概率，而不是-1或1。
总之，方法很“经验”。
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