为什么GAT能够实现Inductive learning，而GCN不行？
这确实是图神经网络（GNN）领域一个非常值得探讨的问题。简单来说，GCN和GAT在“如何聚合邻居信息”以及“聚合后如何进行特征转换”这两个关键环节的设计差异，导致了它们在归纳学习能力上的不同表现。让我详细说一说其中的缘由。
首先，我们得明白什么是“归纳学习”（Inductive Learning）。在图学习的语境下，归纳学习意味着模型在训练过程中学习到的模式，能够泛化到未见过的新图或者图中的新节点上。反之，如果模型只能处理在训练时就出现过的图或节点，那就属于“转导学习”（Transductive Learning）。
GCN（Graph Convolutional Network）之所以在归纳学习方面存在限制，主要根源在于其核心的聚合与转换方式。
GCN的局限性分析：
1. 邻接矩阵的依赖与“固定”的图结构： 经典GCN的运作离不开一个对训练图“量身定制”的邻接矩阵（通常经过归一化处理，比如对称归一化）。这个邻接矩阵定义了图中节点之间的连接关系。在训练阶段，GCN模型学习到的权重矩阵（W）是针对这个特定的图结构来优化的。
问题所在： 当我们想要将训练好的GCN模型应用到一个全新的、结构完全不同的图上时，我们没有一个现成的、经过归一化的邻接矩阵能直接套用。虽然理论上我们可以为新图重新计算归一化邻接矩阵，但GCN模型的权重（W）是针对旧图的节点数量和连接模式学习出来的，直接应用于新图的节点表示，其效果是未知的，甚至可能是非常糟糕的。它并没有学习到如何“适应”不同图结构的通用规则。
2. 聚合方式的“隐式”权重： GCN的聚合步骤通常是这样的：
$$H^{(l+1)} = sigma(hat{D}^{frac{1}{2}}hat{A}hat{D}^{frac{1}{2}}H^{(l)}W^{(l)})$$
其中，$hat{A} = A + I$（有时是这样，为了处理孤立节点），$D$ 是 $hat{A}$ 的度矩阵。这里的 $hat{D}^{frac{1}{2}}hat{A}hat{D}^{frac{1}{2}}$ 是一个对称归一化后的邻接矩阵，它扮演了“聚合权重”的角色。每个节点的邻居信息会被按照这个矩阵的值进行加权平均。
问题所在： 这种聚合权重是通过对邻接矩阵进行固定的数学变换得到的，它不依赖于节点自身的特征。换句话说，无论节点A和节点B的特征是什么，它们在聚合邻居信息时，其邻居的“重要性”是由它们在图结构中的度（degree）决定的（经过归一化后）。这种基于图结构的固定归一化，限制了模型根据节点特征动态调整邻居重要性的能力。当节点特征发生变化，或者遇到新的节点时，这种基于“度”的聚合方式可能不再有效。
3. “无区分性”的聚合： GCN中的邻居聚合是一个“平均”或“加权平均”的过程。它平等地对待所有邻居（根据归一化后的连接强度），然后将这些聚合的信息与节点自身经过线性变换后的特征结合。模型并没有学习到“如何根据节点特征来判断哪个邻居的信息更重要”。
GAT的优势分析（为什么它能归纳学习）：
GAT（Graph Attention Network）通过引入“注意力机制”（Attention Mechanism）来解决GCN的这些局限性。
1. 特征驱动的自注意力聚合： GAT的核心是计算节点对之间（节点i与其邻居节点j）的注意力系数。这个注意力系数是动态计算的，并且依赖于节点i和节点j的特征。
具体来说，对于节点i，它会为其每个邻居节点j计算一个注意力分数 $e_{ij}$：
$$e_{ij} = ext{LeakyReLU}(mathbf{a}^T [mathbf{h}_i || mathbf{h}_j])$$
其中，$mathbf{h}_i, mathbf{h}_j$ 是节点i和j在上一层的特征表示，$mathbf{a}$ 是一个可学习的权重向量，$[cdot || cdot]$ 表示向量拼接。然后，通过Softmax函数将这些分数归一化，得到最终的注意力系数 $alpha_{ij}$：
$$alpha_{ij} = ext{softmax}_j(e_{ij}) = frac{exp(e_{ij})}{sum_{k in mathcal{N}_i} exp(e_{ik})}$$
这里的 $mathcal{N}_i$ 是节点i的邻居集合。
归纳学习的关键： 这个计算注意力系数的过程，不依赖于全局的邻接矩阵。它仅仅需要节点自身的特征和其邻居节点的特征。这意味着，即使面对一个全新的图，只要我们能够获取到节点的特征以及它们之间的邻居关系（只需要局部信息），我们就可以为每个节点计算其邻居的注意力权重。一旦有了注意力权重，就可以进行加权聚合：
$$h_i^{(l+1)} = sigma(sum_{j in mathcal{N}_i} alpha_{ij}^{(l)} W^{(l)} h_j^{(l)})$$
这种基于特征的动态计算方式，使得GAT能够学习到“如何根据节点自身信息和邻居信息来判断信息的重要性”，从而能够泛化到未见过的节点和图。
2. 多头注意力（MultiHead Attention）的鲁棒性： GAT通常会使用多头注意力。这意味着模型会并行地计算多组独立的注意力系数，并将它们的结果进行拼接（或平均）。
归纳学习的增强： 多头注意力能够捕获节点之间更丰富、更具表现力的相互作用模式。不同的“头”可能关注节点特征的不同方面，从而学习到更鲁棒的邻居重要性判断规则。这种学习到的规则比GCN那种基于固定结构的聚合更加通用，更容易迁移到新的图结构上。
3. 对图结构的“解耦”： 相比GCN将图结构强耦合进聚合矩阵中，GAT在聚合层主要依赖于节点特征。虽然它仍然需要知道节点的邻居是谁（即局部图结构），但它不依赖于整个图的全局邻接矩阵的计算或归一化。这个局部邻居信息是可以很容易地从任何一个给定的图结构中提取出来的，无论是训练时的图还是测试时的图。
总结一下核心差异：
GCN：
依赖全局邻接矩阵的预计算和归一化，这个矩阵是针对特定图结构“硬编码”的。
聚合方式是基于图结构的固定加权平均，不区分邻居特征的重要性。
学习到的参数（权重矩阵W）更侧重于图的全局属性和结构信息，泛化能力受限。
GAT：
聚合方式是基于节点特征的自注意力计算，动态生成邻居权重。
不依赖全局邻接矩阵，只需要局部邻居关系和节点特征即可完成聚合。
学习到的参数更侧重于节点特征交互的通用模式，因此能够更好地泛化到新节点和新图。
正是因为GAT的注意力机制能够根据节点自身的特征来动态地学习如何聚合邻居信息，而无需依赖整个图的全局邻接矩阵，它才具备了在未见过图或节点上进行归纳学习的能力。GCN在这方面则显得“过于绑定”于训练时的图结构了。
首先，我们得明白什么是“归纳学习”（Inductive Learning）。在图学习的语境下，归纳学习意味着模型在训练过程中学习到的模式，能够泛化到未见过的新图或者图中的新节点上。反之，如果模型只能处理在训练时就出现过的图或节点，那就属于“转导学习”（Transductive Learning）。
GCN（Graph Convolutional Network）之所以在归纳学习方面存在限制，主要根源在于其核心的聚合与转换方式。
GCN的局限性分析：
1. 邻接矩阵的依赖与“固定”的图结构： 经典GCN的运作离不开一个对训练图“量身定制”的邻接矩阵（通常经过归一化处理，比如对称归一化）。这个邻接矩阵定义了图中节点之间的连接关系。在训练阶段，GCN模型学习到的权重矩阵（W）是针对这个特定的图结构来优化的。
问题所在： 当我们想要将训练好的GCN模型应用到一个全新的、结构完全不同的图上时，我们没有一个现成的、经过归一化的邻接矩阵能直接套用。虽然理论上我们可以为新图重新计算归一化邻接矩阵，但GCN模型的权重（W）是针对旧图的节点数量和连接模式学习出来的，直接应用于新图的节点表示，其效果是未知的，甚至可能是非常糟糕的。它并没有学习到如何“适应”不同图结构的通用规则。
2. 聚合方式的“隐式”权重： GCN的聚合步骤通常是这样的：
$$H^{(l+1)} = sigma(hat{D}^{frac{1}{2}}hat{A}hat{D}^{frac{1}{2}}H^{(l)}W^{(l)})$$
其中，$hat{A} = A + I$（有时是这样，为了处理孤立节点），$D$ 是 $hat{A}$ 的度矩阵。这里的 $hat{D}^{frac{1}{2}}hat{A}hat{D}^{frac{1}{2}}$ 是一个对称归一化后的邻接矩阵，它扮演了“聚合权重”的角色。每个节点的邻居信息会被按照这个矩阵的值进行加权平均。
问题所在： 这种聚合权重是通过对邻接矩阵进行固定的数学变换得到的，它不依赖于节点自身的特征。换句话说，无论节点A和节点B的特征是什么，它们在聚合邻居信息时，其邻居的“重要性”是由它们在图结构中的度（degree）决定的（经过归一化后）。这种基于图结构的固定归一化，限制了模型根据节点特征动态调整邻居重要性的能力。当节点特征发生变化，或者遇到新的节点时，这种基于“度”的聚合方式可能不再有效。
3. “无区分性”的聚合： GCN中的邻居聚合是一个“平均”或“加权平均”的过程。它平等地对待所有邻居（根据归一化后的连接强度），然后将这些聚合的信息与节点自身经过线性变换后的特征结合。模型并没有学习到“如何根据节点特征来判断哪个邻居的信息更重要”。
GAT的优势分析（为什么它能归纳学习）：
GAT（Graph Attention Network）通过引入“注意力机制”（Attention Mechanism）来解决GCN的这些局限性。
1. 特征驱动的自注意力聚合： GAT的核心是计算节点对之间（节点i与其邻居节点j）的注意力系数。这个注意力系数是动态计算的，并且依赖于节点i和节点j的特征。
具体来说，对于节点i，它会为其每个邻居节点j计算一个注意力分数 $e_{ij}$：
$$e_{ij} = ext{LeakyReLU}(mathbf{a}^T [mathbf{h}_i || mathbf{h}_j])$$
其中，$mathbf{h}_i, mathbf{h}_j$ 是节点i和j在上一层的特征表示，$mathbf{a}$ 是一个可学习的权重向量，$[cdot || cdot]$ 表示向量拼接。然后，通过Softmax函数将这些分数归一化，得到最终的注意力系数 $alpha_{ij}$：
$$alpha_{ij} = ext{softmax}_j(e_{ij}) = frac{exp(e_{ij})}{sum_{k in mathcal{N}_i} exp(e_{ik})}$$
这里的 $mathcal{N}_i$ 是节点i的邻居集合。
归纳学习的关键： 这个计算注意力系数的过程，不依赖于全局的邻接矩阵。它仅仅需要节点自身的特征和其邻居节点的特征。这意味着，即使面对一个全新的图，只要我们能够获取到节点的特征以及它们之间的邻居关系（只需要局部信息），我们就可以为每个节点计算其邻居的注意力权重。一旦有了注意力权重，就可以进行加权聚合：
$$h_i^{(l+1)} = sigma(sum_{j in mathcal{N}_i} alpha_{ij}^{(l)} W^{(l)} h_j^{(l)})$$
这种基于特征的动态计算方式，使得GAT能够学习到“如何根据节点自身信息和邻居信息来判断信息的重要性”，从而能够泛化到未见过的节点和图。
2. 多头注意力（MultiHead Attention）的鲁棒性： GAT通常会使用多头注意力。这意味着模型会并行地计算多组独立的注意力系数，并将它们的结果进行拼接（或平均）。
归纳学习的增强： 多头注意力能够捕获节点之间更丰富、更具表现力的相互作用模式。不同的“头”可能关注节点特征的不同方面，从而学习到更鲁棒的邻居重要性判断规则。这种学习到的规则比GCN那种基于固定结构的聚合更加通用，更容易迁移到新的图结构上。
3. 对图结构的“解耦”： 相比GCN将图结构强耦合进聚合矩阵中，GAT在聚合层主要依赖于节点特征。虽然它仍然需要知道节点的邻居是谁（即局部图结构），但它不依赖于整个图的全局邻接矩阵的计算或归一化。这个局部邻居信息是可以很容易地从任何一个给定的图结构中提取出来的，无论是训练时的图还是测试时的图。
总结一下核心差异：
GCN：
依赖全局邻接矩阵的预计算和归一化，这个矩阵是针对特定图结构“硬编码”的。
聚合方式是基于图结构的固定加权平均，不区分邻居特征的重要性。
学习到的参数（权重矩阵W）更侧重于图的全局属性和结构信息，泛化能力受限。
GAT：
聚合方式是基于节点特征的自注意力计算，动态生成邻居权重。
不依赖全局邻接矩阵，只需要局部邻居关系和节点特征即可完成聚合。
学习到的参数更侧重于节点特征交互的通用模式，因此能够更好地泛化到新节点和新图。
正是因为GAT的注意力机制能够根据节点自身的特征来动态地学习如何聚合邻居信息，而无需依赖整个图的全局邻接矩阵，它才具备了在未见过图或节点上进行归纳学习的能力。GCN在这方面则显得“过于绑定”于训练时的图结构了。
网友意见
GCN也可以。inductive无非就是一种evaluation setting罢了。
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