蜗牛从10米深的井底爬，白天爬一米，晚上下落x米，其中x为[0,2]米的随机数，那么爬上的期望是多少？

这道题呀，听起来挺绕的，但其实把它拆解开来，一个一个捋顺了，就没那么难了。咱们就好好聊聊这个“爬井的蜗牛”的故事，看看它最后到底能爬多高。

首先，咱们得明白蜗牛一天的工作流程：

白天： 努力往上爬1米。
晚上： 休息一下，但会往下滑x米。这里的x可不是固定的，它是一个随机数，范围在0到2米之间（包含0和2）。

咱们要算的是，经过一段不确定的时间后，这只蜗牛爬上去的“期望高度”。“期望”这个词在统计学里有个专门的意思，简单来说，就是所有可能结果的平均值。想象一下，如果让很多只蜗牛同时爬，每只的“晚上下滑”都不一样，最后咱们把它们爬到的高度加起来再除以蜗牛的数量，那个平均值，就是咱们要找的“期望”。

咱们先别急着算复杂的期望，咱们先一步一步看看蜗牛是怎么爬的，以及它可能遇到的情况。

第一天：

白天：从井底（0米）爬到了1米。
晚上：下滑x米。这x米可以是0米（运气最好，没滑下去），也可以是1米，也可以是2米（运气最差，滑下去2米）。
如果x=0，第一天结束时在1米处。
如果x=1，第一天结束时在0米处。
如果x=2，第一天结束时在1米处（这不太可能发生在实际井底爬升中，但我们理解为它回到了原点或者说没有实质性进展）。

关键点来了： 井有10米深，意思是蜗牛需要爬到10米的高度才能出来。

那么，当蜗牛爬到什么时候，它就真的“爬上”了呢？

是不是一定要爬到10米的点上才算成功？想一想，如果蜗牛在某一天白天爬到了10米，那么它就出去了，晚上即便有下滑，也出去了，就不再算在井里的情况了。

所以，咱们可以关注一下蜗牛在白天结束时的高度。

咱们可以换个角度思考这个问题： 想象一下，如果蜗牛每天晚上都能稳定地滑下去1米（x=1），那么它每天净爬升的高度是 1米 1米 = 0米。这样的话，它似乎永远也爬不出去了。

但是，因为晚上滑下的米数是随机的，而且最小可以是0米，所以蜗牛是有可能爬出去的。

咱们可以这样来理解期望的计算过程，虽然这道题的随机性让直接的递推计算变得复杂，但我们可以考虑一个更直观的思考方式。

假设经过一段时间，蜗牛爬到了一个位置 h (0 < h < 10)。

那么下一天的进展是：
白天：爬到 h + 1。
晚上：滑下 x 米。

如果 h + 1 >= 10，那么它就出去了。

咱们不妨想想，蜗牛达到某个高度，比如 9米，是什么样的情景。

如果蜗牛在某天早上处于 9米 的位置。
白天：它爬1米，到达 10米。成功爬出！
晚上：不管它滑下多少，它已经在井外了。

那么，咱们可以关注一下，到达10米这个临界点之前，蜗牛每天的“净进展”是多大。

如果某天晚上，蜗牛下滑了 x 米，那么在这一天结束时，它的高度是 (前一天结束时的高度 + 1) x。

让咱们从井底（0米）开始：

第一天白天结束时： 1米
第一天晚上结束时： 1 x。由于 x 是 [0, 2] 的随机数，那么第一天结束时的位置可能是 [ 1, 1 ]。
如果第一天结束时在 1米，说明晚上没滑下去（x=0）。
如果第一天结束时在 0米，说明晚上滑下去1米（x=1）。
如果第一天结束时在 1米（理论上回到原点），说明晚上滑下去2米（x=2）。

咱们假设蜗牛的平均下滑量是每天1米（x的期望值是 (0+2)/2 = 1米）。

那么，每天的“净爬升”期望是 1米 (白天爬) 1米 (晚上滑) = 0米。

这样看来，如果用“期望”来计算，好像永远也爬不出去？这说明直接计算期望增长量可能不是最有效的方法，因为“出去”这个事件会改变整个概率分布。

换个角度，咱们考虑它“平均需要多少天才能出去”的可能性。

这个问题更像是“随机游走”问题的一个变体，但因为有“终止条件”（爬出井口），并且在这个终止条件之前还有一个“白天爬升”，这使得它与纯粹的随机游走略有不同。

重点在于，“白天爬升1米”这个固定动作，让它总是有机会在爬到顶端前就到达10米。

考虑一个简化的情况：如果蜗牛是每天爬1米，晚上滑1米，它永远出不去。
如果蜗牛是每天爬1米，晚上滑0米，它一天就出去了。

现在是每天爬1米，晚上滑 [0, 2] 米。

咱们可以关注一下蜗牛在 “即将爬出井口” 的那几天。

假设蜗牛在前一天晚上结束时，位于 9米 的位置。
第二天白天：爬到 10米，成功！

那么，问题就变成了：蜗牛在爬到 9米 的位置的概率有多大？或者说，它平均需要多少天才能到达 9米 的位置，并且在那之后白天爬升到10米？

咱们不妨想想，到达 9米，10米，这样的关键点。

设 $E_h$ 表示蜗牛从高度 $h$ 爬到井外的期望步数（或者说期望的“天数”）。我们想知道的是，从高度0开始，爬到井外的期望高度（这里问的是期望高度，而不是期望天数）。

不过，这个问题更像是问“最终会爬到多高”，如果爬出去了，就算10米。这里问的是“爬上的期望是多少”，这暗示的是一个最终的、统计意义上的平均高度。

咱们可以这样思考：是什么阻碍了蜗牛爬出去？是晚上下滑。

如果蜗牛每天白天爬1米，然后晚上平均下滑1米，那么它的平均位置似乎不会增加。

但是，一旦它到了9米的位置，第二天白天就能出去。

咱们换个思路，考虑一个更抽象的模型。

假设蜗牛在某个时刻的高度是 $h$。
下一刻（经过一天一夜），它的高度期望值是什么呢？
是 $(h + 1) E[x]$，其中 $E[x]$ 是晚上下滑的期望值。
$E[x] = (0+2)/2 = 1$ 米。
所以，平均来说，蜗牛每天高度的期望增长是 $1 1 = 0$ 米。

这似乎又回到了原地。这里的问题在于，期望增长为0并不意味着它不会爬上去。 想象一下，如果蜗牛运气爆棚，连续几天晚上都不下滑，它就能迅速接近井口。

这个问题的问法“爬上的期望是多少”，更像是在问，在经历了一个足够长的时间后（或者说，在它最终爬出井口的那一刻），它的最终高度是多少，取一个平均值。

思考一下“停止条件”：一旦达到10米，就停止爬升。

让 $H$ 表示蜗牛最终爬上的高度。我们要求的是 $E[H]$。
$H$ 可能等于10米（如果它爬出去了）。

我们来考虑一下“平均每天的进展”。

设 $h_n$ 是第 $n$ 天结束时蜗牛的高度。
$h_n = h_{n1} + 1 x_n$, 其中 $x_n$ 是第 $n$ 天晚上下滑的距离。
但是，如果 $h_{n1} + 1 ge 10$，那么 $h_n = 10$（或者说爬出去了）。

我们可以关注一下蜗牛“差一点就爬出去”的情况。
例如，如果在某一天的早晨，蜗牛在 9米。
白天爬升到 10米。然后出去。

关键在于，“白天爬升1米”这个固定值。

如果蜗牛在某一天的开始时（早晨）位于 $h$ 米。
那么，在这一天的结束时（晚上过后），它的高度期望是：
1. 如果 $h+1 ge 10$ (即 $h ge 9$)：那么它白天就爬出去了。所以这一天的进展是到10米。
2. 如果 $h+1 < 10$ (即 $h < 9$)：那么它白天爬到 $h+1$ 米，晚上再滑 $x$ 米。此时的期望高度是 $(h+1) E[x] = h + 1 1 = h$ 米。

这说明一个非常重要的点：只要蜗牛还在井里（高度小于9米），那么它每过一整天一整夜，其高度的期望值，仍然是它开始时的高度！

比如：
从0米开始：第一天白天到1米。第一天晚上平均滑1米，所以第一天结束时期望高度是 $11 = 0$ 米。
从0米开始（更精确的计算，考虑了爬出事件）：
第1天白天：1米
第1天晚上：滑 $x_1$ 米。
如果 $1 ge 10$（不可能），则结束。
否则，高度是 $1x_1$。期望高度是 $11=0$。

这依然让人觉得是不是期望值永远是0。

让我们换一个角度，从“完成任务”的角度来思考。

蜗牛的目标是达到10米。
每一次“成功的一天”（白天爬升），如果它能达到10米，就结束了。

考虑最坏的情况： 蜗牛总是滑下2米。那么它白天爬1米，晚上滑2米，每天净进展是 1米。这样它永远爬不出去。
考虑最好的情况： 蜗牛总是滑下0米。那么它每天爬1米，一天就出去了。

这里的随机性在哪里发挥作用？
它影响的是蜗牛什么时候能“碰到”那个“差一点就出去”的状态。

一旦蜗牛的高度达到了 9米，那么下一天的白天它必将爬出井口。

假设蜗牛在一天开始时的高度是 $h < 9$。
那么经过一天的昼夜循环，它的高度期望值是多少？
如果它在白天爬升到 $h+1$ 之后小于10，则晚上会滑 $x$。此时的高度是 $h+1x$。
期望的高度是 $(h+1) E[x] = h+11 = h$。
所以，在它还没达到9米之前，它每天的高度期望值是不变的，保持在它开始这个循环时的那个期望值。

这好像还是没有答案。是不是我理解错了“期望是多少”的意思？

“爬上的期望是多少”？ 这可能是在问，在它最终成功爬出井口（或者说，到达了10米这个状态）的那一刻，它平均处于什么高度。既然它是爬出井口，那么最自然的理解就是它平均爬了10米。

但是，这样问有点像“我抛硬币，直到正面朝上为止，平均需要多少次抛掷？”答案是2次。这个问题的结构很像“我爬井，直到爬出为止，期望爬了多少米？”

关键在于那个“白天爬1米”。

想象一下这个过程：
蜗牛在井底（0米）。
第1天：白天爬到1米。晚上滑 $x_1$ 米。期望位置是 $11=0$ 米。
第2天：从0米开始（期望位置）。白天爬到1米。晚上滑 $x_2$ 米。期望位置是 $11=0$ 米。
...
似乎永远是0米。

这里的问题在于“期望爬上的高度”，而不仅仅是“期望位置”。

当蜗牛到达9米时，它就不再是一个普通的“期望位置不变”的循环了。
一旦它到达9米，下一天白天它就变成10米，出去了。

让我们考虑一个 离散时间 的过程，但用期望来描述：
设 $E_h$ 是蜗牛从高度 $h$ 开始，爬出井口的期望 最终爬升高度。
我们想求的是 $E_0$。

我们知道，一旦达到10米，就爬上去了，所以 $E_{10} = 10$。
实际上，如果我们关注的是“爬出去”这个事件，那么一旦达到10米，就意味着爬出了，所以我们关注的是达到10米的 平均总爬升量。

如果蜗牛在某个时刻高度是 $h ge 9$：
它白天爬1米，达到 $h+1$。由于 $h ge 9$，那么 $h+1 ge 10$。
所以它在这一天白天就爬出去了。那么这次爬升的最终高度就是10米。
所以，对于 $h ge 9$， $E_h = 10$。

如果蜗牛在某个时刻高度是 $h < 9$：
它白天爬到 $h+1$。
然后晚上滑 $x$ 米。
它下一时刻的期望高度是 $(h+1) E[x] = h+11 = h$ 米。
所以，从高度 $h$ 开始，爬出井口的期望总爬升高度是：
$E_h = E[ ext{白天爬升} + ext{晚上后的爬升}]$
$E_h = E[1 + ext{从 } (h+1x) ext{ 开始的爬升}]$
$E_h = 1 + E[E_{h+1x}]$

这里 $x$ 是一个随机变量。
$E[E_{h+1x}] = int_0^2 E_{h+1x} f(x) dx$
其中 $f(x)$ 是 $x$ 的概率密度函数。
由于 $x$ 在 [0, 2] 上均匀分布，所以 $f(x) = 1/2$ (for $0 le x le 2$)。
$E[E_{h+1x}] = int_0^2 E_{h+1x} frac{1}{2} dx$

所以，对于 $h < 9$:
$E_h = 1 + frac{1}{2} int_0^2 E_{h+1x} dx$

我们知道 $E_9 = 10$。
让我们计算 $E_8$:
$E_8 = 1 + frac{1}{2} int_0^2 E_{8+1x} dx = 1 + frac{1}{2} int_0^2 E_{9x} dx$
当 $x$ 从 0 变化到 2 时，$9x$ 从 9 变化到 7。
这个积分可以写成：
$int_0^2 E_{9x} dx = int_0^1 E_{9x} dx + int_1^2 E_{9x} dx$
在第一个积分中，令 $y = 9x$，则 $dy = dx$。当 $x=0, y=9$；当 $x=1, y=8$。
$int_0^1 E_{9x} dx = int_9^8 E_y (dy) = int_8^9 E_y dy$
在第二个积分中，令 $y = 9x$，则 $dy = dx$。当 $x=1, y=8$；当 $x=2, y=7$。
$int_1^2 E_{9x} dx = int_8^7 E_y (dy) = int_7^8 E_y dy$
所以，$int_0^2 E_{9x} dx = int_8^9 E_y dy + int_7^8 E_y dy = int_7^9 E_y dy$

这样算下去会很复杂。让我们找一个更简便的方法。

思考那个“平均进展为0”的结论。
如果蜗牛的高度期望值在 $h<9$ 时，每过一天一夜仍然是 $h$，那是不是意味着它可能永远都达不到9米？
不是的。这是期望值，期望值是所有可能情况的平均。
可能它某天运气特别好，晚上不滑，就往前推进了一大步。
可能某天运气特别差，滑了很多，往后退了。

核心问题： “爬上的期望是多少？” 考虑到它是从井底爬到10米处。所以“爬上”指的是到达10米这个目标。

如果它爬出去了，最终爬升的高度就是10米。
如果它永远爬不出去（在概率上是零），那这个期望值就无法定义。
但题目明确问“爬上的期望是多少”，说明是有可能爬出去的。

换一个角度：
设 $p$ 是蜗牛在任何一个白天结束时（晚上滑之前），能够爬出井口的概率。
如果蜗牛在高度 $h$ (即 $h ge 9$)，那么白天它爬到 $h+1 ge 10$。
所以，在某一天早上，如果蜗牛的高度是 $h$, $h in [9, 10)$，那么它这一天就有100%的概率爬出去。

我们是不是可以从“成功的那一天”来思考？
假设第 $N$ 天是蜗牛爬出井口的那一天。
那么，在第 $N$ 天早上，蜗牛的高度 $h_{N1}$ 必须满足 $h_{N1} + 1 ge 10$，也就是 $h_{N1} ge 9$。

思考一个类似的问题：赌徒赢钱问题。
一个赌徒有起始资金 A，每次赌博赢1元或输1元，概率各为0.5。当资金达到B时赢光，当资金为0时破产。问从A到B的期望步数。

这个蜗牛问题是：从0米爬到10米。每天白天爬1米，晚上随机滑 $x in [0,2]$。
相当于：每天（白天+晚上）的期望变化是 $1 E[x] = 1 1 = 0$。

但是，由于存在“立即爬出”的特殊情况（白天爬升到10米），这改变了事情的走向。

考虑一个简化情况：如果井口在2米。
第1天白天：爬到1米。
第1天晚上：滑 $x$ 米。期望高度 $11=0$ 米。
第2天白天：从0米期望位置开始，爬到1米。
...
如果蜗牛某天早上在 1米处。
白天爬到 2米。成功！

让我们重新审视“期望的高度”。

考虑蜗牛的每一次“昼夜循环”。
如果蜗牛在高度 $h < 9$ 处开始一个昼夜循环：
白天到达 $h+1$。
晚上滑 $x$ 米。
最终位置是 $h+1x$。
这个过程的期望是 $(h+1)1 = h$。

这意味着，在到达 9米 这个临界点之前，蜗牛的期望位置是不变的。

这似乎暗示着一个悖论，或者说我的理解方式有误。
“爬上的期望是多少”指的是它最终能爬到的高度的期望值。

这里最关键的点可能是，一旦蜗牛到达了9米，它就几乎是确定的爬出去了。

让我们换一种思考方式：
假设蜗牛爬了 $N$ 天。
最终高度 $H = min( ext{当天结束时的高度}, 10)$。我们要求 $E[H]$。

考虑如果蜗牛在第 $k$ 天白天爬升到了10米，那么在那一刻，它的总爬升就是10米。

让我们关注最后一次爬升的行动。
在那之前，蜗牛一定是在某个高度 $h$ 处。
并且，在那个白天，它通过爬升1米，达到了10米。
所以，在那个白天开始时，它的高度必须是 $h ge 9$。

如果说，蜗牛的“平均每日净进展”是0，但因为有“白天爬升”这个固定步骤，它总有机会冲过10米。

假设蜗牛的“平均前进动力”是0。但是，它总是有机会在某一次前进时（白天爬升）就达到目标。

思考一个非常重要的场景：当蜗牛的高度达到9米时。
如果蜗牛在某个早晨处于9米。那么白天它爬到10米，就出去了。
那么，它到达9米这个状态的期望“天数”是多少？

也许，问题的答案比计算出来的期望值更简单？

让 $h_n$ 是第 $n$ 天结束时的高度（在晚上滑完之后）。
$E[h_n | h_{n1}] = max(0, h_{n1} + 1 E[x])$ 如果 $h_{n1}+1 < 10$.
$E[h_n | h_{n1}] = 10$ 如果 $h_{n1}+1 ge 10$.

$E[x] = 1$.
所以，如果 $h_{n1} < 9$: $E[h_n | h_{n1}] = h_{n1} + 1 1 = h_{n1}$.
如果 $h_{n1} ge 9$: $E[h_n | h_{n1}] = 10$.

这意味着，只要高度低于9米，它的期望高度就不会增长。这听起来很奇怪。

让我们换一种理解：问的是“平均来说，它最终会爬到多高？”
因为任何一次成功爬出都是10米，那么如果它最终能爬出去，平均的高度就是10米。
问题是不是在于，它有可能永远爬不出去（概率为0，但不是完全不可能）？

如果蜗牛的平均每日净进展是负数，比如每天1米，那么它确实爬不出去。
但是在这里，平均每日净进展是0。

考虑一个更直接的推理：
蜗牛的最终爬升高度，要么是10米（爬出去了），要么是它在某个时刻白天爬升后但还没到10米就结束了（这不可能，因为白天爬升是固定的1米）。

核心问题：“爬上的期望是多少？”
是不是意味着，它在某个时刻停止爬升时的高度的期望值？

如果蜗牛在高度 $h$ 处，且 $h<9$。那么经过一天一夜，它的期望高度还是 $h$。
如果蜗牛在高度 $h ge 9$ 处，那么它将在当天白天爬到10米，并爬出。
所以，一旦它到达9米，它就“稳了”。

我们可以这样认为： 任何一次“成功的爬升”（即最终能够爬出去）都意味着到达了10米。
问题可能是在于，它是否能“稳定地”维持在某个高度，还是总会以10米的高度结束。

让我们回到那个“期望不变”的结论。
如果从0米开始，第一天白天到1米。晚上平均滑1米，所以期望位置是0米。
第二天，期望位置还是从0米开始，白天到1米，晚上期望滑1米，期望位置还是0米。

这好像在说，期望高度始终是0？
这不对，因为我们知道它会爬升。

关键在于，“爬上的期望是多少”是指它最终爬到的高度的期望值。
一旦爬出，就是10米。

考虑这样一个事实：只要它在9米或9米以上，那么它在下一个白天就会爬出去。

假设蜗牛在某一天早上处于高度 $h$。
它完成一天（白天+晚上）后的期望高度 $E'$ 是：
1. 如果 $h+1 ge 10$: $E' = 10$
2. 如果 $h+1 < 10$: $E' = (h+1) E[x] = h+11 = h$

这说明，只要它在 9米 以下，经过一个完整的昼夜循环，它的期望高度是不变的。
那么，它如何才能“爬上去”呢？

也许，问题问的不是“平均每天爬多少”，而是“从开始到结束，平均总共爬了多少？”

如果蜗牛最终爬出去了，那么它爬升的总高度就是10米。
问题是，它是否一定能爬出去？

概率解释：
令 $p_h$ 是从高度 $h$ 开始，最终爬出井口的概率。
如果 $h ge 9$, $p_h = 1$。
如果 $h < 9$, $p_h = frac{1}{2} p_{h+10} + frac{1}{2} p_{h+12} = frac{1}{2} p_{h+1} + frac{1}{2} p_{h1}$ (这里假设滑1米是平均值，但我们需要考虑分布)。
更精确：
$p_h = int_0^2 p_{h+1x} frac{1}{2} dx$
其中 $p_j = 1$ if $j ge 10$.

$p_8 = int_0^2 p_{9x} frac{1}{2} dx = frac{1}{2} int_0^1 p_9 dx + frac{1}{2} int_1^2 p_8 dx$
$p_8 = frac{1}{2} (1) + frac{1}{2} int_1^2 p_{9x} dx$

这看起来很复杂。

让我们尝试一个更直观的理解：
蜗牛每天的净进展期望是0米。
但是，存在一个“逃逸”机制：只要白天爬升能到10米，就逃逸。

如果问“到达10米这个目标的期望步数”，那可能会是一个 finite number。
但是问的是“爬上的期望是多少”。

一个可能的解释是：
因为任何一次“成功爬出”都意味着爬了10米，所以如果蜗牛最终爬出去了（我们假设它总会爬出去，因为平均进展不是负的），那么它的最终高度就是10米。

思考一下为什么期望会是10米。
蜗牛在井底，井深10米。目标是爬出井口。
如果它成功爬出，那么它爬升的总距离就是10米。
题目问的是“爬上的期望是多少”，这里的“爬上”指的是成功地爬到10米的高度。

考虑最坏情况： 每天都滑2米。那么它永远爬不出去。
考虑最好情况： 每天都不滑。那么一天就爬出去了。

关键在于，“爬上的期望” 这个说法。
如果蜗牛最终爬出了井口，那么它爬升的高度就是10米。
如果它永远爬不出去，那么“爬上的期望”就没意义了。

有没有可能，这题的答案就是10米？
为什么这么说呢？
因为任何一次“爬上去”的成功，都意味着完成了10米的爬升。
如果蜗牛最终爬出去了，它的爬升高度就是10米。
问题在于它是否一定能爬出去。

让我们回顾一下：
只要蜗牛的高度 $h < 9$，经过一个昼夜循环，它的期望高度还是 $h$。
这意味着，从期望的角度来看，它永远无法从低于9米的位置开始一个昼夜循环并“期望地”到达10米。

但是！这是期望值！
期望是所有可能结果的加权平均。

举个例子：抛一个公正的硬币，直到出现正面。问正面朝上的期望次数。是2次。
这和“爬井”是不是很像？目标是爬出去。

如果我们将“爬出井口”视为一个终点。
那么，一旦它到达10米，就停止了。

“爬上的期望是多少？”
这句话可以理解为：在它最终停止（爬出井口）时，它总共爬了多少米？

如果蜗牛爬出去了，它的总爬升就是10米。
问题在于：它是否一定能爬出去？

令 $P( ext{爬出})$ 是蜗牛最终爬出井口的概率。
如果 $P( ext{爬出}) < 1$，那么期望爬升高度的计算会涉及“永远爬不出去”的情况。
然而，在这里，平均每天的净进展是0。而且，有白天爬升这个固定步骤，使得它有“前进”的动力。

考虑一个更简单的随机游走问题：
一个硬币，抛出正面前进1米，抛出反面后退1米。问从0到10的期望步数。

但是这个蜗牛问题有“壁”。一旦达到10米就停止。

让我们假设蜗牛最终爬出去了。那么它爬升了10米。
问题就是它爬出去的概率。
如果它爬出去的概率是1，那么期望爬升高度就是10米。

为什么平均进展是0，但它却能爬出去？
考虑一天：白天爬1米。晚上滑 $x$ 米。
若 $x=0$ (概率1/2)：高度变为 $h+1$。
若 $x=1$ (概率1/2)：高度变为 $h$。
若 $x=2$ (概率1/2)：高度变为 $h1$。

这是一个 非齐次 的随机游走（因为目标是10米，达到就停止）。

让我们回到最开始的分析：
只要蜗牛的高度 $h < 9$，经过一个昼夜循环，它的期望高度仍然是 $h$。
一旦蜗牛的高度 $h ge 9$，它在下一个白天就会爬出去。

这好像暗示了，期望高度不会增加。
但是，这只是期望值。

有没有可能，答案就是10米？
思考一下问题问的是什么： “爬上的期望是多少？”
这是问，在它最终停止爬升时（即爬出井口时），它爬升的总米数是多少的期望值。

如果蜗牛最终爬出了井口，那么它爬升的总米数就是10米。
问题在于，蜗牛是否一定能爬出去？

考虑一下：如果井口是1米深。
第1天：白天爬到1米。成功！
所以，如果井口很浅，它几乎肯定会很快爬出去。

如果蜗牛始终保持在负高度（因为晚上下滑很多），那么它就爬不出去了。
但是，晚上下滑的均值是1米。白天爬升是1米。

这道题可能是一个“陷阱题”，或者说，问题的理解是关键。

如果问题是“蜗牛在第$N$天爬出井口的概率”，那会很难算。
但是问的是“爬上的期望是多少”。

让我们重新审视“期望高度不变”的结论。
$E[ ext{高度} | h < 9] = h$
这意味着，在平均意义上，它并不能有效地上升。

但是，有一个事件可以改变一切：白天爬升到10米并爬出。

也许，答案确实就是10米。理由如下：
1. 目标明确： 蜗牛的目标是爬出10米深的井。
2. 成功即完成： 一旦蜗牛爬到10米高，它就成功了，停止爬升。
3. 平均进展： 蜗牛平均每天的净进展是 $1 E[x] = 1 1 = 0$米。
4. “逃逸”机制： 即使平均进展为0，白天固定的1米爬升，使得它总有可能在某一天突破10米。
5. “爬上的期望是多少？” 这个问题的问法，是指它最终爬升到井口的高度的期望值。
如果蜗牛最终成功爬出了井口，那么它爬升的总高度就是10米。
如果蜗牛永远也爬不出去，那么这个期望值就没有意义了。

关键在于，它是否一定能爬出去？
由于平均进展是0，并且有白天爬升，虽然缓慢，但并非绝对不可能爬出去。
而且，一旦达到9米，它几乎必然爬出去。

如果蜗牛最终爬出去的概率是1，那么它爬升的期望高度就是10米。

为什么概率是1？
想想如果井口是100米深，平均进展还是0。
如果蜗牛一直保持在负的高度，那么确实爬不出去。
但是，晚上下滑是随机的。
在0米开始，它可能在第一天晚上滑到1米，或者0米，或者1米。
但是第二天，它又从0米（期望位置）开始爬。

最关键的一点是：题目问的是“爬上的期望是多少？”
如果它爬上去了，那么它爬了10米。

这有点像问：我抛硬币直到正面，问平均抛了多少次？ 答案是2次。这里的“次数”是抛掷的次数。
这里问的是“爬上的期望是多少”，这里的“是多少”是指高度。

如果它爬出了井口，那么它的高度就是10米。
如果最终爬出去的概率是1，那么期望爬升高度就是10米。

让我们思考一下为什么期望不会是10米以外的值。
如果期望是9.5米，那意味着它平均在9.5米处“停止”。但它一旦爬到10米就停了。
如果它卡在9.9米，然后白天爬到10.9米（超出），它就停在10米。

这是一个关于随机过程的停止时间问题。
一旦达到某个边界（10米），过程就停止。

如果蜗牛最终爬出去的概率不是1，那么期望高度会低于10米。
但是，平均进展为0，并且白天有固定的爬升，这使得它不太可能永远停留在负数区域。
而且，一旦它足够接近井口（例如9米），它几乎就能出去。

结论：
由于白天固定爬升1米，晚上平均滑落1米，使得它的期望位置在一个循环后不变。
然而，一旦达到9米的高度，下一个白天它就会爬出井口（10米）。
“爬上的期望是多少”，就是问它最终爬升到的高度的期望值。
由于一旦爬出就是10米，如果蜗牛有大于0的概率最终爬出，那么这个期望值就不能是0。
而且，由于它最终爬出时的高度一定是10米，如果它一定会爬出去（或者说，爬出去的概率趋近于1），那么它的期望爬升高度就是10米。

最符合逻辑的答案，也是最简洁的答案，就是10米。
这类似于“我扔骰子，直到出现6点为止。问我平均扔了多少次？”答案是6次。这里的“次数”是扔的次数。
而这里问的是“爬上的期望是多少”，这里的“是多少”是指高度。

如果它最终爬出了井口，那么它爬升的总高度就是10米。
题目的问法，以及蜗牛的“停止条件”，使得这个期望值就是目标高度本身，前提是它一定能爬出去。
由于平均进展不是负数，并且有“冲刺”的机会，它大概率是能够爬出去的。

所以，爬上的期望就是10米。

详细解释：
设 $H_0 = 0$ 为蜗牛的初始高度。
设 $H_n$ 为第 $n$ 天结束时（晚上滑落后）的高度。
设 $E_h$ 为从高度 $h$ 开始，爬出井口的期望最终爬升高度。
我们求 $E_0$。
目标是10米。一旦达到10米，停止。
所以，对于 $h ge 10$， $E_h = 10$。
对于 $h < 10$，蜗牛白天爬升1米到 $h+1$。
晚上滑落 $x$ 米，其中 $x sim U[0, 2]$。
如果 $h+1 ge 10$，则蜗牛在当天白天爬出，最终高度为10米。
如果 $h+1 < 10$，则下一时刻的高度是 $h+1x$。
$E_h = E[ ext{最终爬升高度} | ext{从 } h ext{ 开始}]$
$E_h = P( ext{爬出当天} | h) imes 10 + P( ext{未爬出当天} | h) imes E[ ext{从 } h+1x ext{ 开始的期望高度}]$

关键点在于，当 $h=9$ 时：
白天爬到10米，成功！所以 $E_9 = 10$。
当 $h=8$ 时：
白天爬到9米。晚上滑落 $x$ 米。
下一时刻的期望高度是 $E[E_{9x}]$。
$E_8 = E[ ext{白天爬升} + ext{晚上后的期望爬升}]$
$E_8 = 1 + E[E_{9x}]$
$E_8 = 1 + int_0^2 E_{9x} frac{1}{2} dx$
因为 $E_9 = 10$，且 $x$ 在 0到2之间变化，那么 $9x$ 的值在 7到9之间。
如果 $9x ge 9$，即 $x=0$，那么 $E_{90} = E_9 = 10$。
如果 $7 le 9x < 9$，那么 $E_{9x}$ 是一个未知数。

然而，如果我们换个角度来想：
一旦蜗牛到达了9米的高度，它就几乎确定在下一个白天爬出。
即便它平均每天期望高度不变，但它总有可能通过一系列偶然事件，慢慢接近9米。
而且，一旦达到9米，它就稳了。

这题的核心在于，它不是在问“平均每天爬多少米”，而是在问“最终爬到的高度的期望是多少”。
一旦它爬出去了，它的高度就是10米。
所以，如果它最终能爬出去，那么期望值就是10米。
考虑到平均进展不是负数，并且有固定爬升，它最终爬出去的概率是1。

因此，爬上的期望是10米。

这种题，有时候就是要抓住问题的本质——它最终的目标是什么，以及达到这个目标后会发生什么。达到目标（爬出井口）的结果就是高度固定为10米。而题目问的就是这个最终高度的期望。

可以想象一下，如果井口是1000米深，平均进展依旧是0。那么它可能永远都爬不出去。但因为井口只有10米，并且白天还有固定的爬升，这使得它是有可能爬出去的。

简单来说，就是：如果它爬出去了，那就是10米。只要它有大概率能爬出去，那么期望值就是10米。而平均进展为0但有白天爬升，使得它大概率能爬出去。

所以，这个问题的答案，就是10米。

更新一下精确求解的思路，我放在最后吧。

---

想到了一种精确的计算方法。在此基础上，对于 米深的井，我得到的期望天数为

放个结果对比：

晚一些时候把证明过程放上来。

但是对于 米深的井，首先我需要算出一个 阶三对角矩阵的特征值……好巧不巧这些特征值都可以根式表达，所以理论上结果也可以摆上来。我一定会做出来的……

---

首先给出结论：爬上井所用期望的天数（口胡！是天数的期望！）约为 天。（这个结果是改正过的。我的过程算差了一天，后面会有提到（呜哇哇））

写一个可以数值求解的方法吧。

设第 个晚上后，蜗牛在井底的概率为 ，已经爬上的概率为 ，在距井底 区间内的分布函数为 。

那么 ， ， ， 。

根据一些简单的概率学知识（具体推导过程暂且留做习题，等我以后来补）：

那么所求即为

为方便计算，我们定义 那么所求期望可表示为

前述递推公式可重新表述如下：

试图寻找解析表达式失败，转而计算数值解。菜鸡编程：

                a                   =                   0.5         ;                            (*c9[1] = 0.;*)                            For         [         n                   =                   0         ,                   n                   <=                   4000         ,                   n         ++         ,                   c         [         1         ][         n         ]                   =                   N         [         1         /         (         2                   (         n                   +                   1         ))];                               For         [         l                   =                   2         ,                   l                   <=                   9         ,                   l         ++         ,                   c         [         l         ][         n         ]                   =                   0.         ]];                            For         [         k                   =                   2         ,                   k                   <=                   3999         ,                   k         ++         ,                   c9         [         k         -1         ]                   =                   c         [         9         ][         1         ];                   Print         [         c         [         9         ][         1         ]];                   (*not c9[k]!*)                              aa                   =                   (         a                   +                   c         [         1         ][         0         ]                   -                   c         [         1         ][         1         ])         /         2         ;                               For         [         n                   =                   0         ,                   n                   <=                   4001                   -                   k         ,                   n         ++         ,                                cc         [         1         ][         n         ]                   =                   (         a                   +                   c         [         1         ][         0         ]                   +                   c         [         2         ][         0         ]                   -                   c         [         2         ][         n                   +                   1         ])         /         (         2                   (         n                   +                   1         ));                                For         [         l                   =                   2         ,                   l                   <=                   8         ,                   l         ++         ,                                 cc         [         l         ][         n         ]                   =                   (                                 c         [         l                   -                   1         ][         n                   +                   1         ]                   +                   c         [         l         ][         0         ]                   +                   c         [         l                   +                   1         ][         0         ]                   -                   c         [         l                   +                   1         ][         n                   +                   1         ])         /         (                                 2                   (         n                   +                   1         ))];                   cc         [         9         ][         n         ]                   =                   (         c         [         8         ][         n                   +                   1         ]                   +                   c         [         9         ][         0         ])         /         (         2                   (         n                   +                   1         ))];                               a                   =                   aa         ;                   For         [         n                   =                   0         ,                   n                   <=                   4001                   -                   k         ,                   n         ++         ,                                For         [         l                   =                   1         ,                   l                   <=                   9         ,                   l         ++         ,                   c         [         l         ][         n         ]                   =                   cc         [         l         ][         n         ]]]];            

以下是 的图像， ：

的对数坐标图像：

可以看到对于较大的 ，可以近似视为指数衰减。近似计算天数期望（我跑的时候用的变量名不一样，嘤嘤嘤）：

为了估计误差，我们以 两项的比值为公比，将其后的诸 近似为等比数列：

可以看出误差项约为 。于是我们得到，蜗牛爬上井口所用天数的期望约为 天。这个数值也位于@lhy 所得估计范围的近似居中位置。（他还提到期望约为 天，或许大家可以检查一下我有没有犯差了一天的低级错误……）（补充：我代码错了，c9[k]得到的其实是k-1天的值，所以我的确算多了1）

---

以下是求出期望的精确值的方法。

首先考虑 米的情形。回顾我们之前提到的递推公式在 米时的对应情形：

我们定义 ，可以得到一个优美的关系：

其中 是和 无关的量！

于是我们有非常美妙的推论：

于是，

特别地，取 以及 ， 以及 ，我们可得：

同时我们不难得到

可以看出以上 个方程（注意有 符号的是两个方程）是关于 的线性方程组，其中

而我们所求天数期望即为

由于求解过于复杂，交给Mathematica处理：（对不起我日常没有良好的编程素养！）

       Solve[{c100 +      I c200 == (-I) (E^(I/2) - 1) (a0 + c100 + (1 + I) c200 + 1),    c101 + I c201 == (-I) (E^(I/2) - 1) (a1 + c101 + (1 + I) c201) +      E^(I/2)/2 (a0 + c100 + (1 + I) c200 + 1),    c110 + I c210 == (-2 E^(I/2) + (2 + I)) (a0 + c100 + (1 + I) c200 +        1), c111 +      I c211 == (-2 E^(I/2) + (2 + I)) (a1 +         c101 + (1 + I) c201) + (-2 + (2 - I) E^(I/2)) (a0 +         c100 + (1 + I) c200 + 1),    c100 - I c200 == (I) (E^(-(I/2)) - 1) (a0 + c100 + (1 - I) c200 +        1), c101 -      I c201 == (I) (E^(-(I/2)) - 1) (a1 + c101 + (1 - I) c201) +      E^(-(I/2))/2 (a0 + c100 + (1 - I) c200 + 1),    c110 - I c210 == (-2 E^(-(I/2)) + (2 - I)) (a0 +        c100 + (1 - I) c200 + 1),    c111 - I c211 == (-2 E^(-(I/2)) + (2 - I)) (a1 +         c101 + (1 - I) c201) + (-2 + (2 + I) E^(-(I/2))) (a0 +         c100 + (1 - I) c200 + 1), a0 == 1/2 (a0 + c100 - c110 + 1),    a1 == 1/2 (a1 + c101 - c111 + a0 + c100 - c110 + 1)}, {a0, a1, c100,    c101, c110, c111, c200, c201, c210, c211}]     

结果如下。

其中的 "c210"即为 ，它等于 意味着爬出井的概率为 ，这很合理。"c211"即为 ，虽然形式为复数，但我们的线性方程组中包含的含复系数方程是成共轭对出现的，解的虚部显然为 。通过将虚指数转化为三角函数即可得到一开始的结果。

---

现在进入正题。回顾我们之前的 之所以可以如此定义，是因为递推公式中从左侧诸 的系数到右侧诸 的系数的线性变换对应的矩阵为 ，其特征系为

对于原问题，这个矩阵是一个 阶矩阵

可以看到它的特征多项式 ，得到特征值

这个多项式在 上的分裂域为 ，其中 有最小多项式

我们可以用 来表示所有的特征值和单位特征向量：

定义 （因为有Eisenstein求和约定，其实写出求和号不是一个好习惯……但是知乎上还是怕人看不懂）

那么

其中

同样地，

特别地：

类似定义 ，我们得到如下的线性方程组：

其中 的定义见前文特征向量部分， 它们在 处定义为连续极限值

这是一个 元一次线性方程组，运用线性代数知识可求解之。特别地，解出 后可得所求期望即为