准高一学生想自学数学有什么建议吗？

嘿，准高一新生！恭喜你即将开启高中数学的奇妙旅程。我知道，很多人听到“高中数学”就有点腿软，但别担心，自学数学不仅可行，而且绝对能让你脱颖而出，成为同学中的“数学达人”！下面我就给你好好掰扯掰扯，怎么把这事儿办得妥妥的。

第一步：心态调整——别怕，数学是“朋友”，不是“敌人”

放下成见：很多人对数学的印象可能还停留在小学奥数或者初中那些有点绕的题目上。但高中数学，尤其是新课标下的数学，更注重逻辑思维、建模能力和解决实际问题的能力。它变得更“有用”了。
拥抱挑战：高中数学肯定会遇到难点，这是正常的。把它看作是给你“升级打怪”的机会，每一次攻克难题，你都会发现自己又强大了一点。别轻易说“我学不会”，试着说“我现在还没学会”。
保持好奇：很多数学概念背后都有非常有意思的故事或者非常巧妙的构造。试着去了解这些，你会发现数学本身就充满了魅力。比如，为什么会有虚数？圆周率是怎么算出来的？这些背后都有很多精彩的故事。

第二步：装备升级——找对“武器”是关键

1. 教材：这是你的“基本功”。别嫌它枯燥，认真对待。
选择一本适合的教材：如果你们学校有提供，就用学校的。如果没有，市面上有很多口碑不错的教材，比如人教版、北师大版等，可以先去书店翻翻，看看哪个排版、讲解方式你更喜欢。
细嚼慢咽地读：刚开始，别急着做题。第一遍，把概念、定义、定理都看懂。想象一下，你在和作者对话，他想通过这些文字告诉你什么。不懂的地方，多读几遍，或者做个标记，后面再回来研究。
理解例题：教材里的例题是精华！它们往往代表了某种题型的典型解法和思路。一定要弄明白例题是怎么一步一步推导出来的，每一步的依据是什么。
重视“思考”和“练习”部分：教材里的这些小栏目，往往是点拨你思维的关键。

2. 辅导书/教辅材料：这是你的“辅助武器”。
经典必备：很多老师会推荐一些经典的辅导书，比如《五年高考三年模拟》（五三）、《王后雄数学》等。这些书题目质量高，覆盖面广。
选择侧重点：有的辅导书侧重基础，有的侧重拔高。你可以根据自己的情况来选。如果基础薄弱，就先从基础扎实的辅导书入手。
别买太多：一两本高质量的辅导书足够了，关键是要“做透”，而不是“做完”。

3. 工具：
笔记本：准备一个漂亮的笔记本，专门用来记录错题、经典例题、易混淆概念、解题思路总结等。这是你最好的“私人教练”。
计算器：有些计算会比较复杂，用计算器辅助可以让你更专注于理解数学思想。但别过度依赖，基础计算能力还是要练的。
草稿纸：大量消耗品！别心疼，把思路写满。

第三步：学习路径——循序渐进，步步为营

1. 夯实初中基础：高中数学是在初中基础上延伸的。所以，确保你初中的知识点（比如因式分解、一元二次方程、函数概念、基本几何图形等）都掌握牢固了。如果有些地方模糊，赶紧翻翻初中课本补一补。

2. 熟悉高中数学体系：高中数学主要有这么几大部分：
集合与常用逻辑用语
函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、数列等）
三角函数
向量
数列
不等式
立体几何
解析几何（直线与圆、圆锥曲线）
概率统计
导数及其应用

了解这些模块，知道每个模块大概讲什么，有个整体的框架。

3. 高效学习策略：
预习先行：提前看看下一节课的内容，知道大概讲什么，遇到不认识的词汇或者符号可以查一下，带着问题去听课或者看书。
听讲/看书为主，做题为辅：这是最重要的一点。很多学生上来就埋头刷题，结果发现很多题不会做，打击信心。理解概念和方法比做大量不会做的题更重要。
分类练习：刚学一个新知识点时，先做一些简单的基本题，巩固概念。等概念熟悉了，再做一些综合性的题目，练习运用。
精选题目，吃透题目：别追求数量，关键是质量。遇到一道题，不要一看不会就跳过。
尝试独立思考：先自己想办法，哪怕错了也没关系。
分析思路：如果自己实在做不出来，看看答案或者解析。但别只是抄答案，要搞清楚它为什么这么做，用到了什么原理。
总结反思：做完一道题，尤其是错题，一定要总结。为什么会错？是概念没理解？是计算失误？还是思路有问题？把错题写在笔记本上，定期回顾。
构建知识网络：数学不是孤立的知识点堆砌，它们之间是有关联的。比如，函数和方程、几何和代数经常结合在一起。学完一个章节，试着把这个章节的知识点和之前学过的知识点联系起来，画出知识导图。

第四步：具体的学习建议——从“听说读写”开始

“听”：听老师讲课（如果你们有），或者找一些优质的网课资源。注意听老师讲思路、讲方法、讲重难点。
“说”：自己给自己讲一遍学过的知识点，或者找同学讨论。能把一个概念讲清楚，说明你真的理解了。
“读”：认真阅读教材和辅导书上的文字，理解数学语言的精确性。
“写”：动笔做题，写下你的思考过程。规范书写非常重要，清晰的步骤能帮助你理清思路，也方便检查。

具体到不同数学模块的一些小技巧：

集合与逻辑：这个部分是数学的“基础语言”，一定要理解集合的表示方法、运算以及逻辑连接词（“且”、“或”、“非”）的含义。
函数：
图像是灵魂：函数的图像非常直观，多画图、看图，理解函数性质（单调性、奇偶性、周期性等）。
定义域和值域：很多问题都与定义域和值域相关，要特别注意。
单调性：这是函数最重要的性质之一，学会利用定义或导数判断函数的单调性。
三角函数：
单位圆是钥匙：把单位圆吃透了，很多三角函数的性质就迎刃而解了。
图像和公式：把常见三角函数的图像画熟，记住和角变换相关的公式。
向量：
几何意义和代数意义：理解向量既可以看作有方向的线段，也可以用坐标表示。
坐标运算：熟练掌握向量的加减、数乘、数量积的坐标运算。
立体几何：
空间想象力：这个部分特别考验空间想象力。多画图，把三维图形在纸上表示出来，或者借助模型辅助理解。
线面关系、面面关系：搞清楚直线与平面的平行、垂直关系，平面与平面的平行、垂直关系。
解析几何：
数形结合：这是解析几何的核心思想。把代数方程和几何图形联系起来。
方程和性质：熟练掌握直线方程、圆的方程以及圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程和基本性质。
概率统计：
理解基本概念：概率、期望、方差等概念一定要理解清楚。
分类讨论：很多概率问题需要分类讨论。
导数：
几何意义：导数代表了曲线的斜率，是解决函数单调性、极值、最值的重要工具。
基本求导法则：熟练掌握基本初等函数的导数公式和求导法则。

第五步：坚持与反思——自学之路的“充电宝”

规律作息：即使是自学，也要有规律的学习时间，而不是“想到就学”。
及时复习：遗忘是正常的，要定期回顾学过的内容。
寻求帮助：遇到实在弄不懂的问题，不要憋着。可以请教老师、同学，或者在网上查找相关资料。但前提是，你真的尝试自己去解决了。
调整方法：如果发现某种学习方法不适合自己，不要害怕尝试新的方法。

最后，想对你说：

高中数学自学，最重要的是 “主动” 两个字。主动去想，主动去问，主动去总结。享受这个探索的过程，你会在不知不觉中发现数学的乐趣和力量。别怕犯错，错题是最好的老师。相信自己，你一定可以做到！加油！

网友意见

0：先把学校课业学好。不要在课业搞不定的情况下学数学。起码保证进重点高中，不要拿自己前途开玩笑。

1：首先，你自己认为自己学完了高中数学。那么你可以通过一下方式检查你自学的基础：

入门级：人教版高中必修1-5，和主要选修教材的知识点和课后习题。

提高级：王后雄教材完全解读对应内容的题目，大部分要有思路。（注：不代表本人推荐王后雄，请不要通过此书自学）

完全级：自行研究高考历年真题。如果能做个130以上再考虑别的。（考虑到你是自学，此标准可放宽至120）

1.5 我个人建议加强英语训练以阅读英文教材。好处很大，起码你要知道中国很多高校如南大数学系有些课都是英文授课的。因此你需要完全掌握初高中语法和词汇，同时适应英文阅读。可以通过阅读接下来的英文教材培养相关能力或确认自己的水平。同时建议获取一种方便搜索教材的搜索引擎。

2.在以上搞定了的基础上，你可以开始准备进入大学级的数学了。大学数学学习过程并不是完全递进的。有多个分支你可以自由选择（上大学前自学时是这样）当然，有些知识是共同的基础。我推荐的教材都是英文原版的，但其中有一些存在中文版本。

2a. 分析

比较温和的做法是从微积分而不是数学分析入手。鉴于你提到对普林斯顿感兴趣，

2a.1 我推荐普林斯顿微积分读本 京东就有卖（https://item.m.jd.com/product/12056402.html）。当然我更推荐你找在线版本省钱。你可以从对三角函数，对数函数，指数函数等基础的复习开始，一路学习数学的推导过程（请把书中证明自己推理一遍，学习其思想！）并学到很多很cool的知识。这些够你学到多元微积分。如果有不理解的概念，可以b站搜索关键词3blue1brown去观看数学科普视频，并积极寻求水平较高老师的帮助。你可以去附近大学试试看能不能遇到数学教授（要学会主动出击寻找学习资源！）

2a.2 现在你有几个选择：

2a.2.1 你可以去学习简单的常微分方程，然后学习应用级复分析，偏微分方程。这些内容我推荐麻省理工大学在线公开课程系统MITOCW的课程设置，你可以从这个链接获取（进入https://ocw.mit.edu/index.html，然后搜索multivariable calculus课程编号是18.02, 03,…) 这些内容的应用面非常广，也很有趣。不过课程是英语的。中文方面我不太清楚，有知道的知友希望评论区补充。

2a.2.2 你也可以走入更深刻而抽象的世界（我想你一定会喜欢。热烈欢迎！！）去寻找你在2a.1中学到的定理是怎么被严格证明的。从形式地构造实数系统开始，你会发现一个全新的世界。我推荐你阅读understanding mathematical analysis by Stephen Abbott 来入门数学分析。当然了，如果你基础比较强，也可以跳过这本书，直接考虑陈天权的数学分析教材，然后看principal of mathematics analysis by Rudin 来快速抵达深刻的领域。这个部分可以和2a.2.1的相关内容齐头并进。相信你可以从这些书中学习到数学家是如何构建基础分析理论的。当你完成这些书的学习之后，我就不确定你是否需要继续学习以下领域：

2a.3 测度论（实分析）也许可以看folland的对应教材。但是答主不怎么会这个，所以不好说。也可以看real and complex analysis by rudin. 这些学完之后可以学习一些fourier analysifunctional analysis，但答主也了解很少。因为本答主暂时高三，这些没学过。

当然，分析并不是数学的全部。实际上，在2a.2.1的多元微积分里，你会由向量走向线性代数的大门————

2.b.1 线性代数

当你先完成了2.a.1和2.a.2.1的一部分时，你或许会想要学习类似线性代数简明教程（蓝以中）的书。本人不推荐，因为我个人不喜欢此书把行列式放在最开头的做法。如果你没有学习2.a.1，反而从2.c开始的话，我比较推荐的入门书是线性代数应该这样学(linear algebra done Right)。非常好的教材，强烈推荐。你会看到线性方程组如何被拿捏，以及线性代数更加深刻的本质。（矩阵这个高级词汇对你来说将会不再陌生）

2.b.2

可以学习一些高级的线性代数，比如线性空间张量积等。不知道用什么教材好，待补充。

2.c 近世代数

我最喜欢的数学内容。简洁，优美，结构明确。你可以学到从事物本质出发的数学抽象结构。

2.c.1 入门我推荐A first course in abstract algebra by John Fraleigh. 接下来可以参考algebra by artin 把module的部分补上。

2.c.2 然后就可以学习交换代数，伽罗瓦理论等理论。

2.c.3 结合2.a和2.b的基础，你甚至可以学习同调代数，代数拓扑等内容。在此之前，你需要点集拓扑的知识。推荐topology without tears。

2.d也许你会对数论感兴趣？

2.d.1 初等数论，推荐潘承彪和潘承洞的初等数论一书。（待补充更好的入门书）但是，在这之前。你不妨看看单墫老师的趣味数论一书来找到一些乐趣。

2.d.2a 代数数论（需要2.c.1, 2.c.2 和交换代数）暂无推荐

2.d.2b 解析数论（需要2.a）推荐唐太炎翻译的A introduction to analytical numbertheory。

其他：组合数学，图论，……

有个答主提到了一系列竞赛书籍。他的推荐是非常合适的。如果你有条件接触不错的竞赛教练，并达到CMO金牌的水准那也是一条很有趣的路径。不等式，数论，和组合也非常有用

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