已知 a、b、c 为实数，且三个数的和为 1，平方和也为 1，如何求三个数的立方和的最小值？
这道题确实很有意思，问的是三个实数 $a, b, c$ 的立方和的最小值，并且给定了两个重要的约束条件：$a+b+c=1$ 和 $a^2+b^2+c^2=1$。我们来一步步地把它解开。
1. 理解题目和已知条件
我们有：
$a, b, c in mathbb{R}$ (实数)
$a+b+c = 1$
$a^2+b^2+c^2 = 1$
我们要找的是 $a^3+b^3+c^3$ 的最小值。
2. 利用已知条件进行推导
首先，我们知道一个恒等式：
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$
将已知条件代入：
$1^2 = 1 + 2(ab+bc+ca)$
$1 = 1 + 2(ab+bc+ca)$
$0 = 2(ab+bc+ca)$
所以，$ab+bc+ca = 0$。
这个结果很有用，它告诉我们这三个数之间的两两乘积之和为零。
接下来，我们考虑立方和的公式。有一个比较常用的分解式是：
$a^3+b^3+c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 ab bc ca)$
再次将我们已知和推导出的条件代入：
$a^3+b^3+c^3 3abc = (1)(1 0)$
$a^3+b^3+c^3 3abc = 1$
这样，我们就得到了一个关于立方和的更简洁的表达式：
$a^3+b^3+c^3 = 1 + 3abc$
所以，要求 $a^3+b^3+c^3$ 的最小值，等价于要求 $abc$ 的最小值。
3. 寻找 $abc$ 的最小值
现在问题转化为：在满足 $a+b+c=1$ 和 $a^2+b^2+c^2=1$ 的条件下，如何使 $abc$ 最小。
我们知道，$a, b, c$ 是三个实数，它们可以看作是某个一元三次方程的三根。考虑一个以 $a, b, c$ 为根的多项式：
$P(x) = (xa)(xb)(xc)$
$P(x) = x^3 (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x abc$
将我们已知的信息代入：
$P(x) = x^3 (1)x^2 + (0)x abc$
$P(x) = x^3 x^2 abc$
也就是说，$a, b, c$ 是方程 $x^3 x^2 k = 0$ 的三个实数根，其中 $k=abc$。
为了找到 $abc$ 的最小值，我们需要分析方程 $x^3 x^2 = k$ 的根的情况。我们关注函数 $f(x) = x^3 x^2$ 的图像。
求导数：$f'(x) = 3x^2 2x = x(3x2)$。
令导数为零，找到极值点：
$f'(x) = 0 implies x=0$ 或 $x = frac{2}{3}$。
当 $x=0$ 时，$f(0) = 0^3 0^2 = 0$。
当 $x=frac{2}{3}$ 时，$f(frac{2}{3}) = (frac{2}{3})^3 (frac{2}{3})^2 = frac{8}{27} frac{4}{9} = frac{812}{27} = frac{4}{27}$。
函数 $f(x)$ 的图像大致形状是先上升到极值点 $(0, 0)$，然后下降到极小值点 $(frac{2}{3}, frac{4}{27})$，再继续上升。
要使方程 $x^3 x^2 = k$ 有三个实数根（也就是 $a, b, c$ 都为实数），常数 $k$ 必须位于函数 $f(x)$ 的局部最大值和局部最小值之间（包括边界）。
在这个例子中，局部最大值是 $0$ (在 $x=0$ 处)，局部最小值是 $frac{4}{27}$ (在 $x=frac{2}{3}$ 处)。
因此，$k$ 的取值范围是 $[frac{4}{27}, 0]$。
也就是说，$abc$ 的取值范围是 $[frac{4}{27}, 0]$。
为了使 $a^3+b^3+c^3 = 1 + 3abc$ 最小，我们需要使 $abc$ 最小。
所以，$abc$ 的最小值是 $frac{4}{27}$。
4. 计算最小值
当 $abc = frac{4}{27}$ 时，三个数的立方和为：
$a^3+b^3+c^3 = 1 + 3 imes (frac{4}{27}) = 1 frac{4}{9} = frac{5}{9}$。
5. 验证是否存在这样的三个数
当 $abc = frac{4}{27}$ 时，方程是 $x^3 x^2 + frac{4}{27} = 0$。
我们知道，当 $k$ 取到极值时，方程会有重根。
当 $k = frac{4}{27}$ 时，方程是 $x^3 x^2 + frac{4}{27} = 0$。
我们知道在 $x=frac{2}{3}$ 处有极小值 $frac{4}{27}$，这意味着 $x=frac{2}{3}$ 是这个方程的一个重根。
我们可以验证：
$(frac{2}{3})^3 (frac{2}{3})^2 + frac{4}{27} = frac{8}{27} frac{4}{9} + frac{4}{27} = frac{8 12 + 4}{27} = frac{0}{27} = 0$。
所以 $x=frac{2}{3}$ 是一个根。
由于 $x=frac{2}{3}$ 是一个重根，我们可以用多项式除法来找出另一个根。
$(xfrac{2}{3})^2 = x^2 frac{4}{3}x + frac{4}{9}$
用 $x^3 x^2 + frac{4}{27}$ 除以 $(xfrac{2}{3})^2$：
可以发现，另一个根是 $x = frac{1}{3}$。
（因为三个根的和是 $a+b+c = frac{2}{3} + frac{2}{3} + frac{1}{3} = frac{5}{3}$，这与 $a+b+c=1$ 不符。我们这里的推断需要更谨慎一点。）
让我们换一种思路来找满足条件的三个数。
当 $abc$ 取得最小值 $frac{4}{27}$ 时，三个数是方程 $x^3 x^2 + frac{4}{27} = 0$ 的三个实数根。
我们知道 $f(x)=x^3x^2$ 在 $x=2/3$ 时取到极小值 $4/27$。
这意味着当 $k=4/27$ 时，方程 $x^3x^2=k$ 有一个二重根在 $x=2/3$ 处。
所以，这三个数是 $a=2/3, b=2/3$。
根据 $a+b+c=1$，我们得到 $2/3 + 2/3 + c = 1$，即 $4/3 + c = 1$，所以 $c = 1 4/3 = 1/3$。
我们来验证这组数是否满足所有条件：
$a+b+c = frac{2}{3} + frac{2}{3} + (frac{1}{3}) = frac{4}{3} frac{1}{3} = frac{3}{3} = 1$ (满足)
$a^2+b^2+c^2 = (frac{2}{3})^2 + (frac{2}{3})^2 + (frac{1}{3})^2 = frac{4}{9} + frac{4}{9} + frac{1}{9} = frac{9}{9} = 1$ (满足)
$abc = (frac{2}{3}) imes (frac{2}{3}) imes (frac{1}{3}) = frac{4}{9} imes (frac{1}{3}) = frac{4}{27}$ (满足，是最小值)
此时的立方和为：
$a^3+b^3+c^3 = (frac{2}{3})^3 + (frac{2}{3})^3 + (frac{1}{3})^3 = frac{8}{27} + frac{8}{27} + (frac{1}{27}) = frac{161}{27} = frac{15}{27} = frac{5}{9}$。
这与我们之前计算的 $1+3abc = 1 + 3(frac{4}{27}) = 1 frac{4}{9} = frac{5}{9}$ 结果一致。
6. 另一种思考方式：使用参数方程（几何直观）
我们知道 $a+b+c=1$ 和 $a^2+b^2+c^2=1$。
第一个方程 $a+b+c=1$ 表示一个通过 $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ 三点的平面。
第二个方程 $a^2+b^2+c^2=1$ 表示以原点为中心，半径为 1 的球面。
这两个条件的交集是一个圆。这个圆在上述平面上，并且与球面的交集是存在的。
我们可以利用一些几何上的参数化方法，但直接用代数方法更直接。
7. 另一种代数方法：利用已知条件限制变量
我们知道 $ab+bc+ca=0$。
我们可以从 $a+b+c=1$ 中消去一个变量，例如 $c = 1ab$。
代入 $ab+bc+ca=0$:
$ab + b(1ab) + (1ab)a = 0$
$ab + b ab b^2 + a a^2 ab = 0$
$a + b a^2 b^2 ab = 0$
我们要求的是 $a^3+b^3+c^3 = 1+3abc$ 的最小值，也就是 $abc$ 的最小值。
将 $c=1ab$ 代入 $abc$:
$abc = ab(1ab) = ab a^2b ab^2$
这看起来有点复杂，需要从 $a+ba^2b^2ab=0$ 中找到 $aba^2bab^2$ 的最小值。
让我们回到 $x^3x^2k=0$ 的思路，这是最清晰的方法。
关键是理解，当三个实数根存在时，常数项 $k$ 的取值范围是由函数的极值决定的。
总结一下整个推导过程：
1. 从已知条件 $a+b+c=1$ 和 $a^2+b^2+c^2=1$ 推导出 $ab+bc+ca=0$。
2. 利用恒等式 $a^3+b^3+c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 (ab+bc+ca))$，得到 $a^3+b^3+c^3 = 1 + 3abc$。
3. 将问题转化为求解 $abc$ 的最小值。
4. 认识到 $a, b, c$ 是方程 $x^3 (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x abc = 0$，即 $x^3 x^2 abc = 0$ 的三个实数根。设 $k=abc$，方程为 $x^3 x^2 = k$。
5. 分析函数 $f(x) = x^3 x^2$ 的图像，找到其极值点。导数 $f'(x) = 3x^2 2x$ 在 $x=0$ 和 $x=2/3$ 处为零。极值分别为 $f(0)=0$ 和 $f(2/3)=4/27$。
6. 为了保证方程有三个实数根，常数 $k$ 的取值范围必须在极值之间，即 $k in [4/27, 0]$。
7. 因此，$abc$ 的最小值为 $4/27$。
8. 将最小的 $abc$ 值代入立方和的表达式：$a^3+b^3+c^3 = 1 + 3(frac{4}{27}) = 1 frac{4}{9} = frac{5}{9}$。
9. 最后，通过找到具体的三个数 $(2/3, 2/3, 1/3)$ 来验证这个最小值是可以达到的。
所以，三个数的立方和的最小值为 $frac{5}{9}$。
1. 理解题目和已知条件
我们有：
$a, b, c in mathbb{R}$ (实数)
$a+b+c = 1$
$a^2+b^2+c^2 = 1$
我们要找的是 $a^3+b^3+c^3$ 的最小值。
2. 利用已知条件进行推导
首先，我们知道一个恒等式：
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$
将已知条件代入：
$1^2 = 1 + 2(ab+bc+ca)$
$1 = 1 + 2(ab+bc+ca)$
$0 = 2(ab+bc+ca)$
所以，$ab+bc+ca = 0$。
这个结果很有用，它告诉我们这三个数之间的两两乘积之和为零。
接下来，我们考虑立方和的公式。有一个比较常用的分解式是：
$a^3+b^3+c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 ab bc ca)$
再次将我们已知和推导出的条件代入：
$a^3+b^3+c^3 3abc = (1)(1 0)$
$a^3+b^3+c^3 3abc = 1$
这样，我们就得到了一个关于立方和的更简洁的表达式：
$a^3+b^3+c^3 = 1 + 3abc$
所以，要求 $a^3+b^3+c^3$ 的最小值，等价于要求 $abc$ 的最小值。
3. 寻找 $abc$ 的最小值
现在问题转化为：在满足 $a+b+c=1$ 和 $a^2+b^2+c^2=1$ 的条件下，如何使 $abc$ 最小。
我们知道，$a, b, c$ 是三个实数，它们可以看作是某个一元三次方程的三根。考虑一个以 $a, b, c$ 为根的多项式：
$P(x) = (xa)(xb)(xc)$
$P(x) = x^3 (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x abc$
将我们已知的信息代入：
$P(x) = x^3 (1)x^2 + (0)x abc$
$P(x) = x^3 x^2 abc$
也就是说，$a, b, c$ 是方程 $x^3 x^2 k = 0$ 的三个实数根，其中 $k=abc$。
为了找到 $abc$ 的最小值，我们需要分析方程 $x^3 x^2 = k$ 的根的情况。我们关注函数 $f(x) = x^3 x^2$ 的图像。
求导数：$f'(x) = 3x^2 2x = x(3x2)$。
令导数为零，找到极值点：
$f'(x) = 0 implies x=0$ 或 $x = frac{2}{3}$。
当 $x=0$ 时，$f(0) = 0^3 0^2 = 0$。
当 $x=frac{2}{3}$ 时，$f(frac{2}{3}) = (frac{2}{3})^3 (frac{2}{3})^2 = frac{8}{27} frac{4}{9} = frac{812}{27} = frac{4}{27}$。
函数 $f(x)$ 的图像大致形状是先上升到极值点 $(0, 0)$，然后下降到极小值点 $(frac{2}{3}, frac{4}{27})$，再继续上升。
要使方程 $x^3 x^2 = k$ 有三个实数根（也就是 $a, b, c$ 都为实数），常数 $k$ 必须位于函数 $f(x)$ 的局部最大值和局部最小值之间（包括边界）。
在这个例子中，局部最大值是 $0$ (在 $x=0$ 处)，局部最小值是 $frac{4}{27}$ (在 $x=frac{2}{3}$ 处)。
因此，$k$ 的取值范围是 $[frac{4}{27}, 0]$。
也就是说，$abc$ 的取值范围是 $[frac{4}{27}, 0]$。
为了使 $a^3+b^3+c^3 = 1 + 3abc$ 最小，我们需要使 $abc$ 最小。
所以，$abc$ 的最小值是 $frac{4}{27}$。
4. 计算最小值
当 $abc = frac{4}{27}$ 时，三个数的立方和为：
$a^3+b^3+c^3 = 1 + 3 imes (frac{4}{27}) = 1 frac{4}{9} = frac{5}{9}$。
5. 验证是否存在这样的三个数
当 $abc = frac{4}{27}$ 时，方程是 $x^3 x^2 + frac{4}{27} = 0$。
我们知道，当 $k$ 取到极值时，方程会有重根。
当 $k = frac{4}{27}$ 时，方程是 $x^3 x^2 + frac{4}{27} = 0$。
我们知道在 $x=frac{2}{3}$ 处有极小值 $frac{4}{27}$，这意味着 $x=frac{2}{3}$ 是这个方程的一个重根。
我们可以验证：
$(frac{2}{3})^3 (frac{2}{3})^2 + frac{4}{27} = frac{8}{27} frac{4}{9} + frac{4}{27} = frac{8 12 + 4}{27} = frac{0}{27} = 0$。
所以 $x=frac{2}{3}$ 是一个根。
由于 $x=frac{2}{3}$ 是一个重根，我们可以用多项式除法来找出另一个根。
$(xfrac{2}{3})^2 = x^2 frac{4}{3}x + frac{4}{9}$
用 $x^3 x^2 + frac{4}{27}$ 除以 $(xfrac{2}{3})^2$：
可以发现，另一个根是 $x = frac{1}{3}$。
（因为三个根的和是 $a+b+c = frac{2}{3} + frac{2}{3} + frac{1}{3} = frac{5}{3}$，这与 $a+b+c=1$ 不符。我们这里的推断需要更谨慎一点。）
让我们换一种思路来找满足条件的三个数。
当 $abc$ 取得最小值 $frac{4}{27}$ 时，三个数是方程 $x^3 x^2 + frac{4}{27} = 0$ 的三个实数根。
我们知道 $f(x)=x^3x^2$ 在 $x=2/3$ 时取到极小值 $4/27$。
这意味着当 $k=4/27$ 时，方程 $x^3x^2=k$ 有一个二重根在 $x=2/3$ 处。
所以，这三个数是 $a=2/3, b=2/3$。
根据 $a+b+c=1$，我们得到 $2/3 + 2/3 + c = 1$，即 $4/3 + c = 1$，所以 $c = 1 4/3 = 1/3$。
我们来验证这组数是否满足所有条件：
$a+b+c = frac{2}{3} + frac{2}{3} + (frac{1}{3}) = frac{4}{3} frac{1}{3} = frac{3}{3} = 1$ (满足)
$a^2+b^2+c^2 = (frac{2}{3})^2 + (frac{2}{3})^2 + (frac{1}{3})^2 = frac{4}{9} + frac{4}{9} + frac{1}{9} = frac{9}{9} = 1$ (满足)
$abc = (frac{2}{3}) imes (frac{2}{3}) imes (frac{1}{3}) = frac{4}{9} imes (frac{1}{3}) = frac{4}{27}$ (满足，是最小值)
此时的立方和为：
$a^3+b^3+c^3 = (frac{2}{3})^3 + (frac{2}{3})^3 + (frac{1}{3})^3 = frac{8}{27} + frac{8}{27} + (frac{1}{27}) = frac{161}{27} = frac{15}{27} = frac{5}{9}$。
这与我们之前计算的 $1+3abc = 1 + 3(frac{4}{27}) = 1 frac{4}{9} = frac{5}{9}$ 结果一致。
6. 另一种思考方式：使用参数方程（几何直观）
我们知道 $a+b+c=1$ 和 $a^2+b^2+c^2=1$。
第一个方程 $a+b+c=1$ 表示一个通过 $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ 三点的平面。
第二个方程 $a^2+b^2+c^2=1$ 表示以原点为中心，半径为 1 的球面。
这两个条件的交集是一个圆。这个圆在上述平面上，并且与球面的交集是存在的。
我们可以利用一些几何上的参数化方法，但直接用代数方法更直接。
7. 另一种代数方法：利用已知条件限制变量
我们知道 $ab+bc+ca=0$。
我们可以从 $a+b+c=1$ 中消去一个变量，例如 $c = 1ab$。
代入 $ab+bc+ca=0$:
$ab + b(1ab) + (1ab)a = 0$
$ab + b ab b^2 + a a^2 ab = 0$
$a + b a^2 b^2 ab = 0$
我们要求的是 $a^3+b^3+c^3 = 1+3abc$ 的最小值，也就是 $abc$ 的最小值。
将 $c=1ab$ 代入 $abc$:
$abc = ab(1ab) = ab a^2b ab^2$
这看起来有点复杂，需要从 $a+ba^2b^2ab=0$ 中找到 $aba^2bab^2$ 的最小值。
让我们回到 $x^3x^2k=0$ 的思路，这是最清晰的方法。
关键是理解，当三个实数根存在时，常数项 $k$ 的取值范围是由函数的极值决定的。
总结一下整个推导过程：
1. 从已知条件 $a+b+c=1$ 和 $a^2+b^2+c^2=1$ 推导出 $ab+bc+ca=0$。
2. 利用恒等式 $a^3+b^3+c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 (ab+bc+ca))$，得到 $a^3+b^3+c^3 = 1 + 3abc$。
3. 将问题转化为求解 $abc$ 的最小值。
4. 认识到 $a, b, c$ 是方程 $x^3 (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x abc = 0$，即 $x^3 x^2 abc = 0$ 的三个实数根。设 $k=abc$，方程为 $x^3 x^2 = k$。
5. 分析函数 $f(x) = x^3 x^2$ 的图像，找到其极值点。导数 $f'(x) = 3x^2 2x$ 在 $x=0$ 和 $x=2/3$ 处为零。极值分别为 $f(0)=0$ 和 $f(2/3)=4/27$。
6. 为了保证方程有三个实数根，常数 $k$ 的取值范围必须在极值之间，即 $k in [4/27, 0]$。
7. 因此，$abc$ 的最小值为 $4/27$。
8. 将最小的 $abc$ 值代入立方和的表达式：$a^3+b^3+c^3 = 1 + 3(frac{4}{27}) = 1 frac{4}{9} = frac{5}{9}$。
9. 最后，通过找到具体的三个数 $(2/3, 2/3, 1/3)$ 来验证这个最小值是可以达到的。
所以，三个数的立方和的最小值为 $frac{5}{9}$。
网友意见
为一平面， 为一球面
两曲面相交，为一圆周，参数(方程的点的)坐标为
那么
所以最小值为
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