怎样计算圆内任意两点间距离的期望值？
好的，我们来聊聊这个挺有意思的问题：怎么求一个圆内任意两点之间距离的平均值，也就是期望值。这听起来有点像是“圆内的平均人生距离”，挺有诗意的，不是吗？
咱们得先明确一下目标：假设我们有一个半径为 $R$ 的圆。我们在这个圆的内部，随随便便、完全随机地挑出两个点，比如点 A 和点 B。我们想要知道，如果我们重复这个过程无数次，点 A 和点 B 之间的距离的平均值是多少。
从直观感受出发：
你想想看，如果这两个点离得很近，比如都在圆心附近，那它们之间的距离肯定很小。如果一个点在圆心，另一个点在圆周上，距离就是 $R$。如果两个点都在圆周上，并且离得很远，那它们之间的距离也会比较大，甚至接近于 $2R$（不过理论上圆内的点不包括圆周，但我们可以把它们看作非常接近圆周的点）。所以，这个平均距离，应该会介于 0 和 $2R$ 之间，但具体是多少，还需要好好算一算。
走进数学世界：准备工作
为了把这个问题说清楚，我们得借助一些数学工具。别担心，我会尽量说得像是在咖啡馆里和朋友聊天一样，而不是在实验室里读公式。
1. 怎么表示圆内的点？
我们可以用极坐标来表示圆内的点，这比直角坐标（x, y）要方便得多。一个点的位置可以用它到圆心的距离（我们叫它 $r$）和它与某个固定方向（比如正东方向）的夹角（我们叫它 $ heta$）来表示。
距离 $r$ 的范围是从 0 到 $R$（可以非常接近圆周，但理论上不包括圆周本身，不过在计算期望值时，边界的影响可以忽略不计）。
角度 $ heta$ 的范围是从 0 到 $2pi$（也就是一整圈）。
2. 怎么随机地挑选点？
“随随便便、完全随机”意味着每个点在这个圆内的任何位置出现的可能性都是均等的。在极坐标下，这意味着：
距离 $r$ 的分布不是均匀的。想象一下，圆心附近面积很小，而圆周附近面积很大。如果 $r$ 是均匀分布的，那么大部分点都会聚集在远离圆心的地方。实际上，面积的分布是与 $r^2$ 成正比的。因此，要使点在圆内均匀分布，我们需要对 $r$ 进行一个特殊的处理。
角度 $ heta$ 是均匀分布在 $[0, 2pi]$ 区间内的。
3. 怎么计算距离？
假设我们挑出的两个点是 A 和 B。
点 A 的位置可以用 $(r_1, heta_1)$ 来表示。
点 B 的位置可以用 $(r_2, heta_2)$ 来表示。
它们之间的距离，我们可以用余弦定理来计算。想象一个三角形，它的两个顶点是圆心和点 A，圆心和点 B。这个三角形的两条边长分别是 $r_1$ 和 $r_2$，它们之间的夹角是 $| heta_1 heta_2|$（或者 $2pi | heta_1 heta_2|$，取小的那个角度差）。
所以，点 A 和点 B 之间的距离 $d$ 可以表示为：
$d = sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(Delta heta)}$
其中 $Delta heta = | heta_1 heta_2|$。
开始计算：概率的舞蹈
现在我们有了工具，要开始真正的计算了。计算期望值，我们通常是把所有可能情况下的距离加起来，然后除以情况的总数。在连续的情况下，这就变成了积分。
我们要积分的其实是“距离 × 概率密度函数”。因为我们要求的是任意两点的距离期望，所以我们需要同时考虑两个点的位置。
关键步骤：如何正确地引入“随机性”
上面提到过，点在圆内的分布很重要。一个在圆内均匀分布的点，其极坐标 $(r, heta)$ 的概率密度函数是：
对于角度 $ heta$，它在 $[0, 2pi]$ 上是均匀分布的，所以概率密度函数是 $p( heta) = frac{1}{2pi}$。
对于距离 $r$，由于面积与 $r^2$ 成正比，要让点在圆内均匀分布，我们需要对 $r$ 进行一个变换。想象一下，在一个半径为 $r$ 的小圆内的面积是 $pi r^2$。在半径为 $R$ 的大圆内的总面积是 $pi R^2$。所以，一个点落在半径小于等于 $r$ 的区域内的概率是 $frac{pi r^2}{pi R^2} = frac{r^2}{R^2}$。这个概率就是 $r$ 的累积分布函数 $F(r)$。为了得到概率密度函数 $f(r)$，我们需要对累积分布函数求导：$f(r) = frac{d}{dr} (frac{r^2}{R^2}) = frac{2r}{R^2}$，其中 $0 le r le R$。
所以，我们挑选一个随机点 A 的概率密度函数是 $p_A(r_1, heta_1) = f(r_1) p( heta_1) = frac{2r_1}{R^2} cdot frac{1}{2pi} = frac{r_1}{pi R^2}$。
同理，挑选点 B 的概率密度函数是 $p_B(r_2, heta_2) = frac{r_2}{pi R^2}$。
由于两个点的选取是独立的，它们的联合概率密度函数就是两个函数相乘：
$p(r_1, heta_1, r_2, heta_2) = p_A(r_1, heta_1) cdot p_B(r_2, heta_2) = frac{r_1}{pi R^2} cdot frac{r_2}{pi R^2} = frac{r_1 r_2}{pi^2 R^4}$。
计算期望值：积木搭房子
期望值 $E[d]$ 的计算公式是：
$E[d] = iiint int d(r_1, heta_1, r_2, heta_2) cdot p(r_1, heta_1, r_2, heta_2) , dr_1 , d heta_1 , dr_2 , d heta_2$
这里的积分范围是：
$r_1$ 从 0 到 $R$
$ heta_1$ 从 0 到 $2pi$
$r_2$ 从 0 到 $R$
$ heta_2$ 从 0 到 $2pi$
在计算时，我们可以利用对称性。点 A 和点 B 的选取是对称的，而且我们关心的只是它们之间角度的差值 $Delta heta = | heta_1 heta_2|$。
我们可以先对角度进行积分。由于 $cos(Delta heta)$ 的值只与 $Delta heta$ 有关，我们可以考虑 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 的相对位置。
简化与积分：
为了简化计算，我们可以这样做：
1. 固定点 A 的位置（$r_1, heta_1$），然后计算它到圆内一个随机点 B（$r_2, heta_2$）的平均距离。
2. 然后对点 A 的所有可能位置进行积分。
但是，直接这样做会有点绕。更常见的做法是，考虑所有变量的联合积分。
我们知道距离公式是 $d = sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(Delta heta)}$。
积分项是 $frac{r_1 r_2}{pi^2 R^4}$。
我们可以先对角度进行积分。由于点 A 和点 B 的相对角度 $Delta heta$ 是均匀分布的（可以证明这一点，或者理解为 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 独立且均匀分布时，它们的差值 $ heta_1 heta_2$ 在 modulo $2pi$ 下是均匀的）， $Delta heta$ 的概率密度函数是 $1/pi$ (对于 $[0, pi]$ 区间，因为 $cos(Delta heta) = cos(2pi Delta heta)$)。
所以，我们关注的夹角 $alpha = heta_1 heta_2 pmod{2pi}$，它的概率密度是 $1/(2pi)$。我们关心的距离公式中用到的是 $| heta_1 heta_2|$ 或者说 $cos( heta_1 heta_2)$。
考虑积分：
$E[d] = int_0^R int_0^{2pi} int_0^R int_0^{2pi} sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos( heta_1 heta_2)} frac{r_1 r_2}{pi^2 R^4} , d heta_1 , dr_1 , d heta_2 , dr_2$
为了计算，我们可以先对 $ heta_1 heta_2$ 求平均值。令 $phi = heta_1 heta_2$。当 $ heta_1, heta_2$ 独立且在 $[0, 2pi]$ 上均匀分布时，$phi pmod{2pi}$ 的分布也是均匀的，概率密度是 $1/(2pi)$。
所以，我们可以将积分写成：
$E[d] = int_0^R int_0^R left( int_0^{2pi} sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(phi)} frac{1}{2pi} , dphi ight) frac{r_1 r_2}{pi R^4} , dr_1 , dr_2$
核心是计算内部的积分 $I(r_1, r_2) = int_0^{2pi} sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(phi)} frac{1}{2pi} , dphi$。
这里的 $sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(phi)}$ 正好是两个长度为 $r_1$ 和 $r_2$ 的向量，它们之间的夹角是 $phi$ 时，向量差的模长。
这个积分实际上是一个已知量，它是关于两个长度为 $r_1$ 和 $r_2$ 的线段相交于圆心时，它们端点之间距离的平均值。
更深入的数学技巧：
这个积分 $I(r_1, r_2)$ 是一个“完备椭圆积分”的变形。具体来说，它与第二类椭圆积分 $E(k)$ 有关，其中 $k = frac{2sqrt{r_1 r_2}}{r_1 + r_2}$。
$I(r_1, r_2) = frac{r_1+r_2}{pi} Eleft(frac{2sqrt{r_1 r_2}}{r_1+r_2} ight)$
其中 $E(k) = int_0^{pi/2} sqrt{1 k^2 sin^2 heta} , d heta$。
所以，我们最终需要计算的表达式变成：
$E[d] = int_0^R int_0^R frac{r_1+r_2}{pi} Eleft(frac{2sqrt{r_1 r_2}}{r_1+r_2} ight) frac{r_1 r_2}{pi R^4} , dr_1 , dr_2$
$E[d] = frac{1}{pi^2 R^4} int_0^R int_0^R (r_1+r_2) r_1 r_2 Eleft(frac{2sqrt{r_1 r_2}}{r_1+r_2} ight) , dr_1 , dr_2$
这是一个相当棘手的积分。 数学家们已经找到了这个积分的结果。如果大家有兴趣深入研究，可以查找关于“圆内任意两点距离期望”的文献，通常会提到这个结果。
一些数学上的“捷径”和结果
虽然直接计算这个双重积分很复杂，但通过一些数学技巧（比如利用级数展开，或者其他积分技巧），最终的结果是：
圆内任意两点间距离的期望值是 $frac{128R}{45pi}$。
其中 $R$ 是圆的半径。
让我们检查一下这个结果的合理性：
它与 $R$ 成正比，这是合理的。如果圆大一倍，距离的平均值也应该大一倍。
它包含 $pi$，这也是常见的。
系数 $128/(45pi)$ 大约是 $128/(45 imes 3.14159) approx 128/141.37 approx 0.905$.
所以，平均距离大约是 $0.905R$。这看起来是合理的，比 $R$ 小一点，但比 0 大不少。
总结一下整个过程，就像是我们在一步步地解开一个谜团：
1. 理解问题： 我们要找圆内两随机点距离的平均值。
2. 确定工具： 极坐标是描述圆内点的最佳方式。随机选取意味着概率密度函数要考虑圆的面积分布。
3. 建立模型： 我们需要描述两个点的极坐标 $(r_1, heta_1)$ 和 $(r_2, heta_2)$，以及它们之间的距离 $d$ 的公式。
4. 定义概率： 关键在于正确地为 $r$ 和 $ heta$ 定义概率密度函数，以确保点在圆内的均匀分布。这导致了 $f(r) = 2r/R^2$ 和 $p( heta) = 1/(2pi)$。
5. 设置积分： 将距离公式乘以联合概率密度函数，并在所有可能的 $r_1, heta_1, r_2, heta_2$ 上进行积分。
6. 解决积分： 这是一个具有挑战性的积分，它涉及到椭圆积分。不过，数学家已经计算出了它的最终形式。
为什么这个结果这么重要（或者说，它有什么意义）？
虽然听起来像个纯粹的数学题，但这种“平均距离”的概念在很多领域都有应用，比如：
物理学： 在研究粒子在圆盘内的随机运动时，计算它们之间的平均相互作用距离。
统计学： 在分析二维空间中的点分布时，计算点与点之间的平均距离。
计算机科学： 在某些算法设计中，比如最近邻搜索的分析。
甚至在艺术和设计中： 也许可以用来描述一个圆形画布上随机散布的元素的平均视觉间隔。
希望我把这个过程讲得够清楚了。这就像是在探险，一步步地揭示数学的奥秘。每次遇到这类问题，都感觉像是解开了一个小小的宇宙之谜。
咱们得先明确一下目标：假设我们有一个半径为 $R$ 的圆。我们在这个圆的内部，随随便便、完全随机地挑出两个点，比如点 A 和点 B。我们想要知道，如果我们重复这个过程无数次，点 A 和点 B 之间的距离的平均值是多少。
从直观感受出发：
你想想看，如果这两个点离得很近，比如都在圆心附近，那它们之间的距离肯定很小。如果一个点在圆心，另一个点在圆周上，距离就是 $R$。如果两个点都在圆周上，并且离得很远，那它们之间的距离也会比较大，甚至接近于 $2R$（不过理论上圆内的点不包括圆周，但我们可以把它们看作非常接近圆周的点）。所以，这个平均距离，应该会介于 0 和 $2R$ 之间，但具体是多少，还需要好好算一算。
走进数学世界：准备工作
为了把这个问题说清楚，我们得借助一些数学工具。别担心，我会尽量说得像是在咖啡馆里和朋友聊天一样，而不是在实验室里读公式。
1. 怎么表示圆内的点？
我们可以用极坐标来表示圆内的点，这比直角坐标（x, y）要方便得多。一个点的位置可以用它到圆心的距离（我们叫它 $r$）和它与某个固定方向（比如正东方向）的夹角（我们叫它 $ heta$）来表示。
距离 $r$ 的范围是从 0 到 $R$（可以非常接近圆周，但理论上不包括圆周本身，不过在计算期望值时，边界的影响可以忽略不计）。
角度 $ heta$ 的范围是从 0 到 $2pi$（也就是一整圈）。
2. 怎么随机地挑选点？
“随随便便、完全随机”意味着每个点在这个圆内的任何位置出现的可能性都是均等的。在极坐标下，这意味着：
距离 $r$ 的分布不是均匀的。想象一下，圆心附近面积很小，而圆周附近面积很大。如果 $r$ 是均匀分布的，那么大部分点都会聚集在远离圆心的地方。实际上，面积的分布是与 $r^2$ 成正比的。因此，要使点在圆内均匀分布，我们需要对 $r$ 进行一个特殊的处理。
角度 $ heta$ 是均匀分布在 $[0, 2pi]$ 区间内的。
3. 怎么计算距离？
假设我们挑出的两个点是 A 和 B。
点 A 的位置可以用 $(r_1, heta_1)$ 来表示。
点 B 的位置可以用 $(r_2, heta_2)$ 来表示。
它们之间的距离，我们可以用余弦定理来计算。想象一个三角形，它的两个顶点是圆心和点 A，圆心和点 B。这个三角形的两条边长分别是 $r_1$ 和 $r_2$，它们之间的夹角是 $| heta_1 heta_2|$（或者 $2pi | heta_1 heta_2|$，取小的那个角度差）。
所以，点 A 和点 B 之间的距离 $d$ 可以表示为：
$d = sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(Delta heta)}$
其中 $Delta heta = | heta_1 heta_2|$。
开始计算：概率的舞蹈
现在我们有了工具，要开始真正的计算了。计算期望值，我们通常是把所有可能情况下的距离加起来，然后除以情况的总数。在连续的情况下，这就变成了积分。
我们要积分的其实是“距离 × 概率密度函数”。因为我们要求的是任意两点的距离期望，所以我们需要同时考虑两个点的位置。
关键步骤：如何正确地引入“随机性”
上面提到过，点在圆内的分布很重要。一个在圆内均匀分布的点，其极坐标 $(r, heta)$ 的概率密度函数是：
对于角度 $ heta$，它在 $[0, 2pi]$ 上是均匀分布的，所以概率密度函数是 $p( heta) = frac{1}{2pi}$。
对于距离 $r$，由于面积与 $r^2$ 成正比，要让点在圆内均匀分布，我们需要对 $r$ 进行一个变换。想象一下，在一个半径为 $r$ 的小圆内的面积是 $pi r^2$。在半径为 $R$ 的大圆内的总面积是 $pi R^2$。所以，一个点落在半径小于等于 $r$ 的区域内的概率是 $frac{pi r^2}{pi R^2} = frac{r^2}{R^2}$。这个概率就是 $r$ 的累积分布函数 $F(r)$。为了得到概率密度函数 $f(r)$，我们需要对累积分布函数求导：$f(r) = frac{d}{dr} (frac{r^2}{R^2}) = frac{2r}{R^2}$，其中 $0 le r le R$。
所以，我们挑选一个随机点 A 的概率密度函数是 $p_A(r_1, heta_1) = f(r_1) p( heta_1) = frac{2r_1}{R^2} cdot frac{1}{2pi} = frac{r_1}{pi R^2}$。
同理，挑选点 B 的概率密度函数是 $p_B(r_2, heta_2) = frac{r_2}{pi R^2}$。
由于两个点的选取是独立的，它们的联合概率密度函数就是两个函数相乘：
$p(r_1, heta_1, r_2, heta_2) = p_A(r_1, heta_1) cdot p_B(r_2, heta_2) = frac{r_1}{pi R^2} cdot frac{r_2}{pi R^2} = frac{r_1 r_2}{pi^2 R^4}$。
计算期望值：积木搭房子
期望值 $E[d]$ 的计算公式是：
$E[d] = iiint int d(r_1, heta_1, r_2, heta_2) cdot p(r_1, heta_1, r_2, heta_2) , dr_1 , d heta_1 , dr_2 , d heta_2$
这里的积分范围是：
$r_1$ 从 0 到 $R$
$ heta_1$ 从 0 到 $2pi$
$r_2$ 从 0 到 $R$
$ heta_2$ 从 0 到 $2pi$
在计算时，我们可以利用对称性。点 A 和点 B 的选取是对称的，而且我们关心的只是它们之间角度的差值 $Delta heta = | heta_1 heta_2|$。
我们可以先对角度进行积分。由于 $cos(Delta heta)$ 的值只与 $Delta heta$ 有关，我们可以考虑 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 的相对位置。
简化与积分：
为了简化计算，我们可以这样做：
1. 固定点 A 的位置（$r_1, heta_1$），然后计算它到圆内一个随机点 B（$r_2, heta_2$）的平均距离。
2. 然后对点 A 的所有可能位置进行积分。
但是，直接这样做会有点绕。更常见的做法是，考虑所有变量的联合积分。
我们知道距离公式是 $d = sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(Delta heta)}$。
积分项是 $frac{r_1 r_2}{pi^2 R^4}$。
我们可以先对角度进行积分。由于点 A 和点 B 的相对角度 $Delta heta$ 是均匀分布的（可以证明这一点，或者理解为 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 独立且均匀分布时，它们的差值 $ heta_1 heta_2$ 在 modulo $2pi$ 下是均匀的）， $Delta heta$ 的概率密度函数是 $1/pi$ (对于 $[0, pi]$ 区间，因为 $cos(Delta heta) = cos(2pi Delta heta)$)。
所以，我们关注的夹角 $alpha = heta_1 heta_2 pmod{2pi}$，它的概率密度是 $1/(2pi)$。我们关心的距离公式中用到的是 $| heta_1 heta_2|$ 或者说 $cos( heta_1 heta_2)$。
考虑积分：
$E[d] = int_0^R int_0^{2pi} int_0^R int_0^{2pi} sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos( heta_1 heta_2)} frac{r_1 r_2}{pi^2 R^4} , d heta_1 , dr_1 , d heta_2 , dr_2$
为了计算，我们可以先对 $ heta_1 heta_2$ 求平均值。令 $phi = heta_1 heta_2$。当 $ heta_1, heta_2$ 独立且在 $[0, 2pi]$ 上均匀分布时，$phi pmod{2pi}$ 的分布也是均匀的，概率密度是 $1/(2pi)$。
所以，我们可以将积分写成：
$E[d] = int_0^R int_0^R left( int_0^{2pi} sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(phi)} frac{1}{2pi} , dphi ight) frac{r_1 r_2}{pi R^4} , dr_1 , dr_2$
核心是计算内部的积分 $I(r_1, r_2) = int_0^{2pi} sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(phi)} frac{1}{2pi} , dphi$。
这里的 $sqrt{r_1^2 + r_2^2 2r_1 r_2 cos(phi)}$ 正好是两个长度为 $r_1$ 和 $r_2$ 的向量，它们之间的夹角是 $phi$ 时，向量差的模长。
这个积分实际上是一个已知量，它是关于两个长度为 $r_1$ 和 $r_2$ 的线段相交于圆心时，它们端点之间距离的平均值。
更深入的数学技巧：
这个积分 $I(r_1, r_2)$ 是一个“完备椭圆积分”的变形。具体来说，它与第二类椭圆积分 $E(k)$ 有关，其中 $k = frac{2sqrt{r_1 r_2}}{r_1 + r_2}$。
$I(r_1, r_2) = frac{r_1+r_2}{pi} Eleft(frac{2sqrt{r_1 r_2}}{r_1+r_2} ight)$
其中 $E(k) = int_0^{pi/2} sqrt{1 k^2 sin^2 heta} , d heta$。
所以，我们最终需要计算的表达式变成：
$E[d] = int_0^R int_0^R frac{r_1+r_2}{pi} Eleft(frac{2sqrt{r_1 r_2}}{r_1+r_2} ight) frac{r_1 r_2}{pi R^4} , dr_1 , dr_2$
$E[d] = frac{1}{pi^2 R^4} int_0^R int_0^R (r_1+r_2) r_1 r_2 Eleft(frac{2sqrt{r_1 r_2}}{r_1+r_2} ight) , dr_1 , dr_2$
这是一个相当棘手的积分。 数学家们已经找到了这个积分的结果。如果大家有兴趣深入研究，可以查找关于“圆内任意两点距离期望”的文献，通常会提到这个结果。
一些数学上的“捷径”和结果
虽然直接计算这个双重积分很复杂，但通过一些数学技巧（比如利用级数展开，或者其他积分技巧），最终的结果是：
圆内任意两点间距离的期望值是 $frac{128R}{45pi}$。
其中 $R$ 是圆的半径。
让我们检查一下这个结果的合理性：
它与 $R$ 成正比，这是合理的。如果圆大一倍，距离的平均值也应该大一倍。
它包含 $pi$，这也是常见的。
系数 $128/(45pi)$ 大约是 $128/(45 imes 3.14159) approx 128/141.37 approx 0.905$.
所以，平均距离大约是 $0.905R$。这看起来是合理的，比 $R$ 小一点，但比 0 大不少。
总结一下整个过程，就像是我们在一步步地解开一个谜团：
1. 理解问题： 我们要找圆内两随机点距离的平均值。
2. 确定工具： 极坐标是描述圆内点的最佳方式。随机选取意味着概率密度函数要考虑圆的面积分布。
3. 建立模型： 我们需要描述两个点的极坐标 $(r_1, heta_1)$ 和 $(r_2, heta_2)$，以及它们之间的距离 $d$ 的公式。
4. 定义概率： 关键在于正确地为 $r$ 和 $ heta$ 定义概率密度函数，以确保点在圆内的均匀分布。这导致了 $f(r) = 2r/R^2$ 和 $p( heta) = 1/(2pi)$。
5. 设置积分： 将距离公式乘以联合概率密度函数，并在所有可能的 $r_1, heta_1, r_2, heta_2$ 上进行积分。
6. 解决积分： 这是一个具有挑战性的积分，它涉及到椭圆积分。不过，数学家已经计算出了它的最终形式。
为什么这个结果这么重要（或者说，它有什么意义）？
虽然听起来像个纯粹的数学题，但这种“平均距离”的概念在很多领域都有应用，比如：
物理学： 在研究粒子在圆盘内的随机运动时，计算它们之间的平均相互作用距离。
统计学： 在分析二维空间中的点分布时，计算点与点之间的平均距离。
计算机科学： 在某些算法设计中，比如最近邻搜索的分析。
甚至在艺术和设计中： 也许可以用来描述一个圆形画布上随机散布的元素的平均视觉间隔。
希望我把这个过程讲得够清楚了。这就像是在探险，一步步地揭示数学的奥秘。每次遇到这类问题，都感觉像是解开了一个小小的宇宙之谜。
网友意见
直接根据定义在直角坐标系和极坐标系下面的积分看起来似乎很难，但是也不是没有办法做，典型的办法可以看这里：
这个积分其实挺简单的。
但是我们不妨要求更高一点，提高这个问题的难度：扩展这个问题为——圆内任意两点间的距离 的概率分布 是怎样的？有了分布，根据定义去算期望甚至方差都是可行的，多积两个分就是了。
所以，我们怎么求圆内任意两点间的距离的分布呢？直接去想，很复杂，没有思路。但是我们只需要稍微变通一下，问题就能迎刃而解。
一、用条件概率的视角来看问题
不妨设圆半径为1，是别的半径把算出来的期望乘以半径即可。
我们按照一种条件概率的思维来思考一下这个问题，把这个问题拆成两步。
步骤1、在圆内半径为 处随机取一点，作为你的第一个点。
步骤2、设定距离 ，在距离第一个点 的地方取第二个点。
针对第1步，均匀洒点在单位圆内概率密度显然是 ，极坐标下圆内随机取点关于角度依然是处处均匀称的，设在圆内随机取点 半径处的分布 ，考察 处 厚圆环显然有：
所以 ，其中 。
针对第2步，这是在选取好了 后再选取 ，所以这一步其实对应条件概率 。
那么两步联合起来看，已知 了，只需要知道 ，那么就能够知道 ，我们的目标是想知道 ，所以marginalize 这个分布就行了。也就是：
其中， 是 不为0的地方，也就是支撑集（support set）。
二、条件分布的求取
好，现在的问题就是搞明白第2步的 长啥样，以及 长啥样就行了。
记圆的圆心为O，假设第一个点选在P，当然它距离圆心为 ，那么要知道 就需要考察所有以P为圆心 为半径的，这里分两种情况：
情况1、 ，此时所有距离P为 的点都在圆O内，如下图。因此关于 有：
那么
情况2、 ，此时只有一部分点取在圆内。
在上图中就是圆内这边的弧AB，这段弧长为 。且根据余弦定理有：
这种情况下，有
三、联合分布的边缘化
我们知道了条件分布 ，那么联合分布 就是：
那么正如我们上面所说 积分即可积出边缘分布。
要正确的积出上面的边缘分布，需要搞明白 的积分上下限怎么取，为此需要考察联合概率分布的支撑集（support set），也就是 的地方在哪里。
在第一个点选在距离圆心为 处后，第二个点与第一个点的距离其实已经限死了，为了保证第二个点也在圆内，那么 肯定有 ，所以无论任何时候，都有 。同时，我们有 。因此：
(a) 在 时， 的积分限为 。在这个区间内有 ，那么 。
(b)在 时， 的积分限为 。这里又分为两种情况：
(i) ， 。
(ii) ， 。
直观一点 支撑集如下面所示：
因此 的分布 就是：
四、具体的积分过程
这里展示一下具体计算过程，不关心计算细节可以直接跳过。
从上一个section可以看到，对 的计算过程中存在2个积分。
第一个积分好算：
第二个积分其不定积分形为 ，这里
设 ， ，相当于要积分：
上面这个积分显然用分部积分来积：
暂先记后面一项为 ，前面一项可以套进定积分上下限计算出来带入上面的 和 用 表示的式子，有：
接下来计算 ，换元 ，则 ， 。
再度换元 ，即 ， 。
那么：
最后一步代入了 和 。考虑到 ，那么 时候，代入 和 可以得到 ， 和 的时候 相同，此时 。
所以有：
分别代回到 表达式中，发现分段函数两段一样，整理得到：
因此任意两点的平均距离是：
甚至可以求出标准差是：
五、推广到半径为 的情况
如何推广到一般半径？不需要重新积分，只需要量纲分析。 量纲肯定是 ，期望和标准量纲肯定是 。所以一般情况下：
到此针对这个问题我们就回答完了。
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