如果把行列式定义中的(-1)^(逆序数)去掉，这种新的运算能用在哪里呢？
你好！很高兴和你一起探讨这个有趣的数学问题。我们来聊聊，如果去掉行列式定义中的 $(1)^{ ext{逆序数}}$ 这个项，那个“变形”的运算会变成什么样子，以及它可能有什么用处。
首先，我们得回顾一下行列式是怎么来的。标准的行列式，它的核心思想是捕捉一个方阵所代表的线性变换的“体积”效应，但这里要强调的是它的“有向体积”或者说“定向性”。每个排列都对应着一种重新排列行的操作，而 $(1)^{ ext{逆序数}}$ 这个符号因子，正是用来区分“偶置换”（逆序数为偶数）和“奇置换”（逆序数为奇数）的。偶置换保留了原有的定向，而奇置换翻转了定向。
那么，如果把这个 $(1)^{ ext{逆序数}}$ 去掉了，会发生什么？
1. 定义上的改变：我们得到的是什么？
我们现在定义的这个新运算，我们姑且称之为“符号无关的行列式和”或者更简单点，“绝对值行列式和”。对于一个 $n imes n$ 的矩阵 $A = (a_{ij})$，这个新运算的结果就是：
$$
ext{新运算}(A) = sum_{sigma in S_n} prod_{i=1}^n a_{i, sigma(i)}
$$
注意，我们移除了求和项前面的 $(1)^{ ext{inv}(sigma)}$。
2. 性质上的变化：它失去了什么？
去掉 $(1)^{ ext{逆序数}}$ 后，这个新运算最直接的影响是它失去了行列式的许多核心性质，尤其是那些与“定向”和“可逆性”紧密相关的性质。
不再反映矩阵的可逆性： 标准行列式为零当且仅当矩阵不可逆。这是因为行列式为零意味着线性变换将空间压缩到了更低的维度，失去了“体积”或“定向体积”。我们的新运算不再有这个性质。即使矩阵不可逆，只要某些项的乘积非零且符号相同，它的“符号无关的行列式和”仍然可以是非零的。
不再是乘性： 标准行列式满足 $det(AB) = det(A) det(B)$。这个性质非常重要，它说明矩阵乘法的行列式效应是各矩阵行列式效应的乘积。我们的新运算很可能不再满足这个性质。想想看，两个矩阵的乘积，其元素是原始矩阵的线性组合。将这些组合后的元素代入我们的新运算，很难说会直接等于两个“符号无关的行列式和”的乘积。
不再是求和的线性性： 标准行列式在每一行或每一列上是线性的。这意味着，如果将某一行（或列）乘以一个常数，行列式也乘以这个常数。我们的新运算也可能不具备这种纯粹的线性性。虽然求和本身是线性的，但每个乘积项的系数（即 $(1)^{ ext{逆序数}}$）消失了，这会改变整体的行为。
3. 可能的应用场景：它能用在哪里？
尽管失去了许多核心的“线性代数之美”，但这种“符号无关的行列式和”在某些特定的、更“组合”或“计数量”的语境下，可能仍然有其价值。思考一下，我们到底是在计算什么？我们是在计算所有可能的“对角线乘积”的绝对值之和（或者说，所有乘积的符号相同的部分之和，但因为负号去掉了，所以就是纯粹的项加起来）。
图论中的计数问题：
完美匹配计数（无符号）： 对于一个二分图，我们可以构建一个邻接矩阵。标准行列式的计算与二分图的完美匹配计数密切相关。具体来说，对于一个具有 $2n$ 个顶点的二分图，其邻接矩阵的行列式（的绝对值）可以计数完美匹配的数量。我们的新运算，如果应用在与图结构相关的矩阵上，可能直接或间接地与某些不关心方向性的计数问题有关。例如，在某些组合学问题中，我们可能需要计算所有可能的“连接方式”的总数，而不在乎这些连接方式是“翻转”了原始的顺序还是“保持”了顺序。
迹的幂： 矩阵的迹（对角线元素之和） $ ext{tr}(A) = sum_i a_{ii}$。如果我们计算 $ ext{tr}(A^k)$，这涉及到对矩阵乘积的迹的计算。迹与对角线乘积（即排列 $sigma$ 为单位排列时的乘积 $a_{1,sigma(1)} cdots a_{n,sigma(n)}$，也就是 $a_{11} cdots a_{nn}$）有联系。在某些组合解释中，如果忽略了“符号”因素，我们的新运算可能与计算所有可能的路径（或循环）的总数有关。
概率和统计中的某些模型：
在一些统计模型或者模拟中，我们可能需要计算所有“状态转移”的总可能性，而不关心状态转移的“方向性”或“相位”。如果一个模型可以用矩阵来描述，并且其中的某些项代表“转移概率”或“转移权重”，去掉符号项可能是在计算一个无约束的整体权重总和。
特定代数结构中的“和”：
有些非标准的代数结构可能不需要或不需要严格的符号区分。在这种情况下，我们的新运算或许能作为定义该结构的一种方式，或者描述该结构中的某种“总和”。例如，在某些半环（semiring）代数中，乘法和加法有不同的规则，我们的新运算可能在这些结构下有合适的解释。
算法和计算的简化：
虽然这听起来有点牵强，但理论上，如果某个特定问题的计算目标就是去掉那个符号项，那么直接计算我们的新运算会比计算标准行列式更“简单”一些（少了一个乘法操作）。但关键在于找到这样一个问题。
举个例子说明一下变化：
考虑一个 $2 imes 2$ 的矩阵：
$$
A = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}
$$
标准行列式： $det(A) = a cdot d b cdot c$。这里，排列 $(1, 2)$ 是单位排列，逆序数为 0，符号为 $(1)^0 = 1$；排列 $(2, 1)$ 有一个逆序数，符号为 $(1)^1 = 1$。
我们的新运算： $ ext{新运算}(A) = a cdot d + b cdot c$。
你可以看到，这个新运算就是两个对角线乘积的简单相加。标准行列式强调了 $a cdot d$ 和 $b cdot c$ 的“对立”关系，而新运算则将它们“拉到一起”了。
再来看一个 $3 imes 3$ 的例子：
$$
A = egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix}
$$
标准行列式是 $a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} a_{11}a_{23}a_{32} a_{12}a_{21}a_{33} a_{13}a_{22}a_{31}$。
我们的新运算就是把所有这些项直接加起来，无论它们原来是带加号还是减号。
总结一下：
去掉 $(1)^{ ext{逆序数}}$ 后，我们得到的是一个更“组合”的量，它直接关注的是所有可能的“对角线乘积”的总和，而不再区分它们是由“保持方向”还是“翻转方向”的排列产生的。这使得它失去了许多与线性变换的几何意义（体积、定向、可逆性）和代数性质（乘性、线性性）相关的特性。
然而，这种运算在纯粹的计数问题，特别是在图论中的匹配计数（如果忽略方向性），或者在某些概率模型中描述总的可能性时，可能会找到其用武之地。它更像是一个来自组合数学领域的“计数器”，而不是线性代数中描述变换“尺度”或“方向”的工具。
要找到它真正广泛且有意义的应用，可能需要深入挖掘那些不依赖于符号区分的代数结构或计数情境。这有点像在寻找一种不那么“讲究”的“体积”度量方式，或者一种更“朴素”的元素组合方式。
希望我的解答能帮助你理解这个有趣的变体！如果你有更具体的应用场景或者想法，我很乐意继续深入探讨。
首先，我们得回顾一下行列式是怎么来的。标准的行列式，它的核心思想是捕捉一个方阵所代表的线性变换的“体积”效应，但这里要强调的是它的“有向体积”或者说“定向性”。每个排列都对应着一种重新排列行的操作，而 $(1)^{ ext{逆序数}}$ 这个符号因子，正是用来区分“偶置换”（逆序数为偶数）和“奇置换”（逆序数为奇数）的。偶置换保留了原有的定向，而奇置换翻转了定向。
那么，如果把这个 $(1)^{ ext{逆序数}}$ 去掉了，会发生什么？
1. 定义上的改变：我们得到的是什么？
我们现在定义的这个新运算，我们姑且称之为“符号无关的行列式和”或者更简单点，“绝对值行列式和”。对于一个 $n imes n$ 的矩阵 $A = (a_{ij})$，这个新运算的结果就是：
$$
ext{新运算}(A) = sum_{sigma in S_n} prod_{i=1}^n a_{i, sigma(i)}
$$
注意，我们移除了求和项前面的 $(1)^{ ext{inv}(sigma)}$。
2. 性质上的变化：它失去了什么？
去掉 $(1)^{ ext{逆序数}}$ 后，这个新运算最直接的影响是它失去了行列式的许多核心性质，尤其是那些与“定向”和“可逆性”紧密相关的性质。
不再反映矩阵的可逆性： 标准行列式为零当且仅当矩阵不可逆。这是因为行列式为零意味着线性变换将空间压缩到了更低的维度，失去了“体积”或“定向体积”。我们的新运算不再有这个性质。即使矩阵不可逆，只要某些项的乘积非零且符号相同，它的“符号无关的行列式和”仍然可以是非零的。
不再是乘性： 标准行列式满足 $det(AB) = det(A) det(B)$。这个性质非常重要，它说明矩阵乘法的行列式效应是各矩阵行列式效应的乘积。我们的新运算很可能不再满足这个性质。想想看，两个矩阵的乘积，其元素是原始矩阵的线性组合。将这些组合后的元素代入我们的新运算，很难说会直接等于两个“符号无关的行列式和”的乘积。
不再是求和的线性性： 标准行列式在每一行或每一列上是线性的。这意味着，如果将某一行（或列）乘以一个常数，行列式也乘以这个常数。我们的新运算也可能不具备这种纯粹的线性性。虽然求和本身是线性的，但每个乘积项的系数（即 $(1)^{ ext{逆序数}}$）消失了，这会改变整体的行为。
3. 可能的应用场景：它能用在哪里？
尽管失去了许多核心的“线性代数之美”，但这种“符号无关的行列式和”在某些特定的、更“组合”或“计数量”的语境下，可能仍然有其价值。思考一下，我们到底是在计算什么？我们是在计算所有可能的“对角线乘积”的绝对值之和（或者说，所有乘积的符号相同的部分之和，但因为负号去掉了，所以就是纯粹的项加起来）。
图论中的计数问题：
完美匹配计数（无符号）： 对于一个二分图，我们可以构建一个邻接矩阵。标准行列式的计算与二分图的完美匹配计数密切相关。具体来说，对于一个具有 $2n$ 个顶点的二分图，其邻接矩阵的行列式（的绝对值）可以计数完美匹配的数量。我们的新运算，如果应用在与图结构相关的矩阵上，可能直接或间接地与某些不关心方向性的计数问题有关。例如，在某些组合学问题中，我们可能需要计算所有可能的“连接方式”的总数，而不在乎这些连接方式是“翻转”了原始的顺序还是“保持”了顺序。
迹的幂： 矩阵的迹（对角线元素之和） $ ext{tr}(A) = sum_i a_{ii}$。如果我们计算 $ ext{tr}(A^k)$，这涉及到对矩阵乘积的迹的计算。迹与对角线乘积（即排列 $sigma$ 为单位排列时的乘积 $a_{1,sigma(1)} cdots a_{n,sigma(n)}$，也就是 $a_{11} cdots a_{nn}$）有联系。在某些组合解释中，如果忽略了“符号”因素，我们的新运算可能与计算所有可能的路径（或循环）的总数有关。
概率和统计中的某些模型：
在一些统计模型或者模拟中，我们可能需要计算所有“状态转移”的总可能性，而不关心状态转移的“方向性”或“相位”。如果一个模型可以用矩阵来描述，并且其中的某些项代表“转移概率”或“转移权重”，去掉符号项可能是在计算一个无约束的整体权重总和。
特定代数结构中的“和”：
有些非标准的代数结构可能不需要或不需要严格的符号区分。在这种情况下，我们的新运算或许能作为定义该结构的一种方式，或者描述该结构中的某种“总和”。例如，在某些半环（semiring）代数中，乘法和加法有不同的规则，我们的新运算可能在这些结构下有合适的解释。
算法和计算的简化：
虽然这听起来有点牵强，但理论上，如果某个特定问题的计算目标就是去掉那个符号项，那么直接计算我们的新运算会比计算标准行列式更“简单”一些（少了一个乘法操作）。但关键在于找到这样一个问题。
举个例子说明一下变化：
考虑一个 $2 imes 2$ 的矩阵：
$$
A = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}
$$
标准行列式： $det(A) = a cdot d b cdot c$。这里，排列 $(1, 2)$ 是单位排列，逆序数为 0，符号为 $(1)^0 = 1$；排列 $(2, 1)$ 有一个逆序数，符号为 $(1)^1 = 1$。
我们的新运算： $ ext{新运算}(A) = a cdot d + b cdot c$。
你可以看到，这个新运算就是两个对角线乘积的简单相加。标准行列式强调了 $a cdot d$ 和 $b cdot c$ 的“对立”关系，而新运算则将它们“拉到一起”了。
再来看一个 $3 imes 3$ 的例子：
$$
A = egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix}
$$
标准行列式是 $a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} a_{11}a_{23}a_{32} a_{12}a_{21}a_{33} a_{13}a_{22}a_{31}$。
我们的新运算就是把所有这些项直接加起来，无论它们原来是带加号还是减号。
总结一下：
去掉 $(1)^{ ext{逆序数}}$ 后，我们得到的是一个更“组合”的量，它直接关注的是所有可能的“对角线乘积”的总和，而不再区分它们是由“保持方向”还是“翻转方向”的排列产生的。这使得它失去了许多与线性变换的几何意义（体积、定向、可逆性）和代数性质（乘性、线性性）相关的特性。
然而，这种运算在纯粹的计数问题，特别是在图论中的匹配计数（如果忽略方向性），或者在某些概率模型中描述总的可能性时，可能会找到其用武之地。它更像是一个来自组合数学领域的“计数器”，而不是线性代数中描述变换“尺度”或“方向”的工具。
要找到它真正广泛且有意义的应用，可能需要深入挖掘那些不依赖于符号区分的代数结构或计数情境。这有点像在寻找一种不那么“讲究”的“体积”度量方式，或者一种更“朴素”的元素组合方式。
希望我的解答能帮助你理解这个有趣的变体！如果你有更具体的应用场景或者想法，我很乐意继续深入探讨。
网友意见
这个数字通常叫做矩阵的积和式或者永久式，英文是permanent.
首先我们列一个比较重要的应用：完美二分图匹配。
图的概念就不多介绍了，就是顶点和边。所谓的二分图，就是图的顶点可以分成两个集合X和Y，每个集合内部没有任何边相连，所有的边全都连接了X的点与Y的点。我们假设X与Y的点的数目相等，并且规定好一个标号：X={x1,x2,...,xn}, Y={y1,y2,...,yn}. 现在我们考虑一个n乘n方阵A，称为邻接矩阵：如果xi与yj连了边，那么就把A的i行j列元素设为1，否则就设为0。
继续假设X和Y的数目相等。因为相等，所以可以把X与Y中的点做个配对。特别地，如果每一对配对中的点都被连过边，那么称为完美匹配。容易证明，A的永久式就是所有完美匹配的个数。
比如题主举的例子，五个人就是X，五个位子就是Y，配对就是每个人找个位子。由于给出的甲乙丙的限制，所以邻接矩阵A就是题主给的样子，答案自然就是其永久式了。
另外举一个例子，如果若干个信封随机装若干信件，每封信全都装错有多少种可能？这也可以用永久式来给出答案，此时邻接矩阵就是对角线全是0，其他位置都是1。这通常被称为错排问题（Derangement problem），事实上可以用容斥原理给出结果的表达式 .
永久式与行列式有相似之处，比如关于某一行/列的线性性等等，但是区别也非常大。这里列两个比较要紧的：
- 两个矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，但是永久式不对。
- 对n阶矩阵的行列式，可以找到关于n的多项式时间的算法，但是永久式做不到。换而言之，永久式的计算远比行列式复杂。
最后，给一个稍微看起来更加实际一点的例子：平面型单双建交替的碳氢化合物中双键的分布问题。
我们考虑一个平面型碳氢化合物中碳原子的结构。假设我们已经知道碳原子的连接方式，并且假设我们已知碳碳键是单双交替分布的（或者作为问题的假设，我们可以考虑更强一点的条件：所有的碳碳键键角都是120度），比如类似苯环的凯库勒式。我们想知道有多少种可能的双键位置的排布。（当然了，这种大pi键理论上是没有单双区别的，但是据说不同的单双交替结构数目也会影响化学性质，可能叫共振结构？这点我不是专家，希望学化学的同志补充，小生先谢过了。）
举个例子，萘的单双交替结构就有三种：
由于已知单双交替，碳原子形成的环路一定是偶数长度的。因此，根据图论中的定理，这个图是二分图。具体来说，选定一个基点，然后从基点向外走，距离基点长度是奇数的称为奇顶点，距离基点长度是偶数的称为偶顶点。如果我们考虑的是实际的化合物，那么奇顶点和偶顶点的数目一定相等，因为单双交替，否则就是自由基了。根据我们已知的碳原子的连接方式，就可以写出邻接矩阵，此时其永久式就是所有可能的单双交替排布的种类数。例如，对于上面的萘，我们把顶点编个号，红蓝分别对应两组：
可以写出这个5乘5矩阵 ，永久式就是3。
关于永久式有不少现成的计算结果与不等式估计。我们不加证明地给一个结果：
设方阵A是如前所述的某个二分图的邻接矩阵。如果这个二分图中所有的简单圈（除了起点终点外没有别的重复的点）的长度都不是4的倍数，那么A的永久式等于其行列式的绝对值。
积和式/永久式不算个特别冷僻的概念，有了关键词就能找到不少相关文献。这里我主要参考英文wiki，最后碳氢化合物的例子来自《数学模型》谭永基。
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