求方阵的特征值大家有没有方法？

求解方阵的特征值是一个非常基础且重要的概念，在线性代数、工程、物理学等许多领域都有广泛的应用。这里我会尽量详细地讲解求特征值的方法，从基本原理到具体步骤，以及一些实用的技巧。

什么是特征值和特征向量？

在深入求解方法之前，我们先来回顾一下特征值和特征向量的定义。

对于一个方阵 $A$，如果存在一个非零向量 $v$ 和一个标量 $lambda$，使得：

$Av = lambda v$

那么，我们称 $lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值 (Eigenvalue)，而向量 $v$ 是与特征值 $lambda$ 对应的特征向量 (Eigenvector)。

这个公式的含义是：当矩阵 $A$ 作用于其特征向量 $v$ 时，结果只是将 $v$ 沿原方向进行伸缩（如果 $lambda$ 是正数）或反向伸缩（如果 $lambda$ 是负数），而不会改变向量的方向。

如何求解特征值？

求解特征值最基本也是最常用的方法是利用特征值和特征向量的定义来构造一个方程。

核心思想： 将 $Av = lambda v$ 这个方程变形，使其能够求解出 $lambda$。

1. 移项：
$Av lambda v = 0$

2. 引入单位矩阵 $I$： 为了将 $lambda v$ 变形为矩阵乘法，我们在 $lambda$ 前面乘以一个与 $A$ 同阶的单位矩阵 $I$。
$Av lambda Iv = 0$

3. 提取公因式 $v$：
$(A lambda I) v = 0$

现在我们得到了一个齐次线性方程组 $(A lambda I) v = 0$。

关键点： 我们要求的是非零向量 $v$。一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的行列式为零。

因此，为了找到特征值 $lambda$，我们需要解以下方程：

$det(A lambda I) = 0$

这个方程被称为特征方程 (Characteristic Equation)。

求解步骤详解

1. 构造矩阵 $A lambda I$：
给定一个 $n imes n$ 的方阵 $A$。
$A = egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & dots & a_{nn} end{pmatrix}$
单位矩阵 $I = egin{pmatrix} 1 & 0 & dots & 0 \ 0 & 1 & dots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & dots & 1 end{pmatrix}$
那么，$lambda I = egin{pmatrix} lambda & 0 & dots & 0 \ 0 & lambda & dots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & dots & lambda end{pmatrix}$
所以，$A lambda I = egin{pmatrix} a_{11}lambda & a_{12} & dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22}lambda & dots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & dots & a_{nn}lambda end{pmatrix}$
可以看到，在对角线元素上减去了 $lambda$。

2. 计算行列式 $det(A lambda I)$：
计算上面这个矩阵的行列式。这个行列式将是一个关于 $lambda$ 的 $n$ 次多项式，我们称之为特征多项式 (Characteristic Polynomial)。
$det(A lambda I) = P(lambda)$

3. 求解特征方程 $P(lambda) = 0$：
将特征多项式设为零，然后求解这个关于 $lambda$ 的方程。方程的根就是矩阵 $A$ 的特征值。
$P(lambda) = c_n lambda^n + c_{n1} lambda^{n1} + dots + c_1 lambda + c_0 = 0$
解这个 $n$ 次方程可以得到 $n$ 个根（可能包含重根，也可能是复数根）。这些根就是矩阵 $A$ 的所有特征值。

示例：求解一个 $2 imes 2$ 矩阵的特征值

假设矩阵 $A = egin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 end{pmatrix}$。

1. 构造 $A lambda I$：
$A lambda I = egin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 end{pmatrix} lambda egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 4lambda & 1 \ 2 & 3lambda end{pmatrix}$

2. 计算行列式：
$det(A lambda I) = (4lambda)(3lambda) (1)(2)$
$= 12 4lambda 3lambda + lambda^2 2$
$= lambda^2 7lambda + 10$

3. 求解特征方程：
$lambda^2 7lambda + 10 = 0$
这是一个二次方程，我们可以通过因式分解来求解：
$(lambda 2)(lambda 5) = 0$
所以，特征值为 $lambda_1 = 2$ 和 $lambda_2 = 5$。

示例：求解一个 $3 imes 3$ 矩阵的特征值

假设矩阵 $A = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{pmatrix}$。这是一个对角矩阵。

1. 构造 $A lambda I$：
$A lambda I = egin{pmatrix} 1lambda & 0 & 0 \ 0 & 2lambda & 0 \ 0 & 0 & 3lambda end{pmatrix}$

2. 计算行列式：
对于一个对角矩阵或上（下）三角矩阵，其行列式等于对角线上元素的乘积。
$det(A lambda I) = (1lambda)(2lambda)(3lambda)$

3. 求解特征方程：
$(1lambda)(2lambda)(3lambda) = 0$
特征值为 $lambda_1 = 1$, $lambda_2 = 2$, $lambda_3 = 3$。

重要结论： 对于对角矩阵和三角矩阵，其特征值就是对角线上的元素。

求解特征值的性质和技巧

在实际计算中，特别是对于高阶矩阵，直接计算行列式并求解多项式方程可能会非常困难。以下是一些有用的性质和技巧：

1. 特征方程的系数与矩阵迹和行列式的关系：
对于一个 $n imes n$ 矩阵 $A$，其特征多项式 $P(lambda) = det(A lambda I)$ 的形式为：
$P(lambda) = (1)^n lambda^n + (1)^{n1} mathrm{tr}(A) lambda^{n1} + dots + det(A)$

最高次项系数： $(1)^n$
次高次项系数： $(1)^{n1} mathrm{tr}(A)$，其中 $mathrm{tr}(A)$ 是矩阵 $A$ 的迹（主对角线元素之和）。
常数项系数： $det(A)$

根据韦达定理，特征值的乘积等于矩阵的行列式，特征值的和等于矩阵的迹。
$prod_{i=1}^n lambda_i = det(A)$
$sum_{i=1}^n lambda_i = mathrm{tr}(A)$

这些性质在检查计算结果时非常有用。

2. 特殊矩阵的特征值：
对角矩阵/三角矩阵： 特征值就是对角线上的元素。
对称矩阵（实数域）： 特征值一定是实数。
正交矩阵： 特征值的模（绝对值）为 1。
幂零矩阵 ($A^k = 0$)： 特征值全为 0。
可逆矩阵： 特征值全非零。如果 $lambda$ 是 $A$ 的特征值，那么 $1/lambda$ 是 $A^{1}$ 的特征值。

3. 数值方法（适用于高阶矩阵，计算机计算）：
对于 $3 imes 3$ 以上的矩阵，直接求解特征方程的根通常非常困难，需要依赖数值方法。一些常见的数值算法包括：
QR分解算法： 这是最常用和最稳定的算法之一，通过反复进行QR分解将矩阵逐渐转化为上三角矩阵，对角线元素就收敛于特征值。
幂法 (Power Iteration)： 用于找到矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。通过反复乘以矩阵 $A$ 来迭代一个向量，该向量会收敛到对应最大特征值的特征向量。
反幂法 (Inverse Power Iteration)： 用于找到最接近某个给定值的特征值，通过在幂法中使用 $(A mu I)^{1}$ 来实现。
雅可比法 (Jacobi Method)： 主要用于对称矩阵，通过一系列的旋转变换将矩阵化为对角矩阵。

这些数值方法通常在计算机软件（如MATLAB, Python NumPy/SciPy）中实现。

如何求解特征向量？

一旦我们找到了特征值 $lambda$，就可以通过求解齐次线性方程组 $(A lambda I) v = 0$ 来找到对应的特征向量 $v$。

步骤：

1. 将已知的特征值 $lambda$ 代入 $(A lambda I)$ 矩阵。
2. 求解方程组 $(A lambda I) v = 0$。
3. 由于我们只需要非零解，求解出的向量（或者其非零倍数）就是对应特征值 $lambda$ 的特征向量。通常我们会将其规范化（例如，使其长度为 1）。

示例（接上面的 $2 imes 2$ 矩阵）：

矩阵 $A = egin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 end{pmatrix}$，特征值为 $lambda_1 = 2$ 和 $lambda_2 = 5$。

求解 $lambda_1 = 2$ 的特征向量：

1. 代入 $lambda=2$ 到 $A lambda I$：
$A 2I = egin{pmatrix} 42 & 1 \ 2 & 32 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 end{pmatrix}$

2. 求解方程组 $(A 2I) v = 0$：
$egin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} v_1 \ v_2 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$
这展开为两个方程：
$2v_1 + v_2 = 0$
$2v_1 + v_2 = 0$
这两个方程是相同的，说明只有一个独立的约束条件。
从 $2v_1 + v_2 = 0$，我们可以得到 $v_2 = 2v_1$。
如果我们设 $v_1 = 1$，那么 $v_2 = 2$。
所以，一个对应的特征向量是 $v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix}$。
任何非零的倍数 $egin{pmatrix} c \ 2c end{pmatrix}$（其中 $c eq 0$）都是该特征值的特征向量。

求解 $lambda_2 = 5$ 的特征向量：

1. 代入 $lambda=5$ 到 $A lambda I$：
$A 5I = egin{pmatrix} 45 & 1 \ 2 & 35 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & 2 end{pmatrix}$

2. 求解方程组 $(A 5I) v = 0$：
$egin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & 2 end{pmatrix} egin{pmatrix} v_1 \ v_2 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$
这展开为：
$v_1 + v_2 = 0 implies v_2 = v_1$
$2v_1 2v_2 = 0 implies v_2 = v_1$
同样，只有一个独立的约束条件。
如果设 $v_1 = 1$，那么 $v_2 = 1$。
所以，一个对应的特征向量是 $v_2 = egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$。

总结：
求解方阵的特征值，核心在于构造并求解特征方程 $det(A lambda I) = 0$。对于小尺寸矩阵，可以直接计算。对于大尺寸矩阵，则需要依赖数值算法。求解了特征值后，再代回 $(A lambda I) v = 0$ 来求解对应的特征向量。

希望这个详细的解释对您有帮助！如果您有更具体的问题或想了解特定情况下的求解方法，欢迎继续提出。

对于 矩阵 ，的确有较为简便的特征值、特征向量计算的方法：

理论

容易证明对于秩 1 矩阵存在列向量 满足

命题 1 满足上述条件的 是秩 1 矩阵 的特征向量， 为其特征根；若 ，则 是 的特征向量，并且 对应的特征值为 .

证：

若 属于 的正交补空间，即 则

注：

而 ，所以 有 个线性相关的特征向量：

其中 ，这就是 特征系的全部构成.

这个结论可以做一点推广：

命题 2 若存在某 使得 ，于是，则 的特征向量与 相同；特征根为 （重数 1）， （重数 ）.

证：由命题 1 可知

若 则

实例

下面我做一个示范：

取

所以 是特征向量，所对应的特征根为

而 所对应的特征向量：

很容易验证它们与 正交.