如何确定蒙卡模拟中vortex位置？
在蒙特卡洛模拟中确定涡旋位置，这确实是一个既考验理论功底又需要细致操作的挑战。这不仅仅是简单地“找到”一个点，更像是通过大量的随机抽样，去“描绘”出涡旋存在的概率分布，并从中推断出最可能的位置或特性。
想象一下，我们不是在实验室里用仪器去捕捉真实的涡旋，而是在一个由无数随机事件构成的巨大“棋盘”上，寻找那些“棋子”聚集、形成某种特定模式的区域。这“棋子”就是我们模拟中的基本单元，比如分子、粒子，或者是其他离散化的物理量。
核心思路：概率与统计的交织
蒙特卡洛模拟的精髓在于“随机性”和“统计性”。我们不会给出一个确定的指令去“找到涡旋”，而是通过反复、海量的随机过程，去观察系统演化的结果。涡旋，作为一种特殊的动力学现象，通常伴随着特定的能量、动量或某种物质的局部聚集。我们的任务就是通过模拟这些随机过程，捕捉到这些与涡旋相关的“信号”。
具体如何操作？
1. 定义“涡旋”的特征：
最直接的：速度场。 涡旋的核心特征是流体的旋转。在模拟中，我们可以跟踪每个粒子的速度。如果在一个区域内，大量粒子的速度矢量呈现出围绕某一点或某条轴线旋转的趋势，那么这个区域就可能存在涡旋。
能量分布： 涡旋往往伴随着动能的局部聚集，尤其是在旋转的区域。我们可以计算模拟区域内各个点的动能密度。涡旋区域可能会表现出异常高的动能。
角动量： 涡旋自然会产生净角动量。我们可以定义一个区域，计算该区域内所有粒子的总角动量。如果这个总角动量远大于零，且有明确的旋转方向，则表明存在涡旋。
涡度（Vorticity）： 这是最直接的物理量。在流体力学中，涡度定义为速度场的旋度（$omega = abla imes mathbf{v}$）。在离散化的模拟中，我们可以通过计算邻近粒子速度的差异来近似计算涡度。涡度值高的区域就是涡旋存在的区域。
物质/能量的“捕获”： 在某些模拟中，涡旋可能像一个小型的“捕获器”，将周围的物质或能量聚集起来。观察物质密度或能量密度的局部极大值，也可以作为寻找涡旋线索。
2. 设计蒙特卡洛算法：
状态空间采样： 模拟的核心是将系统的状态（比如粒子位置、速度、能量等）进行采样。这可以通过各种蒙特卡洛方法实现，例如：
MetropolisHastings算法： 适用于采样具有特定概率分布的状态。我们可以定义一个“状态”为系统在某个时刻的构型，然后根据某种能量函数（可能与涡旋的形成有关）来决定是否接受新的构型。
分子动力学（MD）的随机性引入： 尽管MD本身是确定性的（给定初始条件），但可以通过引入随机力（如Langevin动力学）或随机扰动来模拟热涨落，从而间接通过蒙特卡洛方法来理解系统的统计行为。
步长与时间尺度： 模拟的步长（每次随机变化的大小）和模拟的总时间尺度至关重要。如果步长太小，可能无法捕捉到涡旋的形成和演化；如果太大，又可能错过细节。需要根据问题的物理尺度来调整。
3. 从海量数据中提取“涡旋信号”：
阈值法： 这是最直接的方法。计算出模拟区域内每个点的涡度值（或动能密度、角动量密度等）。设定一个阈值，高于这个阈值的区域就被认为是潜在的涡旋区域。
挑战： 如何设定合适的阈值？过高会漏掉弱涡旋，过低会包含大量噪声。需要根据物理背景进行反复试验和调整。
聚类算法： 将具有相似属性（比如速度方向、涡度大小）的粒子或网格点“聚类”起来。如果某个区域内的粒子被聚类成一个旋转的结构，就可以认为那里存在涡旋。
常用算法： DBSCAN (DensityBased Spatial Clustering of Applications with Noise) 可以很好地识别出具有一定密度的、空间上聚集的区域。
傅里叶分析/谱分析： 将速度场或涡度场进行傅里叶变换，涡旋通常在特定的空间频率上表现出明显的信号。通过分析频谱，可以识别出具有周期性旋转特征的区域。
模式识别： 训练机器学习模型来识别模拟数据中的涡旋模式。例如，可以生成已知涡旋和非涡旋区域的模拟数据，然后训练一个分类器来识别新的数据。
轨迹分析： 跟踪单个粒子的运动轨迹。如果粒子的轨迹呈现出围绕某一点打转的螺旋形，或者集体表现出环状运动，就可以判断涡旋的存在。
举个更具体的例子：模拟高温超导中的涡旋
在高温超导体中，磁通涡旋（vortex）是电流流过时产生的。在蒙特卡洛模拟中，我们可能关注的是：
模型： 可能是基于伊辛模型、XY模型或更复杂的量子模型。
状态： 每个格点上的磁化方向或超导序参量。
能量： 磁能、相互作用能、表面能等。
蒙特卡洛步骤： 随机翻转格点上的磁化方向，或者随机改变超导序参量的相位。
确定涡旋位置：
定义“涡旋芯”： 在超导体中，涡旋芯通常是超导性消失的区域，对应于序参量模（magnitude）的局部极小值。我们可以计算序参量模在模拟网格上的分布，然后寻找其局部极小值点。
磁通量密度： 涡旋的核心是磁通量的“量子”，即磁通量量子$Phi_0 = h/(2e)$。我们可以模拟磁场在超导体中的分布，寻找磁场集中的区域。在离散模型中，可以计算通过某个回路的磁通量，如果这个磁通量是$Phi_0$的整数倍，则可能包含一个涡旋。
电流密度： 涡旋周围会产生环状的超导电流。我们可以计算模拟网格上电流矢量的散度，电流密度大的区域可能就与涡旋相关。
相位的“卷绕数”： 如果我们模拟的是超导序参量的相位，那么涡旋的核心区域会有一个相位“卷绕”的奇点。通过计算序参量相位的梯度，可以识别出相位发生剧烈变化的区域，这些区域通常对应于涡旋中心。
需要注意的点：
尺寸效应： 模拟的系统尺寸可能会影响涡旋的形成和行为。
边界条件： 边界条件的设定也会对涡旋的分布产生影响。
参数敏感性： 蒙特卡洛模拟的结果往往对模拟参数（如温度、磁场强度、步长、采样次数等）非常敏感，需要仔细调整和验证。
后处理的重要性： 蒙特卡洛模拟产生的是海量数据，如何有效地进行后处理以提取有意义的物理信息，是确定涡旋位置的关键。这需要结合物理直觉和数据分析工具。
总而言之，在蒙特卡洛模拟中确定涡旋位置，是一个从海量随机抽样中寻找特定统计规律的过程。它需要我们首先理解涡旋的物理本质，将其转化为可计算的量，然后设计合适的蒙特卡洛采样策略，最后通过各种数据分析和模式识别技术，从模拟结果中“挖掘”出涡旋存在的证据和位置。这就像是在一片迷雾中，通过无数次的尝试和观察，最终勾勒出隐藏的路径。
想象一下，我们不是在实验室里用仪器去捕捉真实的涡旋，而是在一个由无数随机事件构成的巨大“棋盘”上，寻找那些“棋子”聚集、形成某种特定模式的区域。这“棋子”就是我们模拟中的基本单元，比如分子、粒子，或者是其他离散化的物理量。
核心思路：概率与统计的交织
蒙特卡洛模拟的精髓在于“随机性”和“统计性”。我们不会给出一个确定的指令去“找到涡旋”，而是通过反复、海量的随机过程，去观察系统演化的结果。涡旋，作为一种特殊的动力学现象，通常伴随着特定的能量、动量或某种物质的局部聚集。我们的任务就是通过模拟这些随机过程，捕捉到这些与涡旋相关的“信号”。
具体如何操作？
1. 定义“涡旋”的特征：
最直接的：速度场。 涡旋的核心特征是流体的旋转。在模拟中，我们可以跟踪每个粒子的速度。如果在一个区域内，大量粒子的速度矢量呈现出围绕某一点或某条轴线旋转的趋势，那么这个区域就可能存在涡旋。
能量分布： 涡旋往往伴随着动能的局部聚集，尤其是在旋转的区域。我们可以计算模拟区域内各个点的动能密度。涡旋区域可能会表现出异常高的动能。
角动量： 涡旋自然会产生净角动量。我们可以定义一个区域，计算该区域内所有粒子的总角动量。如果这个总角动量远大于零，且有明确的旋转方向，则表明存在涡旋。
涡度（Vorticity）： 这是最直接的物理量。在流体力学中，涡度定义为速度场的旋度（$omega = abla imes mathbf{v}$）。在离散化的模拟中，我们可以通过计算邻近粒子速度的差异来近似计算涡度。涡度值高的区域就是涡旋存在的区域。
物质/能量的“捕获”： 在某些模拟中，涡旋可能像一个小型的“捕获器”，将周围的物质或能量聚集起来。观察物质密度或能量密度的局部极大值，也可以作为寻找涡旋线索。
2. 设计蒙特卡洛算法：
状态空间采样： 模拟的核心是将系统的状态（比如粒子位置、速度、能量等）进行采样。这可以通过各种蒙特卡洛方法实现，例如：
MetropolisHastings算法： 适用于采样具有特定概率分布的状态。我们可以定义一个“状态”为系统在某个时刻的构型，然后根据某种能量函数（可能与涡旋的形成有关）来决定是否接受新的构型。
分子动力学（MD）的随机性引入： 尽管MD本身是确定性的（给定初始条件），但可以通过引入随机力（如Langevin动力学）或随机扰动来模拟热涨落，从而间接通过蒙特卡洛方法来理解系统的统计行为。
步长与时间尺度： 模拟的步长（每次随机变化的大小）和模拟的总时间尺度至关重要。如果步长太小，可能无法捕捉到涡旋的形成和演化；如果太大，又可能错过细节。需要根据问题的物理尺度来调整。
3. 从海量数据中提取“涡旋信号”：
阈值法： 这是最直接的方法。计算出模拟区域内每个点的涡度值（或动能密度、角动量密度等）。设定一个阈值，高于这个阈值的区域就被认为是潜在的涡旋区域。
挑战： 如何设定合适的阈值？过高会漏掉弱涡旋，过低会包含大量噪声。需要根据物理背景进行反复试验和调整。
聚类算法： 将具有相似属性（比如速度方向、涡度大小）的粒子或网格点“聚类”起来。如果某个区域内的粒子被聚类成一个旋转的结构，就可以认为那里存在涡旋。
常用算法： DBSCAN (DensityBased Spatial Clustering of Applications with Noise) 可以很好地识别出具有一定密度的、空间上聚集的区域。
傅里叶分析/谱分析： 将速度场或涡度场进行傅里叶变换，涡旋通常在特定的空间频率上表现出明显的信号。通过分析频谱，可以识别出具有周期性旋转特征的区域。
模式识别： 训练机器学习模型来识别模拟数据中的涡旋模式。例如，可以生成已知涡旋和非涡旋区域的模拟数据，然后训练一个分类器来识别新的数据。
轨迹分析： 跟踪单个粒子的运动轨迹。如果粒子的轨迹呈现出围绕某一点打转的螺旋形，或者集体表现出环状运动，就可以判断涡旋的存在。
举个更具体的例子：模拟高温超导中的涡旋
在高温超导体中，磁通涡旋（vortex）是电流流过时产生的。在蒙特卡洛模拟中，我们可能关注的是：
模型： 可能是基于伊辛模型、XY模型或更复杂的量子模型。
状态： 每个格点上的磁化方向或超导序参量。
能量： 磁能、相互作用能、表面能等。
蒙特卡洛步骤： 随机翻转格点上的磁化方向，或者随机改变超导序参量的相位。
确定涡旋位置：
定义“涡旋芯”： 在超导体中，涡旋芯通常是超导性消失的区域，对应于序参量模（magnitude）的局部极小值。我们可以计算序参量模在模拟网格上的分布，然后寻找其局部极小值点。
磁通量密度： 涡旋的核心是磁通量的“量子”，即磁通量量子$Phi_0 = h/(2e)$。我们可以模拟磁场在超导体中的分布，寻找磁场集中的区域。在离散模型中，可以计算通过某个回路的磁通量，如果这个磁通量是$Phi_0$的整数倍，则可能包含一个涡旋。
电流密度： 涡旋周围会产生环状的超导电流。我们可以计算模拟网格上电流矢量的散度，电流密度大的区域可能就与涡旋相关。
相位的“卷绕数”： 如果我们模拟的是超导序参量的相位，那么涡旋的核心区域会有一个相位“卷绕”的奇点。通过计算序参量相位的梯度，可以识别出相位发生剧烈变化的区域，这些区域通常对应于涡旋中心。
需要注意的点：
尺寸效应： 模拟的系统尺寸可能会影响涡旋的形成和行为。
边界条件： 边界条件的设定也会对涡旋的分布产生影响。
参数敏感性： 蒙特卡洛模拟的结果往往对模拟参数（如温度、磁场强度、步长、采样次数等）非常敏感，需要仔细调整和验证。
后处理的重要性： 蒙特卡洛模拟产生的是海量数据，如何有效地进行后处理以提取有意义的物理信息，是确定涡旋位置的关键。这需要结合物理直觉和数据分析工具。
总而言之，在蒙特卡洛模拟中确定涡旋位置，是一个从海量随机抽样中寻找特定统计规律的过程。它需要我们首先理解涡旋的物理本质，将其转化为可计算的量，然后设计合适的蒙特卡洛采样策略，最后通过各种数据分析和模式识别技术，从模拟结果中“挖掘”出涡旋存在的证据和位置。这就像是在一片迷雾中，通过无数次的尝试和观察，最终勾勒出隐藏的路径。
网友意见
一个格子上的所有点下标顺序记为1,2,..m（一般逆时针）
如vortex在格子中，会有 大于0（是2pi的整数倍）。antivortex这个值应该是2pi的负整数倍。
然后vortex的位置就大致认为是在格点中心了...虽然这样不准，但如果要算的是vortex对间距的话也还可以接受。毕竟距离小于晶格常数，根本观测不到的vortex对都被忽视掉了嘛...
(这个具体位置确实应该可以进一步优化，不过一时没有想到更简洁的办法。)
Vortex对之间距离的计算...
那我就引自己文章打广告了，vortex 对之间距离统计使用的优化算法也写了，简单说就是最小化系统每对间的能量（~ln(d)）。
这个方法不敢称最佳，但应该已经比较简便。是考虑了如果一对很大vortex中间如果夹了一对很紧密的vortex，物理上是倾向将其分为一大一小而不是两个都很大的（考虑到它们对周围自旋的影响，小的那一对影响范围不会大过外面的）。
文章用的是立方格子，推广到三角格子，六角格子也都可以，不过就得考虑有的格子上的vortex的charge可能不是1。
另外一提，Hungarian Method 复杂度为O(n^3)，临界点（及以上，虽然这时vortex对的能量定义似乎有些不够严格）vortex多的时候配对还是挺烦人的。
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