请问流形上可以定义各类圆锥曲线吗？
在流形上定义圆锥曲线：一次探索
圆锥曲线，这些在平面上优雅勾勒的形状——椭圆、抛物线、双曲线——是我们几何直觉中根深蒂固的存在。然而，当我们跳出欧几里得平面的束缚，将目光投向更为广阔的流形世界时，一个引人入胜的问题浮出水面：我们是否还能在这些弯曲的空间中，如同在平面上一样，自然而然地定义和研究圆锥曲线呢？
答案是肯定的，但过程并非如在平面上那般直接，需要我们运用更抽象的数学工具，并对“圆锥曲线”的本质进行更深刻的理解。
圆锥曲线的本质：二次方程的根
在欧几里得平面 $mathbb{R}^2$ 上，圆锥曲线的经典定义是通过与平面和锥体相交得到的截痕。但从代数角度来看，它们的定义更为普适：圆锥曲线是在二维仿射空间（或嵌入于更高维空间的一个二维子空间）中，由一个二次方程所描述的点的集合。
一个一般的二次方程在二维空间中的形式为：
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$
其中，$A, B, C, D, E, F$ 是系数，并且不全为零。根据系数 $A, B, C$ 的组合（判别式 $B^2 4AC$ 的符号），我们可以区分出椭圆、抛物线和双曲线。
流形：弯曲的画布
流形，简而言之，是局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。例如，一个球面在局部看起来就像一个平面，但整体上是弯曲的。我们研究的流形可以是光滑流形（允许我们进行微积分运算，如求导）或者代数簇（由多项式方程定义的点集）。
将圆锥曲线的概念移植到流形上
要在流形上定义圆锥曲线，我们首先需要一个“画布”——一个足够“平坦”或者我们可以为其定义局部坐标的流形。一般来说，我们会在局部欧几里得流形或者嵌入到欧几里得空间的流形上来进行讨论。
1. 在嵌入的流形上：通过坐标方程
如果我们考虑一个嵌入到高维欧几里得空间 $mathbb{R}^N$ 中的 $m$ 维流形 $M$，并且这个流形可以通过一组局部坐标 $phi: U o mathbb{R}^m$ 来描述，那么我们可以在流形上定义一个局部的二次方程。
假设 $M$ 是嵌入在 $mathbb{R}^3$ 中的一个二维曲面。如果我们能找到一个局部坐标系 $(u, v)$，使得流形上的点可以用 $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ 来参数化，那么我们可以将一个一般的二次方程代入这些参数化的表达式中。
例如，考虑流形 $M$ 上的一个点 $p in M$。如果 $p$ 的局部坐标是 $(u, v)$，那么在流形上定义一个二次方程，其形式可能类似于：
$A(u, v) u^2 + B(u, v) uv + C(u, v) v^2 + D(u, v) u + E(u, v) v + F(u, v) = 0$
在这里，$A, B, C, D, E, F$ 是关于局部坐标 $u, v$ 的函数。如果这些函数是常数，那么我们就是在流形上“画”出了一个与平面上的二次方程形式相同的曲线。
举例：
球面上的“圆锥曲线”： 考虑一个球面 $S^2$。在球面上，我们通常使用球面坐标 $( heta, phi)$。如果我们在球面上定义一个形如 $a heta^2 + b phi^2 + c heta phi + d heta + e phi + f = 0$ 的方程，这并不直接等同于平面上的圆锥曲线，因为 $ heta$ 和 $phi$ 的变化范围受到限制，且它们之间的关系不是线性的。
然而，如果我们将球面视为 $mathbb{R}^3$ 的一个子集，并且考虑一个圆锥体（例如 $x^2 + y^2 z^2 = 0$）与球面的交线。这条交线在三维空间中是一个圆锥曲线，但当它“坐”在二维的球面流形上时，它的性质会发生一些变化。例如，在赤道附近，这部分交线看起来会像一个抛物线或双曲线；但在靠近极点的地方，由于空间的弯曲，相同的方程可能描述出不同的形状，甚至可能不存在。
更严谨地说，在球面上的一个局部区域，我们可以用平面坐标来近似。如果在该局部区域内，一个“圆锥体”与球面的交线可以用平面上的二次方程描述，那么我们就可以说我们在流形上定义了一个“局部圆锥曲线”。
嵌入到 $mathbb{R}^3$ 中的环面： 环面是一个二维流形。如果我们考虑一个环面，并用两个角度参数 $( heta, phi)$ 来描述环面上的点。如果我们在这个参数空间中定义一个二次方程，例如 $a heta^2 + bphi^2 + c hetaphi + d heta + ephi + f = 0$，那么这条曲线在环面上的表现会受到环面本身的曲率和拓扑结构的影响。
2. 在抽象流形上：代数几何的视角
当我们在处理抽象代数簇时，例如由多项式方程定义的点集，圆锥曲线的定义会更加直接。一个代数簇 $X$ 是由一系列多项式方程定义的。如果 $X$ 是一个二维代数簇（即一个代数曲面），并且我们可以在其上选取两个“正则坐标” $x, y$，使得 $X$ 的一个局部区域同构于 $mathbb{A}^2$（二维仿射空间），那么我们可以直接在该局部区域内定义一个二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$。
这种方法将圆锥曲线的定义与代数簇的局部结构联系起来。如果一个流形（或者说一个代数簇）的局部是“平坦”的，并且允许我们定义非退化的二次方程，那么我们就可以在该局部上“看到”圆锥曲线。
这里的关键在于“局部”。流形允许我们在局部使用欧几里得坐标，就像地图的投影一样。在一个小区域内，圆锥曲线的性质会比较接近平面上的性质。然而，当我们在流形上“走得”更远，跨越不同的局部坐标系，或者流形本身的曲率很大时，同一个方程描述的“曲线”在整体上的行为可能会非常复杂，甚至不再具有我们熟悉的圆锥曲线的形状。
3. 另一种理解：二次映射
我们可以将圆锥曲线的定义看作是一种二次映射。在平面上，一个二次方程定义了 $mathbb{R}^2$ 到 $mathbb{R}$ 的一个二次函数 $f(x, y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F$，而圆锥曲线就是 $f(x, y) = 0$ 的零点集。
在流形 $M$ 上，我们可以考虑从 $M$ 到某个欧几里得空间的二次映射。如果 $M$ 是一个光滑流形，我们可以定义一个光滑函数 $f: M o mathbb{R}$，并且在某些局部坐标下，这个函数的形式接近于一个二次多项式。那么 $f^{1}(0)$ 的零点集就可以被看作是流形上的一个“圆锥曲线”。
举例：
黎曼流形上的二次测地线： 虽然测地线本身是“直”的（在流形意义上），但我们也可以考虑一个二次函数定义在流形上的测地线。或者，更准确地说，如果我们考虑流形上某个点 $p$ 的指数映射 $exp_p: T_p M o M$，其中 $T_p M$ 是在 $p$ 点的切空间（一个欧几里得向量空间），那么在切空间中我们可以定义一个二次方程来描述点的集合。然后，通过指数映射将这些点映射回流形上，得到的集合就是我们考虑的“圆锥曲线”。
对于一个黎曼流形，切空间 $T_p M$ 是一个欧几里得向量空间。因此，我们可以在 $T_p M$ 中定义标准的圆锥曲线。这些圆锥曲线通过指数映射 $exp_p$ 被“带”到了流形 $M$ 上。在 $p$ 点附近，这些曲线的行为会非常类似于平面上的圆锥曲线。
挑战与区别
尽管我们可以在流形上定义这些“广义”的圆锥曲线，但它们与平面上的圆锥曲线存在一些关键区别：
全局性： 在平面上，一个二次方程定义了一个全局的圆锥曲线。但在流形上，特别是在非平凡的流形上（例如，具有非零曲率或非平凡拓扑的流形），一个局部定义的二次方程可能无法在全局上保持其“圆锥曲线”的性质，或者在全局上会有意想不到的行为。
依赖性： 流形上定义的“圆锥曲线”通常会依赖于所选取的局部坐标系、嵌入方式，或者特定的映射（如指数映射）。
几何形状： 即使是在局部，由于流形的曲率，一条由二次方程定义的曲线在视觉上可能不再是我们熟悉的椭圆、抛物线或双曲线的“形状”。它们可能被“拉伸”或“压缩”。
结论
总而言之，我们确实可以在流形上定义圆锥曲线，但这需要我们超越平面上的直观理解，转向更抽象的数学工具。核心思想是将圆锥曲线理解为局部上由二次方程描述的点的集合，或者通过二次映射到欧几里得空间来定义。
从代数几何的角度来看，在允许定义局部坐标的流形（如光滑流形或代数簇）上，我们可以通过在局部坐标系中应用标准的二次方程来“绘制”出圆锥曲线。
从微分几何的角度来看，我们可以利用流形上的切空间（它本身就是一个欧几里得空间）来定义标准的圆锥曲线，然后通过指数映射将其“搬运”到流形上。
因此，虽然流形的弯曲性为圆锥曲线的定义带来了挑战，但也为我们提供了更丰富、更广阔的视角来理解这些基本几何形状，并将它们推广到更普遍的空间中。它们不再仅仅是平面上的截痕，而是隐藏在弯曲画布上的二次模式，等待我们用更精妙的数学语言去揭示。
圆锥曲线，这些在平面上优雅勾勒的形状——椭圆、抛物线、双曲线——是我们几何直觉中根深蒂固的存在。然而，当我们跳出欧几里得平面的束缚，将目光投向更为广阔的流形世界时，一个引人入胜的问题浮出水面：我们是否还能在这些弯曲的空间中，如同在平面上一样，自然而然地定义和研究圆锥曲线呢？
答案是肯定的，但过程并非如在平面上那般直接，需要我们运用更抽象的数学工具，并对“圆锥曲线”的本质进行更深刻的理解。
圆锥曲线的本质：二次方程的根
在欧几里得平面 $mathbb{R}^2$ 上，圆锥曲线的经典定义是通过与平面和锥体相交得到的截痕。但从代数角度来看，它们的定义更为普适：圆锥曲线是在二维仿射空间（或嵌入于更高维空间的一个二维子空间）中，由一个二次方程所描述的点的集合。
一个一般的二次方程在二维空间中的形式为：
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$
其中，$A, B, C, D, E, F$ 是系数，并且不全为零。根据系数 $A, B, C$ 的组合（判别式 $B^2 4AC$ 的符号），我们可以区分出椭圆、抛物线和双曲线。
流形：弯曲的画布
流形，简而言之，是局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。例如，一个球面在局部看起来就像一个平面，但整体上是弯曲的。我们研究的流形可以是光滑流形（允许我们进行微积分运算，如求导）或者代数簇（由多项式方程定义的点集）。
将圆锥曲线的概念移植到流形上
要在流形上定义圆锥曲线，我们首先需要一个“画布”——一个足够“平坦”或者我们可以为其定义局部坐标的流形。一般来说，我们会在局部欧几里得流形或者嵌入到欧几里得空间的流形上来进行讨论。
1. 在嵌入的流形上：通过坐标方程
如果我们考虑一个嵌入到高维欧几里得空间 $mathbb{R}^N$ 中的 $m$ 维流形 $M$，并且这个流形可以通过一组局部坐标 $phi: U o mathbb{R}^m$ 来描述，那么我们可以在流形上定义一个局部的二次方程。
假设 $M$ 是嵌入在 $mathbb{R}^3$ 中的一个二维曲面。如果我们能找到一个局部坐标系 $(u, v)$，使得流形上的点可以用 $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ 来参数化，那么我们可以将一个一般的二次方程代入这些参数化的表达式中。
例如，考虑流形 $M$ 上的一个点 $p in M$。如果 $p$ 的局部坐标是 $(u, v)$，那么在流形上定义一个二次方程，其形式可能类似于：
$A(u, v) u^2 + B(u, v) uv + C(u, v) v^2 + D(u, v) u + E(u, v) v + F(u, v) = 0$
在这里，$A, B, C, D, E, F$ 是关于局部坐标 $u, v$ 的函数。如果这些函数是常数，那么我们就是在流形上“画”出了一个与平面上的二次方程形式相同的曲线。
举例：
球面上的“圆锥曲线”： 考虑一个球面 $S^2$。在球面上，我们通常使用球面坐标 $( heta, phi)$。如果我们在球面上定义一个形如 $a heta^2 + b phi^2 + c heta phi + d heta + e phi + f = 0$ 的方程，这并不直接等同于平面上的圆锥曲线，因为 $ heta$ 和 $phi$ 的变化范围受到限制，且它们之间的关系不是线性的。
然而，如果我们将球面视为 $mathbb{R}^3$ 的一个子集，并且考虑一个圆锥体（例如 $x^2 + y^2 z^2 = 0$）与球面的交线。这条交线在三维空间中是一个圆锥曲线，但当它“坐”在二维的球面流形上时，它的性质会发生一些变化。例如，在赤道附近，这部分交线看起来会像一个抛物线或双曲线；但在靠近极点的地方，由于空间的弯曲，相同的方程可能描述出不同的形状，甚至可能不存在。
更严谨地说，在球面上的一个局部区域，我们可以用平面坐标来近似。如果在该局部区域内，一个“圆锥体”与球面的交线可以用平面上的二次方程描述，那么我们就可以说我们在流形上定义了一个“局部圆锥曲线”。
嵌入到 $mathbb{R}^3$ 中的环面： 环面是一个二维流形。如果我们考虑一个环面，并用两个角度参数 $( heta, phi)$ 来描述环面上的点。如果我们在这个参数空间中定义一个二次方程，例如 $a heta^2 + bphi^2 + c hetaphi + d heta + ephi + f = 0$，那么这条曲线在环面上的表现会受到环面本身的曲率和拓扑结构的影响。
2. 在抽象流形上：代数几何的视角
当我们在处理抽象代数簇时，例如由多项式方程定义的点集，圆锥曲线的定义会更加直接。一个代数簇 $X$ 是由一系列多项式方程定义的。如果 $X$ 是一个二维代数簇（即一个代数曲面），并且我们可以在其上选取两个“正则坐标” $x, y$，使得 $X$ 的一个局部区域同构于 $mathbb{A}^2$（二维仿射空间），那么我们可以直接在该局部区域内定义一个二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$。
这种方法将圆锥曲线的定义与代数簇的局部结构联系起来。如果一个流形（或者说一个代数簇）的局部是“平坦”的，并且允许我们定义非退化的二次方程，那么我们就可以在该局部上“看到”圆锥曲线。
这里的关键在于“局部”。流形允许我们在局部使用欧几里得坐标，就像地图的投影一样。在一个小区域内，圆锥曲线的性质会比较接近平面上的性质。然而，当我们在流形上“走得”更远，跨越不同的局部坐标系，或者流形本身的曲率很大时，同一个方程描述的“曲线”在整体上的行为可能会非常复杂，甚至不再具有我们熟悉的圆锥曲线的形状。
3. 另一种理解：二次映射
我们可以将圆锥曲线的定义看作是一种二次映射。在平面上，一个二次方程定义了 $mathbb{R}^2$ 到 $mathbb{R}$ 的一个二次函数 $f(x, y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F$，而圆锥曲线就是 $f(x, y) = 0$ 的零点集。
在流形 $M$ 上，我们可以考虑从 $M$ 到某个欧几里得空间的二次映射。如果 $M$ 是一个光滑流形，我们可以定义一个光滑函数 $f: M o mathbb{R}$，并且在某些局部坐标下，这个函数的形式接近于一个二次多项式。那么 $f^{1}(0)$ 的零点集就可以被看作是流形上的一个“圆锥曲线”。
举例：
黎曼流形上的二次测地线： 虽然测地线本身是“直”的（在流形意义上），但我们也可以考虑一个二次函数定义在流形上的测地线。或者，更准确地说，如果我们考虑流形上某个点 $p$ 的指数映射 $exp_p: T_p M o M$，其中 $T_p M$ 是在 $p$ 点的切空间（一个欧几里得向量空间），那么在切空间中我们可以定义一个二次方程来描述点的集合。然后，通过指数映射将这些点映射回流形上，得到的集合就是我们考虑的“圆锥曲线”。
对于一个黎曼流形，切空间 $T_p M$ 是一个欧几里得向量空间。因此，我们可以在 $T_p M$ 中定义标准的圆锥曲线。这些圆锥曲线通过指数映射 $exp_p$ 被“带”到了流形 $M$ 上。在 $p$ 点附近，这些曲线的行为会非常类似于平面上的圆锥曲线。
挑战与区别
尽管我们可以在流形上定义这些“广义”的圆锥曲线，但它们与平面上的圆锥曲线存在一些关键区别：
全局性： 在平面上，一个二次方程定义了一个全局的圆锥曲线。但在流形上，特别是在非平凡的流形上（例如，具有非零曲率或非平凡拓扑的流形），一个局部定义的二次方程可能无法在全局上保持其“圆锥曲线”的性质，或者在全局上会有意想不到的行为。
依赖性： 流形上定义的“圆锥曲线”通常会依赖于所选取的局部坐标系、嵌入方式，或者特定的映射（如指数映射）。
几何形状： 即使是在局部，由于流形的曲率，一条由二次方程定义的曲线在视觉上可能不再是我们熟悉的椭圆、抛物线或双曲线的“形状”。它们可能被“拉伸”或“压缩”。
结论
总而言之，我们确实可以在流形上定义圆锥曲线，但这需要我们超越平面上的直观理解，转向更抽象的数学工具。核心思想是将圆锥曲线理解为局部上由二次方程描述的点的集合，或者通过二次映射到欧几里得空间来定义。
从代数几何的角度来看，在允许定义局部坐标的流形（如光滑流形或代数簇）上，我们可以通过在局部坐标系中应用标准的二次方程来“绘制”出圆锥曲线。
从微分几何的角度来看，我们可以利用流形上的切空间（它本身就是一个欧几里得空间）来定义标准的圆锥曲线，然后通过指数映射将其“搬运”到流形上。
因此，虽然流形的弯曲性为圆锥曲线的定义带来了挑战，但也为我们提供了更丰富、更广阔的视角来理解这些基本几何形状，并将它们推广到更普遍的空间中。它们不再仅仅是平面上的截痕，而是隐藏在弯曲画布上的二次模式，等待我们用更精妙的数学语言去揭示。
网友意见
可以，借用圆锥曲线的准线 - 焦点定义，由黎曼度量可以给出。有时间我可以补充一点简单的例子。
- 球面
设准线是球面赤道 ，设焦点的坐标 ，设动点 坐标 ，到 上最近的一点为 ，那么由圆锥曲线的定义：
其中 表示离心率。代入得到方程
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