圆锥体的体积公式是怎么推导出来的？
圆锥体的体积，我们生活里接触得非常多，比如甜筒冰淇淋，比如尖尖的帽子，再比如教堂里那种高高的穹顶。那么这个圆锥体的体积到底是怎么算出来的呢？它可不是凭空冒出来的数字，而是有严谨的数学推导过程的。今天我们就来好好聊聊这个推导过程，保证你听完能把它深深印在脑子里。
我们要推导圆锥体的体积公式，最常用、也最容易理解的方法，就是利用积分的思想。当然，如果你对积分还不太熟悉，别担心，我尽量用最直观的方式来解释。
核心思想：化繁为简，累积微小
想象一下，我们想知道一整块蛋糕（圆锥体）有多大。直接测量它有点困难，但如果把蛋糕切成很多很多非常非常薄的片，比如一片片的圆盘，然后测量每一片圆盘的体积再加起来，是不是就很容易了？这，就是积分的核心思想——把一个复杂的整体，分解成无数个简单的小部分，计算出小部分的量，然后累加起来，得到整体的量。
圆锥体是什么样的？
我们先定义一下圆锥体。一个圆锥体有一个底面（一个圆），和一个顶点（一个点）。从顶点到底面的垂直距离，我们称之为圆锥体的高（用 $h$ 表示）。圆锥体底面的半径我们用 $r$ 表示。
开始推导：切片！
我们设想，把圆锥体从顶点到底面，垂直于高线，切成无数个薄薄的圆片。每一片都可以看作是一个小小的圆柱体。
让我们把圆锥体的顶点放在坐标系的 $y$ 轴上，顶点在 $(0, h)$ 处（这里的 $y$ 轴代表高度），底面在 $xy$ 平面上，圆心在原点 $(0, 0)$，半径是 $r$。这样设定是为了方便我们描述每一层切片的位置和大小。
现在，我们从顶点往底面看，选择一个高度 $y$。在这个高度 $y$ 处，我们切一刀。这一刀切出来的是一个什么形状呢？它肯定是一个圆。这个圆的半径是多少呢？
关键一步：找到切片圆的半径与高度的关系
我们知道，圆锥体是“向上收缩”的。在顶点处，半径是0；在底面处，半径是 $r$。我们截取的这个高度为 $y$ 的圆片，它距离顶点的高度是 $hy$ （如果我们以底部为 $y=0$ 来计算，那么距离顶点就是 $y$；反过来，如果我们以顶点为 $y=0$，则距离顶点为 $y$）。为了方便推导，我们还是设顶点在 $(0,0)$，底面在 $y=h$ 处，底面半径为 $r$。
现在，我们考虑在高度为 $y$ 的地方（从顶点算起， $0 le y le h$），截出一个小圆片。这个小圆片的半径我们称之为 $r(y)$。
我们来看一下圆锥体侧面的形状。如果把圆锥体的侧面展开，它是一个扇形。但是我们现在关注的是它的高度和半径的关系。我们可以想象，从顶点到底面的这条线（母线）是一条直线。
考虑一个截面，这个截面包含圆锥体的顶点和底面圆的一条直径。这个截面是一个等腰三角形。顶点在 $(0,0)$，底边在 $y=h$ 处，端点是 $(r, h)$ 和 $(r, h)$。
现在我们来看高度为 $y$ 的那个小圆片。它所在的截面，也是一个等腰三角形，这个小三角形的顶点在 $(0,0)$，底边是在高度 $y$ 处，也就是在 $y$ 轴上的点 $(0,y)$ 处。这个小圆片的半径就是这个小三角形腰上的横向距离，也就是 $r(y)$。
这两个三角形是相似三角形！这是非常关键的一点。
上面的大三角形（包含整个圆锥体）的高度是 $h$，底边（直径）的一半是 $r$。
我们截取的高度为 $y$ 的小三角形，它的高度是 $y$，底边的一半就是 $r(y)$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例：
$$ frac{r(y)}{y} = frac{r}{h} $$
通过这个比例关系，我们就可以得出，在高度 $y$ 处的截面圆的半径 $r(y)$ 是：
$$ r(y) = frac{r}{h} y $$
看到了吗？小圆片的半径是随着高度 $y$ 线性增长的。
计算小圆片的体积
我们现在知道，在高度 $y$ 处的这个小圆片，它的半径是 $r(y) = frac{r}{h} y$。
我们将这个小圆片想象成一个非常非常薄的圆柱体。假设它的厚度是无限小的，我们用 $dy$ 来表示这个无穷小的厚度（想象成一个非常非常薄的硬币）。
那么，这个小圆柱体的体积 $dV$ 是多少呢？
圆柱体的体积是：底面积 × 高度。
这里的底面积就是半径为 $r(y)$ 的圆的面积，即 $pi [r(y)]^2$。
所以，小圆柱体的体积是：
$$ dV = pi [r(y)]^2 dy $$
把我们刚才得到的 $r(y) = frac{r}{h} y$ 代入：
$$ dV = pi left(frac{r}{h} y ight)^2 dy $$
$$ dV = pi frac{r^2}{h^2} y^2 dy $$
累加所有的小圆片体积（积分）
现在，我们有了每一个无限小的圆片体积的表达式。我们想要得到整个圆锥体的体积 $V$，只需要把所有这些小圆片的体积加起来。
由于我们是从顶点（高度 $y=0$）一直累加到底面（高度 $y=h$），所以我们需要对 $dV$ 从 $y=0$ 积分到 $y=h$：
$$ V = int_{0}^{h} dV $$
$$ V = int_{0}^{h} pi frac{r^2}{h^2} y^2 dy $$
在积分符号前面， $pi$、 $r$ 和 $h$ 都是常数（圆锥体一旦确定，它们的半径和高就是固定的），我们可以把它们提出来：
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} int_{0}^{h} y^2 dy $$
现在我们来计算这个积分：$int y^2 dy$ 的结果是 $frac{1}{3} y^3$。
所以，
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} left[ frac{1}{3} y^3 ight]_{0}^{h} $$
这里的方括号表示我们需要把积分的上限和下限代入计算结果，然后相减。
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} left( frac{1}{3} h^3 frac{1}{3} (0)^3 ight) $$
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} left( frac{1}{3} h^3 ight) $$
最后一步，我们化简一下：
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} frac{1}{3} h^3 $$
$$ V = frac{1}{3} pi r^2 h $$
瞧！我们成功地推导出了圆锥体的体积公式：体积 $V = frac{1}{3} pi r^2 h$。
这个公式告诉我们，圆锥体的体积是同底同高圆柱体体积的三分之一。是不是很有趣？
用另一种方式理解（几何直观）
虽然积分是严谨的数学证明，但我们可以用一种更直观的几何方式来感受一下为什么是三分之一。
想象一下，我们有一个圆柱体，它的底面半径是 $r$，高是 $h$。它的体积是 $pi r^2 h$。
现在，我们在这个圆柱体内部，放入一个同样的圆锥体，让它的底面和圆柱体的底面重合，顶点也在圆柱体的一端。
如果我们可以找到三个这样的圆锥体，正好可以填满这个圆柱体，那么圆锥体的体积自然就是圆柱体的 $frac{1}{3}$ 了。
古希腊的数学家欧多克索斯就曾证明过这一点。他的证明方法是说，你可以把一个圆锥体分割成很多小块，然后通过重新组合，可以拼成三个与它体积相等的“尖塔”，而这三个“尖塔”恰好可以组成一个与圆锥体同底同高的圆柱体。这听起来有点抽象，但大致意思是说，圆锥体确实是同底同高圆柱体体积的三分之一。
还有一种更形象的实验：找一个圆锥体容器和一个同底同高的圆柱体容器。往圆锥体容器里装沙子（或者水），然后倒进圆柱体容器里。你会发现，需要倒满圆锥体容器三次，才能把圆柱体容器装满。这从实践上验证了圆锥体的体积是圆柱体的 $frac{1}{3}$。
总结一下推导过程：
1. 核心思想： 将圆锥体视为无数个无限薄的圆片累加而成。
2. 建立坐标系： 将圆锥体放在坐标系中，方便描述每一层的尺寸。
3. 找到关键关系： 利用相似三角形的原理，确定任意高度 $y$ 处的截面圆半径 $r(y)$ 与圆锥体整体半径 $r$ 和高 $h$ 的关系：$r(y) = frac{r}{h} y$。
4. 计算小部分体积： 将这个截面圆视为一个薄圆柱体，其体积 $dV = pi [r(y)]^2 dy = pi frac{r^2}{h^2} y^2 dy$。
5. 积分累加： 将所有这些无限小的体积从顶点到顶面积分：$V = int_{0}^{h} pi frac{r^2}{h^2} y^2 dy$。
6. 求解： 通过计算积分，最终得到圆锥体的体积公式 $V = frac{1}{3} pi r^2 h$。
整个推导过程，从最基本的几何形状的认识，到利用微积分的强大工具，最终得出简洁而优美的公式，充满了数学的智慧和魅力。下次你看到甜筒冰淇淋，或者戴上尖顶帽子的时候，不妨想想这个公式是怎么来的吧！
我们要推导圆锥体的体积公式，最常用、也最容易理解的方法，就是利用积分的思想。当然，如果你对积分还不太熟悉，别担心，我尽量用最直观的方式来解释。
核心思想：化繁为简，累积微小
想象一下，我们想知道一整块蛋糕（圆锥体）有多大。直接测量它有点困难，但如果把蛋糕切成很多很多非常非常薄的片，比如一片片的圆盘，然后测量每一片圆盘的体积再加起来，是不是就很容易了？这，就是积分的核心思想——把一个复杂的整体，分解成无数个简单的小部分，计算出小部分的量，然后累加起来，得到整体的量。
圆锥体是什么样的？
我们先定义一下圆锥体。一个圆锥体有一个底面（一个圆），和一个顶点（一个点）。从顶点到底面的垂直距离，我们称之为圆锥体的高（用 $h$ 表示）。圆锥体底面的半径我们用 $r$ 表示。
开始推导：切片！
我们设想，把圆锥体从顶点到底面，垂直于高线，切成无数个薄薄的圆片。每一片都可以看作是一个小小的圆柱体。
让我们把圆锥体的顶点放在坐标系的 $y$ 轴上，顶点在 $(0, h)$ 处（这里的 $y$ 轴代表高度），底面在 $xy$ 平面上，圆心在原点 $(0, 0)$，半径是 $r$。这样设定是为了方便我们描述每一层切片的位置和大小。
现在，我们从顶点往底面看，选择一个高度 $y$。在这个高度 $y$ 处，我们切一刀。这一刀切出来的是一个什么形状呢？它肯定是一个圆。这个圆的半径是多少呢？
关键一步：找到切片圆的半径与高度的关系
我们知道，圆锥体是“向上收缩”的。在顶点处，半径是0；在底面处，半径是 $r$。我们截取的这个高度为 $y$ 的圆片，它距离顶点的高度是 $hy$ （如果我们以底部为 $y=0$ 来计算，那么距离顶点就是 $y$；反过来，如果我们以顶点为 $y=0$，则距离顶点为 $y$）。为了方便推导，我们还是设顶点在 $(0,0)$，底面在 $y=h$ 处，底面半径为 $r$。
现在，我们考虑在高度为 $y$ 的地方（从顶点算起， $0 le y le h$），截出一个小圆片。这个小圆片的半径我们称之为 $r(y)$。
我们来看一下圆锥体侧面的形状。如果把圆锥体的侧面展开，它是一个扇形。但是我们现在关注的是它的高度和半径的关系。我们可以想象，从顶点到底面的这条线（母线）是一条直线。
考虑一个截面，这个截面包含圆锥体的顶点和底面圆的一条直径。这个截面是一个等腰三角形。顶点在 $(0,0)$，底边在 $y=h$ 处，端点是 $(r, h)$ 和 $(r, h)$。
现在我们来看高度为 $y$ 的那个小圆片。它所在的截面，也是一个等腰三角形，这个小三角形的顶点在 $(0,0)$，底边是在高度 $y$ 处，也就是在 $y$ 轴上的点 $(0,y)$ 处。这个小圆片的半径就是这个小三角形腰上的横向距离，也就是 $r(y)$。
这两个三角形是相似三角形！这是非常关键的一点。
上面的大三角形（包含整个圆锥体）的高度是 $h$，底边（直径）的一半是 $r$。
我们截取的高度为 $y$ 的小三角形，它的高度是 $y$，底边的一半就是 $r(y)$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例：
$$ frac{r(y)}{y} = frac{r}{h} $$
通过这个比例关系，我们就可以得出，在高度 $y$ 处的截面圆的半径 $r(y)$ 是：
$$ r(y) = frac{r}{h} y $$
看到了吗？小圆片的半径是随着高度 $y$ 线性增长的。
计算小圆片的体积
我们现在知道，在高度 $y$ 处的这个小圆片，它的半径是 $r(y) = frac{r}{h} y$。
我们将这个小圆片想象成一个非常非常薄的圆柱体。假设它的厚度是无限小的，我们用 $dy$ 来表示这个无穷小的厚度（想象成一个非常非常薄的硬币）。
那么，这个小圆柱体的体积 $dV$ 是多少呢？
圆柱体的体积是：底面积 × 高度。
这里的底面积就是半径为 $r(y)$ 的圆的面积，即 $pi [r(y)]^2$。
所以，小圆柱体的体积是：
$$ dV = pi [r(y)]^2 dy $$
把我们刚才得到的 $r(y) = frac{r}{h} y$ 代入：
$$ dV = pi left(frac{r}{h} y ight)^2 dy $$
$$ dV = pi frac{r^2}{h^2} y^2 dy $$
累加所有的小圆片体积（积分）
现在，我们有了每一个无限小的圆片体积的表达式。我们想要得到整个圆锥体的体积 $V$，只需要把所有这些小圆片的体积加起来。
由于我们是从顶点（高度 $y=0$）一直累加到底面（高度 $y=h$），所以我们需要对 $dV$ 从 $y=0$ 积分到 $y=h$：
$$ V = int_{0}^{h} dV $$
$$ V = int_{0}^{h} pi frac{r^2}{h^2} y^2 dy $$
在积分符号前面， $pi$、 $r$ 和 $h$ 都是常数（圆锥体一旦确定，它们的半径和高就是固定的），我们可以把它们提出来：
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} int_{0}^{h} y^2 dy $$
现在我们来计算这个积分：$int y^2 dy$ 的结果是 $frac{1}{3} y^3$。
所以，
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} left[ frac{1}{3} y^3 ight]_{0}^{h} $$
这里的方括号表示我们需要把积分的上限和下限代入计算结果，然后相减。
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} left( frac{1}{3} h^3 frac{1}{3} (0)^3 ight) $$
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} left( frac{1}{3} h^3 ight) $$
最后一步，我们化简一下：
$$ V = pi frac{r^2}{h^2} frac{1}{3} h^3 $$
$$ V = frac{1}{3} pi r^2 h $$
瞧！我们成功地推导出了圆锥体的体积公式：体积 $V = frac{1}{3} pi r^2 h$。
这个公式告诉我们，圆锥体的体积是同底同高圆柱体体积的三分之一。是不是很有趣？
用另一种方式理解（几何直观）
虽然积分是严谨的数学证明，但我们可以用一种更直观的几何方式来感受一下为什么是三分之一。
想象一下，我们有一个圆柱体，它的底面半径是 $r$，高是 $h$。它的体积是 $pi r^2 h$。
现在，我们在这个圆柱体内部，放入一个同样的圆锥体，让它的底面和圆柱体的底面重合，顶点也在圆柱体的一端。
如果我们可以找到三个这样的圆锥体，正好可以填满这个圆柱体，那么圆锥体的体积自然就是圆柱体的 $frac{1}{3}$ 了。
古希腊的数学家欧多克索斯就曾证明过这一点。他的证明方法是说，你可以把一个圆锥体分割成很多小块，然后通过重新组合，可以拼成三个与它体积相等的“尖塔”，而这三个“尖塔”恰好可以组成一个与圆锥体同底同高的圆柱体。这听起来有点抽象，但大致意思是说，圆锥体确实是同底同高圆柱体体积的三分之一。
还有一种更形象的实验：找一个圆锥体容器和一个同底同高的圆柱体容器。往圆锥体容器里装沙子（或者水），然后倒进圆柱体容器里。你会发现，需要倒满圆锥体容器三次，才能把圆柱体容器装满。这从实践上验证了圆锥体的体积是圆柱体的 $frac{1}{3}$。
总结一下推导过程：
1. 核心思想： 将圆锥体视为无数个无限薄的圆片累加而成。
2. 建立坐标系： 将圆锥体放在坐标系中，方便描述每一层的尺寸。
3. 找到关键关系： 利用相似三角形的原理，确定任意高度 $y$ 处的截面圆半径 $r(y)$ 与圆锥体整体半径 $r$ 和高 $h$ 的关系：$r(y) = frac{r}{h} y$。
4. 计算小部分体积： 将这个截面圆视为一个薄圆柱体，其体积 $dV = pi [r(y)]^2 dy = pi frac{r^2}{h^2} y^2 dy$。
5. 积分累加： 将所有这些无限小的体积从顶点到顶面积分：$V = int_{0}^{h} pi frac{r^2}{h^2} y^2 dy$。
6. 求解： 通过计算积分，最终得到圆锥体的体积公式 $V = frac{1}{3} pi r^2 h$。
整个推导过程，从最基本的几何形状的认识，到利用微积分的强大工具，最终得出简洁而优美的公式，充满了数学的智慧和魅力。下次你看到甜筒冰淇淋，或者戴上尖顶帽子的时候，不妨想想这个公式是怎么来的吧！
网友意见
我们先来一个物理方法, 再来数学方法.
假设现在有 个圆锥和圆柱, , 我们往这个圆柱空间投点, 计算有多少点在椎体内, 有多少点在椎体外的柱体内, 然后计算椎体内的点占所有点的半分比.
如下代码.
解释一下代码, 我一共进行了一亿次模拟. 矩阵 的 列里放的是 的随机数. 分别用来储存点坐标的 .
计算 , 也就是各个点到中心的距离, 存储在矩阵 的 列中, 并筛去那些没有落在圆 内的点.
这样, 我们就可以得到圆柱内的所有点的个数, 储存在 中
下一步我们就是要统计落在圆锥内的点的个数.
对于一个半径为 , 高度为 的圆锥来说, 其在 处的半径为 (相似三角形可证). 所有如果一个点落在椎体内, 一定有
而我们代码里面的 , 所以写成代码就如下所示.
筛去没有落在椎体内的点, 并且统计剩下的点数.
用椎体的点数除以圆柱的所有点数, 就得到了椎体和圆柱的体积之比.
clear point=zeros(1e8,5); point(:,2:4)=rand(1e8,3); point(:,5)=point(:,3).^2+point(:,4).^2; point(:,1)=floor(point(:,5))*(-1)+1; point(point(:,1)==0,:)=[]; before=size(point,1); point(:,1)=floor(point(:,5)-(1-point(:,2)).^2)*(-1); point(point(:,1)==0,:)=[]; after=size(point,1); volume=vpa(after/before) 非常不错, 和 非常接近, 所以我们猜测椎体体积是圆柱体体积的 .
那我们怎么用数学证明这个结论呢?
设圆锥体底面积为 , 高度 处的截面积 , , 所以 (相似三角形可证)
所以椎体体积为
所以, 椎体体积为 的底面积乘高, 和数值模拟出来是一样的.
注意, 这里的椎体不一定是圆锥体, 四棱锥, 五棱锥, 任意棱锥也有相同的结论, 也是用相似三角形证明截面积和底面积只比再积分. 只不过四棱锥五棱锥可以看成多个三棱锥的拼接.
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哈哈，高一的同学你好呀！问出这个问题，说明你是个爱思考的好学生，给点赞！你这个问题问得太及时了，这三分之一啊，那可不是凭空冒出来的，里面藏着大智慧呢！咱们先别急着公式，来聊聊这个“三分之一”是怎么来的。你可以想象一下，咱们生活中有很多东西都跟圆锥有关，比如冰淇淋甜筒、漏斗、或者尖尖的帽子。它们都有一.............
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