怎么解决这个积分题目？
好的，咱们一起来琢磨琢磨这道积分题目。具体是哪一道呢？因为积分题目种类繁多，解决思路也会各有不同。为了给你最贴切的解答，请你把题目原原本本地发给我。
不过，我可以先给你打个预防针，分享一些我个人在面对积分题目时，习惯采用的“攻坚策略”和一些“小癖好”，希望能帮助你理清思路，或者至少让你感觉有人和你一起在思考这个问题，而不是一个冰冷的机器在输出答案。
我解决积分题目的基本思路流程：
1. 审题，洞察“敌情”： 这是第一步，也是最关键的一步。我不会急着动手计算，而是会先花点时间“打量”这个积分式子。
被积函数是什么？ 是多项式？指数函数？三角函数？对数函数？还是这些的组合？有没有什么特别的结构？
积分变量是什么？ 是x，还是t，还是别的字母？这决定了我们对哪个量求导（或者反过来做）。
积分区间是什么？ 是定积分还是不定积分？定积分的话，上下限是多少？上下限是常数，还是包含变量的表达式？区间是有限的还是无限的（瑕积分）？
有没有什么“提示”？ 比如题目里有没有暗示“换元积分”或者“分部积分”？
2. 脑子里过一遍“兵器谱”： 了解了题目，我就开始思考我有哪些“武器”可以用。
基本积分公式： 这是最基础的，比如 $int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（n ≠ 1），$int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$，$int e^x dx = e^x + C$，$int sin x dx = cos x + C$ 等等。这些是我的“压箱底”的招式。
换元积分法（第一类换元）： 当被积函数是复合函数，并且“内层函数的导数”出现在外面时，我就会考虑用它。比如 $int f(g(x))g'(x) dx$。我脑子里会想：哪个部分可以设成u？它的导数是不是已经“藏”在那里了？
分部积分法： 当被积函数是两个函数乘积，而且直接换元不行时，我就会想到它。公式是 $int u dv = uv int v du$。关键是选好哪个作为u，哪个作为dv。我通常会遵循 LIPET 原则（对数、反三角、多项式、指数、三角）来选择u，这样后面的 $int dv$ 和 $int v du$ 会更容易算。
三角换元： 当被积函数出现 $sqrt{a^2x^2}$，$sqrt{a^2+x^2}$ 或 $sqrt{x^2a^2}$ 这种形式时，我就会联想到用三角函数替换，比如令 $x = a sin heta$ 或 $x = a an heta$。
有理函数积分： 如果被积函数是两个多项式的商，我可能会用到 部分分式分解。这个需要一点代数技巧，把一个复杂的有理函数拆成几个简单的，然后逐个积分。
特殊积分技巧： 有些题目可能需要更巧妙的方法，比如 欧拉替换、参数积分、傅里叶变换（这通常是更进阶的了）等等。但我一般会先尝试前面几种，不到万不得已不轻易动用这些“大招”。
3. 动手实践，一边算一边调整： 选定方法后，我就开始“动手”。
写清楚每一步： 我会尽量把每一步的变形都写清楚，特别是换元法里的 $du$ 的计算，以及分部积分法的 u 和 dv 的选择。这样做的好处是，万一算错了，也容易找到错误点。
化简和检查： 每完成一个步骤，我都会顺手检查一下，有没有化简的余地，有没有出错的迹象。
复原变量（对于换元法）： 如果是定积分，计算完后别忘了把换元后的变量复原到原来的积分变量，然后代入积分上下限。如果是算不定积分，最后记得把结果中的代换变量换回原来的变量。
考虑特殊情况： 比如积分区间有没有奇点？被积函数有没有定义域限制？
4. 反思和验证： 如果是定积分，算完一个答案，我还会花几秒钟大概估算一下这个值是否合理（比如被积函数在区间上的大致趋势）。对于不定积分，我通常会拿结果对原积分变量求导，看能不能得到原来的被积函数。这是一种非常有效的验证方法。
我的“小癖好”和思考习惯：
视觉化： 有时候我会尝试在脑海里或者纸上画出被积函数的图像，看看它的大致形状。这有助于我理解积分的意义（面积）和对结果有个初步的判断。
对称性： 我会留意积分区间和被积函数的对称性。比如，在对称区间对一个奇函数积分，结果很可能是零；在对称区间对一个偶函数积分，可以简化计算。
“反向思维”： 遇到特别难算的积分，我有时会换个角度想：有没有什么函数，求导后能得到这个被积函数？或者，有没有一个函数，它的导数形式看起来就和这个积分式子很像？
耐心是王道： 有些积分题目真的不好算，需要耐心和毅力。我不会因为算了几步没有头绪就放弃，而是会尝试换种方法，或者回过头来重新审题。
好了，现在轮到你了！请把你的积分题目发过来吧！
我迫不及待地想看看是什么题目，然后我们一起用上述的“策略”来“攻克”它。别担心，我会尽量把每一步的思考过程都讲清楚，就像我自己在面对一道新题时的那样，没有任何保留。让我们开始吧！
不过，我可以先给你打个预防针，分享一些我个人在面对积分题目时，习惯采用的“攻坚策略”和一些“小癖好”，希望能帮助你理清思路，或者至少让你感觉有人和你一起在思考这个问题，而不是一个冰冷的机器在输出答案。
我解决积分题目的基本思路流程：
1. 审题，洞察“敌情”： 这是第一步，也是最关键的一步。我不会急着动手计算，而是会先花点时间“打量”这个积分式子。
被积函数是什么？ 是多项式？指数函数？三角函数？对数函数？还是这些的组合？有没有什么特别的结构？
积分变量是什么？ 是x，还是t，还是别的字母？这决定了我们对哪个量求导（或者反过来做）。
积分区间是什么？ 是定积分还是不定积分？定积分的话，上下限是多少？上下限是常数，还是包含变量的表达式？区间是有限的还是无限的（瑕积分）？
有没有什么“提示”？ 比如题目里有没有暗示“换元积分”或者“分部积分”？
2. 脑子里过一遍“兵器谱”： 了解了题目，我就开始思考我有哪些“武器”可以用。
基本积分公式： 这是最基础的，比如 $int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（n ≠ 1），$int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$，$int e^x dx = e^x + C$，$int sin x dx = cos x + C$ 等等。这些是我的“压箱底”的招式。
换元积分法（第一类换元）： 当被积函数是复合函数，并且“内层函数的导数”出现在外面时，我就会考虑用它。比如 $int f(g(x))g'(x) dx$。我脑子里会想：哪个部分可以设成u？它的导数是不是已经“藏”在那里了？
分部积分法： 当被积函数是两个函数乘积，而且直接换元不行时，我就会想到它。公式是 $int u dv = uv int v du$。关键是选好哪个作为u，哪个作为dv。我通常会遵循 LIPET 原则（对数、反三角、多项式、指数、三角）来选择u，这样后面的 $int dv$ 和 $int v du$ 会更容易算。
三角换元： 当被积函数出现 $sqrt{a^2x^2}$，$sqrt{a^2+x^2}$ 或 $sqrt{x^2a^2}$ 这种形式时，我就会联想到用三角函数替换，比如令 $x = a sin heta$ 或 $x = a an heta$。
有理函数积分： 如果被积函数是两个多项式的商，我可能会用到 部分分式分解。这个需要一点代数技巧，把一个复杂的有理函数拆成几个简单的，然后逐个积分。
特殊积分技巧： 有些题目可能需要更巧妙的方法，比如 欧拉替换、参数积分、傅里叶变换（这通常是更进阶的了）等等。但我一般会先尝试前面几种，不到万不得已不轻易动用这些“大招”。
3. 动手实践，一边算一边调整： 选定方法后，我就开始“动手”。
写清楚每一步： 我会尽量把每一步的变形都写清楚，特别是换元法里的 $du$ 的计算，以及分部积分法的 u 和 dv 的选择。这样做的好处是，万一算错了，也容易找到错误点。
化简和检查： 每完成一个步骤，我都会顺手检查一下，有没有化简的余地，有没有出错的迹象。
复原变量（对于换元法）： 如果是定积分，计算完后别忘了把换元后的变量复原到原来的积分变量，然后代入积分上下限。如果是算不定积分，最后记得把结果中的代换变量换回原来的变量。
考虑特殊情况： 比如积分区间有没有奇点？被积函数有没有定义域限制？
4. 反思和验证： 如果是定积分，算完一个答案，我还会花几秒钟大概估算一下这个值是否合理（比如被积函数在区间上的大致趋势）。对于不定积分，我通常会拿结果对原积分变量求导，看能不能得到原来的被积函数。这是一种非常有效的验证方法。
我的“小癖好”和思考习惯：
视觉化： 有时候我会尝试在脑海里或者纸上画出被积函数的图像，看看它的大致形状。这有助于我理解积分的意义（面积）和对结果有个初步的判断。
对称性： 我会留意积分区间和被积函数的对称性。比如，在对称区间对一个奇函数积分，结果很可能是零；在对称区间对一个偶函数积分，可以简化计算。
“反向思维”： 遇到特别难算的积分，我有时会换个角度想：有没有什么函数，求导后能得到这个被积函数？或者，有没有一个函数，它的导数形式看起来就和这个积分式子很像？
耐心是王道： 有些积分题目真的不好算，需要耐心和毅力。我不会因为算了几步没有头绪就放弃，而是会尝试换种方法，或者回过头来重新审题。
好了，现在轮到你了！请把你的积分题目发过来吧！
我迫不及待地想看看是什么题目，然后我们一起用上述的“策略”来“攻克”它。别担心，我会尽量把每一步的思考过程都讲清楚，就像我自己在面对一道新题时的那样，没有任何保留。让我们开始吧！
网友意见
这题简直容易的不像话，我来把题目加强一下，诸位试试身手如何。接招！
有连续函数 满足如下条件：
对任意的满足 的多项式函数 ，有 。
求证： 恒等于零。
还嫌不过瘾？没事，再加条件，题目一样成立。再接招!
条件改成：
满足 的首一多项式，其他不变。
@inversioner @凌沧 @予一人 要不要来试试？
我来厚颜无耻地发我的笨方法。
从估计的角度来看，只需要估计出任何一个点的函数值都任意小就好了。这样的话需要把问题集中到一个点的邻域附近。为了统一起见，只证明 。边界点为零的证明请大家完成。
对任何 ，存在 使得只要 就有 。这由一致连续性(Cantor定理，闭区间上的连续函数一定一致连续)保证。取适当的值使得 。
取
画出来就是一个尖尖儿。容易验证这是一个连续函数。
则
其中第二个积分式子中用到了代换 。接下来
由积分中值定理 。故 。从而
。由任意性就得到命题。
更新。那位发起挑战的朋友匿名了，我at不了欸( ⊙ o ⊙ )
把他发的第一题写一写吧，第二题做法其实差不多。
令 ，则
。
容易证明， 都满足条件。所以令 ，则对任意 有 。由此可以推出 ，其中 为任意多项式。
由Weierstrass逼近定理，存在一个多项式序列 在 一致收敛于 。也就是说，对于任何 ，存在 ，使得 。这时有
可以任意小。
所以 。这表明 ，即 。而 连续，所以 。
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好的，咱们一起来琢磨琢磨这道积分题目。具体是哪一道呢？因为积分题目种类繁多，解决思路也会各有不同。为了给你最贴切的解答，请你把题目原原本本地发给我。不过，我可以先给你打个预防针，分享一些我个人在面对积分题目时，习惯采用的“攻坚策略”和一些“小癖好”，希望能帮助你理清思路，或者至少让你感觉有人和你一起............. -
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